Teorema de Hurwitz (teoría de números)

Teorema en teoría de números que da un límite a una aproximación diofántica

En teoría de números , el teorema de Hurwitz , que lleva el nombre de Adolf Hurwitz , da un límite a una aproximación diofántica . El teorema establece que para cada número irracional ξ hay infinitos números enteros primos relativos m , n tales que

$${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}.}$$

No se puede omitir la condición de que ξ sea irracional. Además la constante es la mejor posible; si reemplazamos por cualquier número y dejamos (la proporción áurea ), entonces solo existen un número finito de enteros primos relativos m , n tales que se cumple la fórmula anterior. ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle A>{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle \xi =(1+{\sqrt {5}})/2}$

El teorema equivale a la afirmación de que la constante de Markov de todo número es mayor que . ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$

Ver también

• Teorema de aproximación de Dirichlet
• número de Langrange

Referencias

• Hurwitz, A. (1891). "Ueber die angenäherte Darstellung der Irrationalzahlen durch racionale Brüche" [Sobre la representación aproximada de números irracionales mediante fracciones racionales]. Mathematische Annalen (en alemán). 39 (2): 279–284. doi :10.1007/BF01206656. JFM  23.0222.02. S2CID  119535189.
• GH Hardy , Edward M. Wright, Roger Heath-Brown, Joseph Silverman, Andrew Wiles (2008). "Teorema 193". Una introducción a la teoría de los números (6ª ed.). Publicaciones científicas de Oxford. pag. 209.ISBN _ 978-0-19-921986-5.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• LeVeque, William Judson (1956). "Temas de teoría de números". Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass. SEÑOR  0080682. {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
• Iván Niven (2013). Aproximaciones diofánticas . Corporación de mensajería. ISBN 978-0486462677.