Conjunto de Heilbronn

En matemáticas, un conjunto de Heilbronn es un conjunto infinito S de números naturales para el cual cada número real puede aproximarse arbitrariamente por una fracción cuyo denominador está en  S . Para cualquier número real y número natural dados , es fácil encontrar el entero tal que sea más cercano a . Por ejemplo, para el número real y tenemos . Si llamamos a la cercanía de a la diferencia entre y , la cercanía siempre es menor que 1/2 (en nuestro ejemplo es 0.15926...). Una colección de números es un conjunto de Heilbronn si para cualquier siempre podemos encontrar una secuencia de valores para en el conjunto donde la cercanía tiende a cero. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g/h}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle h=100}$ ${\displaystyle g=314}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle g/h}$ ${\displaystyle h\theta }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle h}$

Más matemáticamente, denotemos la distancia desde hasta el entero más cercano, entonces es un conjunto de Heilbronn si y solo si para cada número real y cada existe tal que . ^[1] ${\displaystyle \|\alpha \|}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle h\in {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle \|h\theta \|<\varepsilon }$

Ejemplos

Los números naturales son un conjunto de Heilbronn, como muestra el teorema de aproximación de Dirichlet que existe con . ${\displaystyle q<[1/\varepsilon ]}$ ${\displaystyle \|q\theta \|<\varepsilon }$

Las potencias n de los números enteros son un conjunto de Heilbronn. Esto se desprende de un resultado de IM Vinogradov , que demostró que para cada y existe un exponente y tal que . ^[2] En el caso de Hans Heilbronn, pudo demostrar que puede tomarse arbitrariamente cerca de 1/2. ^[3] Alexandru Zaharescu ha mejorado el resultado de Heilbronn para demostrar que puede tomarse arbitrariamente cerca de 4/7. ^[4] ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \eta _{k}>0}$ ${\displaystyle q<N}$ ${\displaystyle \|q^{k}\theta \|\ll N^{-\eta _{k}}}$ ${\displaystyle k=2}$ ${\displaystyle \eta _{2}}$ ${\displaystyle \eta _{2}}$

Cualquier conjunto de Van der Corput es también un conjunto de Heilbronn.

Ejemplo de un conjunto que no es de Heilbronn

Las potencias de 10 no son un conjunto de Heilbronn. Tomemos entonces la afirmación de que para algunos es equivalente a decir que la expansión decimal de tiene tres ceros o tres nueves en algún lugar. Esto no es cierto para todos los números reales. ${\displaystyle \varepsilon =0.001}$ ${\displaystyle \|10^{k}\theta \|<\varepsilon }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \theta }$

Referencias

1. Montgomery, Hugh Lowell (1994). Diez conferencias sobre la interfaz entre la teoría analítica de números y el análisis armónico . Serie de conferencias regionales de matemáticas de la CBMS. Vol. 84. Providence Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0737-4.
2. Vinogradov, IM (1927). "Analytischer Beweis des Satzes úber die Verteilung der Bruchteile eines ganzen Polynoms". Toro. Acad. Ciencia. URSS . 21 (6): 567–578.
3. Heilbronn, Hans (1948). "Sobre la distribución de la sucesión ". QJ Math . Primera serie. 19 : 249–256. doi :10.1093/qmath/os-19.1.249. MR  0027294. ${\displaystyle n^{2}\theta {\pmod {1}}}$
4. Zaharescu, Alexandru (1995). "Pequeños valores de ". Inventar. Matemáticas . 121 (2): 379–388. doi :10.1007/BF01884304. SEÑOR  1346212. S2CID  120435242. ${\displaystyle n^{2}\alpha {\pmod {1}}}$