Constante de Markov

Propiedad de un número irracional

En teoría de números , específicamente en la teoría de aproximación diofántica , la constante de Markov de un número irracional es el factor para el cual se puede mejorar el teorema de aproximación de Dirichlet . ${\displaystyle M(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

Historia y motivación

Ciertos números pueden ser aproximados bien por ciertos racionales ; específicamente, los convergentes de la fracción continua son las mejores aproximaciones por números racionales que tienen denominadores menores que un cierto límite. Por ejemplo, la aproximación es la mejor aproximación racional entre los números racionales con denominador hasta 56. ^[1] Además, algunos números pueden ser aproximados más fácilmente que otros. Dirichlet demostró en 1840 que los números menos fácilmente aproximables son los números racionales , en el sentido de que para cada número irracional existen infinitos números racionales que lo aproximan con un cierto grado de precisión y que solo existen un número finito de tales aproximaciones racionales para números racionales. Específicamente, demostró que para cualquier número hay infinitos pares de números relativamente primos tales que si y solo si es irracional. ${\displaystyle \pi \approx {\frac {22}{7}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (p,q)}$ ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}$ ${\displaystyle \alpha }$

51 años después, Hurwitz mejoró aún más el teorema de aproximación de Dirichlet por un factor de √ 5 , ^[2] mejorando el lado derecho de a para números irracionales: ${\displaystyle 1/q^{2}}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {5}}q^{2}}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}.}$

El resultado anterior es el mejor posible ya que la proporción áurea ${\displaystyle \phi }$ es irracional, pero si reemplazamos √ 5 por cualquier número mayor en la expresión anterior, entonces solo podremos encontrar un número finito de números racionales que satisfagan la desigualdad para . ${\displaystyle \alpha =\phi }$

Además, demostró que entre los números irracionales, los números menos fácilmente aproximables son aquellos de la forma donde es la proporción áurea , y . ^[3] (Se dice que estos números son equivalentes a ). Si omitimos estos números, tal como omitimos los números racionales en el teorema de Dirichlet, entonces podemos aumentar el número √ 5 a 2 √ 2 . Nuevamente, este nuevo límite es el mejor posible en el nuevo entorno, pero esta vez el número √ 2 , y los números equivalentes a él, limitan el límite. ^[3] Si no permitimos esos números, entonces podemos nuevamente aumentar el número en el lado derecho de la desigualdad de 2 √ 2 a √ 221 /5, ^[3] para el cual los números equivalentes a limitan el límite. Los números generados muestran qué tan bien se pueden aproximar estos números; esto puede verse como una propiedad de los números reales. ${\displaystyle {\frac {a\phi +b}{c\phi +d}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle ad-bc=\pm 1}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {221}}}{10}}}$

Sin embargo, en lugar de considerar el teorema de Hurwitz (y las extensiones mencionadas anteriormente) como una propiedad de los números reales, excepto ciertos números especiales, podemos considerarlo como una propiedad de cada número excluido. Por lo tanto, el teorema puede interpretarse como "los números equivalentes a , √ 2 o están entre los números irracionales menos fácilmente aproximables". Esto nos lleva a considerar con qué precisión se puede aproximar cada número mediante números racionales; específicamente, en qué medida se puede aumentar el factor del teorema de aproximación de Dirichlet desde 1 para ese número específico. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {221}}}{10}}}$

Definición

Matemáticamente, la constante de Markov de irracional se define como . ^[4] Si el conjunto no tiene un límite superior definimos . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle M(\alpha )=\sup \left\{\lambda \in \mathbb {R} |\left\vert \alpha -{\frac {p}{q}}\right\vert <{\frac {1}{\lambda q^{2}}}{\text{ has infinitely many solutions for }}p,q\in \mathbb {N} \right\}}$ ${\displaystyle M(\alpha )=\infty }$

Alternativamente, se puede definir como donde se define como el entero más cercano a . ${\displaystyle \limsup _{k\to \infty }{\frac {1}{k^{2}\left\vert \alpha -{\frac {f(k)}{k}}\right\vert }}}$ ${\displaystyle f(k)}$ ${\displaystyle \alpha k}$

