Teorema de Duffin-Schaeffer

Teorema matemático

El teorema de Koukoulopoulos-Maynard , también conocido como conjetura de Duffin-Schaeffer, es un teorema en matemáticas , específicamente, la aproximación diofántica propuesta como conjetura por RJ Duffin y AC Schaeffer en 1941 ^[1] y demostrada en 2019 por Dimitris Koukoulopoulos y James Maynard ^[2] . Establece que si es una función de valor real que toma valores positivos, entonces para casi todos (con respecto a la medida de Lebesgue ), la desigualdad ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {f(q)}{q}}}$

tiene infinitas soluciones en números enteros coprimos con si y sólo si ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle q>0}$

${\displaystyle \sum _{q=1}^{\infty }\varphi (q){\frac {f(q)}{q}}=\infty ,}$

¿Dónde está la función totiente de Euler ? ${\displaystyle \varphi (q)}$

Un análogo de esta conjetura en una dimensión superior fue resuelto por Vaughan y Pollington en 1990. ^{[3] [4] [5]}

Introducción

Que la existencia de las aproximaciones racionales implica divergencia de la serie se sigue del lema de Borel-Cantelli . ^[6] La implicación inversa es el quid de la conjetura. ^[3] Ha habido muchos resultados parciales de la conjetura de Duffin-Schaeffer establecidos hasta la fecha. Paul Erdős estableció en 1970 que la conjetura se cumple si existe una constante tal que para cada entero tenemos o bien . ^{[3] [7]} Esto fue reforzado por Jeffrey Vaaler en 1978 para el caso . ^{[8] [9]} Más recientemente, esto fue reforzado para que la conjetura sea verdadera siempre que exista alguna tal que la serie ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(n)=c/n}$ ${\displaystyle f(n)=0}$ ${\displaystyle f(n)=O(n^{-1})}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {f(n)}{n}}\right)^{1+\varepsilon }\varphi (n)=\infty .}$

Esto fue realizado por Haynes, Pollington y Velani. ^[10]

En 2006, Beresnevich y Velani demostraron que una medida de Hausdorff análoga a la conjetura de Duffin-Schaeffer es equivalente a la conjetura original de Duffin-Schaeffer, que es a priori más débil. Este resultado fue publicado en Annals of Mathematics . ^[11]

Véase también

• Teorema de Khinchin

Notas

1. Duffin, RJ; Schaeffer, AC (1941). "El problema de Khintchine en la aproximación diofántica métrica". Duke Math. J . 8 (2): 243–255. doi :10.1215/S0012-7094-41-00818-9. JFM  67.0145.03. Zbl  0025.11002.
2. Koukoulopoulos, Dimitris; Maynard, James (2020). "Sobre la conjetura de Duffin-Schaeffer". Anales de Matemáticas . 192 (1): 251. arXiv : 1907.04593 . doi :10.4007/annals.2020.192.1.5. JSTOR  10.4007/annals.2020.192.1.5. S2CID  195874052.
3. Montgomery, Hugh L. (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de conferencias regionales sobre matemáticas. Vol. 84. Providence, RI: American Mathematical Society . pág. 204. ISBN 978-0-8218-0737-8.Zbl 0814.11001  .
4. Pollington, AD; Vaughan, RC (1990). "La conjetura de Duffin-Schaeffer de dimensión k". Mathematika . 37 (2): 190–200. doi :10.1112/s0025579300012900. ISSN  0025-5793. S2CID  122789762. Zbl  0715.11036.
5. Harman (2002) pág. 69
6. Harman (2002) pág. 68
7. Harman (1998) pág. 27
8. "Conjetura de Duffin-Schaeffer" (PDF) . Departamento de Matemáticas de la Universidad Estatal de Ohio . 2010-08-09 . Consultado el 2019-09-19 .
9. Harman (1998) pág. 28
10. A. Haynes, A. Pollington y S. Velani, La conjetura de Duffin-Schaeffer con divergencia adicional , arXiv, (2009), https://arxiv.org/abs/0811.1234
11. Beresnevich, Victor; Velani, Sanju (2006). "Un principio de transferencia de masa y la conjetura de Duffin-Schaeffer para medidas de Hausdorff". Anales de Matemáticas . Segunda serie. 164 (3): 971–992. arXiv : math/0412141 . doi :10.4007/annals.2006.164.971. ISSN  0003-486X. S2CID  14475449. Zbl  1148.11033.

Referencias

• Harman, Glyn (1998). Teoría de números métricos . Monografías de la London Mathematical Society. Nueva serie. Vol. 18. Oxford: Clarendon Press . ISBN. 978-0-19-850083-4.Zbl 1081.11057  .
• Harman, Glyn (2002). "Cien años de números normales". En Bennett, MA; Berndt, BC ; Boston, N .; Diamond, HG; Hildebrand, AJ; Philipp, W. (eds.). Encuestas sobre teoría de números: artículos de la conferencia milenaria sobre teoría de números . Natick, MA: AK Peters. págs. 57–74. ISBN 978-1-56881-162-8.Zbl 1062.11052  .

Enlaces externos

• Artículo de la revista Quanta sobre la conjetura de Duffin-Schaeffer.
• Entrevista de Numberphile con James Maynard sobre la prueba.