En matemáticas , los números de Lagrange son una secuencia de números que aparecen en límites relativos a la aproximación de números irracionales por números racionales . Están vinculados al teorema de Hurwitz .
Hurwitz mejoró el criterio de irracionalidad de Peter Gustav Lejeune Dirichlet hasta afirmar que un número real α es irracional si y sólo si hay infinitos números racionales p / q , escritos en términos mínimos, tales que
Esto fue una mejora con respecto al resultado de Dirichlet, que tenía 1/ q 2 en el lado derecho. El resultado anterior es el mejor posible, ya que la proporción áurea φ es irracional, pero si reemplazamos √ 5 por cualquier número mayor en la expresión anterior, solo podremos encontrar una cantidad finita de números racionales que satisfagan la desigualdad para α = φ.
Sin embargo, Hurwitz también demostró que si omitimos el número φ y los números derivados de él, entonces podemos aumentar el número √ 5 . De hecho, demostró que podemos reemplazarlo por 2 √ 2 . Nuevamente, este nuevo límite es el mejor posible en el nuevo entorno, pero esta vez el número √ 2 es el problema. Si no permitimos √ 2, entonces podemos aumentar el número en el lado derecho de la desigualdad de 2 √ 2 a √ 221 /5. Repitiendo este proceso obtenemos una secuencia infinita de números √ 5 , 2 √ 2 , √ 221 /5, ... que convergen a 3. [1] Estos números se denominan números de Lagrange , [2] y reciben su nombre de Joseph Louis Lagrange .
El n- ésimo número de Lagrange L n está dado por
donde m n es el n- ésimo número de Markov , [3] es decir el n -ésimo entero más pequeño m tal que la ecuación
tiene una solución en números enteros positivos x e y .