Propiedades y resultados

El teorema de Hurwitz implica que para todo . ${\displaystyle M(\alpha )\geq {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} }$

Si es su expansión en fracción continua entonces . ^[4] ${\displaystyle \alpha =[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$ ${\displaystyle M(\alpha )=\limsup _{k\to \infty }{([a_{k+1};a_{k+2},a_{k+3},...]+[0;a_{k},a_{k-1},...,a_{2},a_{1}])}}$

De lo anterior, si entonces . Esto implica que si y solo si no está acotado . En particular, si es un número irracional cuadrático . De hecho, el límite inferior para se puede reforzar a , el más estricto posible. ^[5] ${\displaystyle p=\limsup _{k\to \infty }{a_{k}}}$ ${\displaystyle p<M(\alpha )<p+2}$ ${\displaystyle M(\alpha )=\infty }$ ${\displaystyle (a_{k})}$ ${\displaystyle M(\alpha )<\infty }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle M(\alpha )}$ ${\displaystyle M(\alpha )\geq {\sqrt {p^{2}+4}}}$

Los valores de para los cuales son familias de irracionalidades cuadráticas que tienen el mismo período (pero en diferentes desplazamientos), y los valores de para estos están limitados a números de Lagrange . Hay una cantidad incontable de números para los cuales , ninguno de los cuales tiene la misma terminación; por ejemplo, para cada número donde , . ^[4] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle M(\alpha )<3}$ ${\displaystyle M(\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle M(\alpha )=3}$ ${\displaystyle \alpha =[\underbrace {1;1,...,1} _{r_{1}},2,2,\underbrace {1,1,...,1} _{r_{2}},2,2,\underbrace {1,1,...,1} _{r_{3}},2,2,...]}$ ${\displaystyle r_{1}<r_{2}<r_{3}<\cdots }$ ${\displaystyle M(\alpha )=3}$

Si donde entonces . ^[6] En particular si entonces . ^[7] ${\displaystyle \beta ={\frac {p\alpha +q}{r\alpha +s}}}$ ${\displaystyle p,q,r,s\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle M(\beta )\geq {\frac {M(\alpha )}{\left\vert ps-rq\right\vert }}}$ ${\displaystyle \left\vert ps-rq\right\vert =1}$ ${\displaystyle M(\beta )=M(\alpha )}$

El conjunto forma el espectro de Lagrange . Contiene el intervalo donde F es la constante de Freiman. ^[7] Por lo tanto, si entonces existe irracional cuya constante de Markov es . ${\displaystyle L=\{M(\alpha )|\alpha \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} \}}$ ${\displaystyle [F,\infty ]}$ ${\displaystyle m>F\approx 4.52783}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle m}$

Números que tienen una constante de Markov menor que 3

Burger et al. (2002) ^[8] proporciona una fórmula para la cual la irracionalidad cuadrática cuya constante de Markov es el n- ^ésimo número de Lagrange : ${\displaystyle \alpha _{n}}$

${\displaystyle \alpha _{n}={\frac {2u-3m_{n}+{\sqrt {9m_{n}^{2}-4}}}{2m_{n}}}}$donde es el n- ^ésimo número de Markov , y u es el entero positivo más pequeño tal que . ${\displaystyle m_{n}}$ ${\displaystyle m_{n}\mid u^{2}+1}$

Nicholls (1978) ^[9] proporciona una prueba geométrica de esto (basada en círculos tangentes entre sí), proporcionando un método para encontrar sistemáticamente estos números.

Ejemplos

Una demostración de que √ 10 /2 tiene una constante de Markov √ 10 , como se indica en el siguiente ejemplo. Este gráfico representa y ( k ) = ⁠1/k ² | α - ⁠f( αk )/a⁠ |⁠ contra log( k ) (el logaritmo natural de k ) donde f ( x ) es el entero más cercano a x . Los puntos en la parte superior correspondientes a un valor del eje x de 0,7, 2,5, 4,3 y 6,1 (k=2,12,74,456) son los puntos para los quese aproxima el límite superior de √ 10 .

