Espectro de Markov

En matemáticas, el espectro de Markov , ideado por Andrey Markov , es un conjunto complicado de números reales que surgen en las ecuaciones diofánticas de Markov y también en la teoría de la aproximación diofántica .

Caracterización de la forma cuadrática

Consideremos una forma cuadrática dada por f ( x , y ) = ax ² + bxy + cy ² y supongamos que su discriminante es fijo, digamos igual a −1/4. En otras palabras, b ²  − 4 ac = 1.

Se puede preguntar por el valor mínimo alcanzado por cuando se evalúa en vectores no cero de la cuadrícula , y si este mínimo no existe, por el ínfimo . ${\displaystyle \left\vert f(x,y)\right\vert }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

El espectro de Markov M es el conjunto obtenido al repetir esta búsqueda con diferentes formas cuadráticas con discriminante fijado en −1/4: $${\displaystyle M=\left\{\left(\inf _{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\smallsetminus \{(0,0)\}}|f(x,y)|\right)^{-1}:f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\ b^{2}-4ac=1\right\}}$$

Espectro de Lagrange

Partiendo del teorema de Hurwitz sobre aproximación diofántica, que cualquier número real tiene una sucesión de aproximaciones racionales m / n que tienden a él con ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}},}$

es posible preguntar para cada valor de 1/ c con 1/ c ≥ √ 5 sobre la existencia de alguno para el cual ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {c}{n^{2}}}}$

para una secuencia de este tipo, para la cual c es el mejor valor posible (máximo). Tales 1/ c forman el espectro de Lagrange L , un conjunto de números reales al menos √ 5 (que es el valor más pequeño del espectro). La formulación con el recíproco es incómoda, pero la definición tradicional la invita; mirar el conjunto de c en cambio permite una definición por medio de un límite inferior . Para eso, considere

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }n^{2}\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|,}$

donde m se elige como una función entera de n para que la diferencia sea mínima. Esta es una función de , y el recíproco del espectro de Lagrange es el rango de valores que toma en números irracionales. ${\displaystyle \xi }$

Relación con el espectro de Markov

La parte inicial del espectro de Lagrange, es decir, la parte que se encuentra en el intervalo [ √ 5 , 3) ​​, es también la parte inicial del espectro de Markov. Los primeros valores son √ 5 , √ 8 , √ 221 /5, √ 1517 /13, ... ^[1] y el n º número de esta secuencia (es decir, el n º número de Lagrange ) se puede calcular a partir del n º número de Markov mediante la fórmula La constante de Freiman es el nombre que se le da al final del último hueco en el espectro de Lagrange, es decir: $${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.}$$

${\displaystyle F={\frac {2\,221\,564\,096+283\,748{\sqrt {462}}}{491\,993\,569}}=4.5278295661\dots }$(secuencia A118472 en la OEIS ).

Todos los números reales en [ ) ${\displaystyle {F},\infty }$ - conocidos como rayo de Hall - son miembros del espectro de Lagrange. ^[2] Además, es posible demostrar que L está estrictamente contenido en M . ^[3]

Geometría del espectro de Markov y Lagrange

Por un lado, las partes iniciales del espectro de Markov y Lagrange que se encuentran en el intervalo [ √ 5 , 3) ​​son iguales y forman un conjunto discreto. Por otro lado, las partes finales de estos conjuntos que se encuentran después de la constante de Freiman también son iguales, pero forman un conjunto continuo. La geometría de la parte entre la parte inicial y la parte final tiene una estructura fractal y puede verse como una transición geométrica entre la parte inicial discreta y la parte final continua. Esto se enuncia con precisión en el siguiente teorema: ^[4]

Teorema  :  Dado , la dimensión de Hausdorff de es igual a la dimensión de Hausdorff de . Además, si d es la función definida como , donde dim _H denota la dimensión de Hausdorff, entonces d es continua y mapea R en [0,1]. ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L\cap (-\infty ,t)}$ ${\displaystyle M\cap (-\infty ,t)}$ ${\displaystyle d(t):=\dim _{H}(M\cap (-\infty ,t))}$

Véase también

• Número de Markov

Referencias

1. Cassels (1957) pág. 18
2. Constante de Freiman Weisstein, Eric W. "Constante de Freiman". De MathWorld (un recurso web de Wolfram), consultado el 26 de agosto de 2008
3. Cusick, Thomas; Flahive, Mary (1989). "Comparación de los espectros de Markoff y Lagrange". Los espectros de Markoff y Lagrange . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 30. págs. 35–45. doi :10.1090/surv/030/03. ISBN 9780821815311.
4. Moreira, Carlos Gustavo (julio de 2018). "Propiedades geométricas de los espectros de Markov y Lagrange". Anales de Matemáticas . 188 (1): 145–170. arXiv : 1612.05782 . doi :10.4007/annals.2018.188.1.3. ISSN  0003-486X. JSTOR  10.4007/annals.2018.188.1.3. S2CID  15513612.

Lectura adicional

• Aigner, Martin (2013). El teorema de Markov y 100 años de la conjetura de unicidad: un viaje matemático desde los números irracionales hasta las correspondencias perfectas . Nueva York: Springer. ISBN 978-3-319-00887-5.OCLC 853659945  .
• Conway, JH y Guy, RK El libro de los números. Nueva York: Springer-Verlag, págs. 188-189, 1996.
• Cusick, TW y Flahive, ME Los espectros de Markov y Lagrange. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1989.
• Cassels, JWS (1957). Introducción a la aproximación diofántica . Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 45. Cambridge University Press . Zbl  0077.04801.

Enlaces externos

• "El problema del espectro de Markov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]