Teorema de aproximación de Dirichlet

Cualquier número real tiene una secuencia de buenas aproximaciones racionales.

En teoría de números , el teorema de Dirichlet sobre la aproximación diofántica , también llamado teorema de aproximación de Dirichlet , establece que para cualquier número real y , con , existen números enteros y tales que y ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1\leq N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle 1\leq q\leq N}$

${\displaystyle \left|q\alpha -p\right|\leq {\frac {1}{\lfloor N\rfloor +1}}<{\frac {1}{N}}.}$

Aquí representa la parte entera de . Este es un resultado fundamental en la aproximación diofántica , que muestra que cualquier número real tiene una secuencia de buenas aproximaciones racionales: de hecho, una consecuencia inmediata es que para un α irracional dado, la desigualdad ${\displaystyle \lfloor N\rfloor }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle 0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}$

se satisface con infinitos números enteros p y q . Esto muestra que cualquier número irracional tiene una medida de irracionalidad de al menos 2.

El teorema de Thue-Siegel-Roth dice que, para los números irracionales algebraicos, el exponente de 2 en el corolario del teorema de aproximación de Dirichlet es lo mejor que podemos hacer: tales números no pueden aproximarse mediante ningún exponente mayor que 2. El teorema de Thue-Siegel- El teorema de Roth utiliza técnicas avanzadas de la teoría de números, pero se puede verificar mucho más fácilmente que muchos números más simples, como la proporción áurea, son inaproximables más allá del exponente 2. ${\displaystyle (1+{\sqrt {5}})/2}$

Versión simultánea

La versión simultánea del teorema de aproximación de Dirichlet establece que dados los números reales y un número natural, entonces existen números enteros tales que ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{d},q\in \mathbb {Z} ,1\leq q\leq N}$ ${\displaystyle \left|\alpha _{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|\leq {\frac {1}{qN^{1/d}}}.}$

método de prueba

Prueba por el principio del casillero

Este teorema es una consecuencia del principio del casillero . Peter Gustav Lejeune Dirichlet , que demostró el resultado, utilizó el mismo principio en otros contextos (por ejemplo, la ecuación de Pell ) y al nombrar el principio (en alemán) popularizó su uso, aunque su estatus en términos de libros de texto llega más tarde. ^[1] El método se extiende a la aproximación simultánea. ^[2]

Esquema de prueba : Sea un número irracional y sea un número entero. Para cada podemos escribir algo que sea un número entero y . Se puede dividir el intervalo en intervalos de medida más pequeños . Ahora tenemos números e intervalos. Por lo tanto, según el principio de casillero, al menos dos de ellos están en el mismo intervalo. Podemos llamarlos así . Ahora: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k=0,1,...,n}$ ${\displaystyle k\alpha =m_{k}+x_{k}}$ ${\displaystyle m_{k}}$ ${\displaystyle 0\leq x_{k}<1}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle x_{0},x_{1},...,x_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i},x_{j}}$ ${\displaystyle i<j}$

${\displaystyle |(j-i)\alpha -(m_{j}-m_{i})|=|j\alpha -m_{j}-(i\alpha -m_{i})|=|x_{j}-x_{i}|<{\frac {1}{n}}}$

Dividiendo ambos lados por resultará en: ${\displaystyle j-i}$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {m_{j}-m_{i}}{j-i}}\right|<{\frac {1}{(j-i)n}}\leq {\frac {1}{\left(j-i\right)^{2}}}}$

Y demostramos el teorema.

Prueba por el teorema de Minkowski

Otra prueba sencilla del teorema de aproximación de Dirichlet se basa en el teorema de Minkowski aplicado al conjunto

${\displaystyle S=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:-N-{\frac {1}{2}}\leq x\leq N+{\frac {1}{2}},\vert \alpha x-y\vert \leq {\frac {1}{N}}\right\}.}$

Dado que el volumen de es mayor que , el teorema de Minkowski establece la existencia de un punto no trivial con coordenadas integrales. Esta prueba se extiende naturalmente a aproximaciones simultáneas al considerar el conjunto ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle 4}$

${\displaystyle S=\left\{(x,y_{1},\dots ,y_{d})\in \mathbb {R} ^{1+d}:-N-{\frac {1}{2}}\leq x\leq N+{\frac {1}{2}},|\alpha _{i}x-y_{i}|\leq {\frac {1}{N^{1/d}}}\right\}.}$

Teoremas relacionados

Teorema de Legendre sobre fracciones continuas

En su Essai sur la théorie des nombres (1798), Adrien-Marie Legendre deriva una condición necesaria y suficiente para que un número racional sea convergente de la fracción continua de un número real dado. ^[3] Una consecuencia de este criterio, frecuentemente llamado teorema de Legendre dentro del estudio de fracciones continuas, es la siguiente: ^[4]

Teorema . Si α es un número real y p , q son enteros positivos tales que , entonces p / q es un convergente de la fracción continua de α . ${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{2q^{2}}}}$

Este teorema forma la base del ataque de Wiener , un exploit de tiempo polinomial del protocolo criptográfico RSA que puede ocurrir por una elección imprudente de claves públicas y privadas (específicamente, este ataque tiene éxito si los factores primos de la clave pública n = pq satisfacen p < q < 2 p y la clave privada d es menor que (1/3) n ^1/4 ). ^[6]

Ver también

• Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas
• Teorema de Hurwitz (teoría de números)
• conjunto heilbronn
• Teorema de Kronecker (generalización del teorema de Dirichlet)

Notas

1. http://jeff560.tripod.com/p.html para consultar varias referencias históricas.
2. "Teorema de Dirichlet", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
3. Legendre, Adrien-Marie (1798). Essai sur la théorie des nombres (en francés). París: Duprat. págs. 27-29.
4. Barbolosi, Dominique; Jäger, Hendrik (1994). "Sobre un teorema de Legendre en la teoría de fracciones continuas". Journal de Théorie des Nombres de Burdeos . 6 (1): 81–94 - vía JSTOR.
5. Resistente, GH ; Wright, EM (1938). Introducción a la teoría de los números . Londres: Oxford University Press . págs. 140-141, 153.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
6. Viena, Michael J. (1990). "Criptoanálisis de exponentes secretos RSA cortos". Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 36 (3): 553–558 - vía IEEE.

Referencias

• Schmidt, Wolfgang M (1980). Aproximación diofántica . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 785. Saltador. doi :10.1007/978-3-540-38645-2. ISBN 978-3-540-38645-2.
• Schmidt, Wolfgang M. (1991). Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas . Serie de libros Apuntes de conferencias sobre matemáticas. vol. 1467. Saltador. doi :10.1007/BFb0098246. ISBN 978-3-540-47374-9. S2CID  118143570.

enlaces externos

• Teorema de aproximación de Dirichlet en PlanetMath .