Constante de Markov de dos números

Desde , ${\displaystyle {\frac {\sqrt {10}}{2}}=[1;{\overline {1,1,2}}]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M\left({\frac {\sqrt {10}}{2}}\right)&=\max([1;{\overline {2,1,1}}]+[0;{\overline {1,2,1}}],[1;{\overline {1,2,1}}]+[0;{\overline {2,1,1}}],[2;{\overline {1,1,2}}]+[0;{\overline {1,1,2}}])\\&=\max \left({\frac {2{\sqrt {10}}}{3}},{\frac {2{\sqrt {10}}}{3}},{\sqrt {10}}\right)\\&={\sqrt {10}}.\end{aligned}}}$

Porque la representación de fracción continua de e no tiene límites. ${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ],M(e)=\infty }$

Números αnorteteniendo constante de Markov menor que 3

Consideremos ; Entonces . Por ensayo y error se puede encontrar que . Entonces ${\displaystyle n=6}$ ${\displaystyle m_{n}=34}$ ${\displaystyle u=13}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{6}&={\frac {2u-3m_{6}+{\sqrt {9m_{6}^{2}-4}}}{2m_{6}}}\\[6pt]&={\frac {-76+{\sqrt {10400}}}{68}}\\[6pt]&={\frac {-19+5{\sqrt {26}}}{17}}\\[6pt]&=[0;{\overline {2,1,1,1,1,1,1,2}}].\end{aligned}}}$

Véase también

• Medida de irracionalidad
• Número de Lagrange
• Fracción continua
• Espectro de Lagrange

Referencias

1. Fernando, Suren L. (27 de julio de 2001). «A063673 (Denominadores de la secuencia {3/1, 13/4, 16/5, 19/6, 22/7, 179/57, 201/64, 223/71, 245/78, 267/85, 289/92, 311/99, 333/106, ...} de aproximaciones a Pi con denominadores crecientes, donde cada aproximación es una mejora de sus predecesoras.)». La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
2. Hurwitz, A. (1891). "Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch racionale Brüche (Sobre la representación aproximada de números irracionales mediante fracciones racionales)". Mathematische Annalen (en alemán). 39 (2): 279–284. doi :10.1007/BF01206656. JFM  23.0222.02. S2CID  119535189.Contiene la prueba real en alemán.
3. Weisstein, Eric W. (25 de noviembre de 2019). «Teorema del número irracional de Hurwitz». Wolfram Mathworld . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
4. LeVeque, William (1977). Fundamentos de la teoría de números . Addison-Wesley Publishing Company, Inc., págs. 251-254. ISBN 0-201-04287-8.
5. Hancl, Jaroslav (enero de 2016). "Segundo teorema básico de Hurwitz". Revista lituana de matemáticas . 56 : 72–76. doi :10.1007/s10986-016-9305-4. S2CID  : 124639896.
6. Pelantová, Edita; Starosta, Štěpán; Znojil, Miloslav (2016). "Constante de Markov e inestabilidades cuánticas". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 49 (15): 155201. arXiv : 1510.02407 . Código Bib : 2016JPhA...49o5201P. doi :10.1088/1751-8113/49/15/155201. S2CID  119161523.
7. Hazewinkel, Michiel (1990). Enciclopedia de matemáticas . Springer Science & Business Media. pág. 106. ISBN 9781556080050.
8. Burger, Edward B.; Folsom, Amanda; Pekker, Alexander; Roengpitya, Rungporn; Snyder, Julia (2002). "Sobre un refinamiento cuantitativo del espectro de Lagrange". Acta Arithmetica . 102 (1): 59–60. Código Bibliográfico :2002AcAri.102...55B. doi : 10.4064/aa102-1-5 .
9. Nicholls, Peter (1978). "Aproximación diofántica a través del grupo modular". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . Segunda serie. 17 : 11–17. doi :10.1112/jlms/s2-17.1.11.