Irregularidad de las distribuciones

Problema matemático

El problema de la irregularidad de las distribuciones , planteado por primera vez por Hugo Steinhaus , es un problema numérico con un resultado sorprendente. El problema consiste en encontrar N números, , todos entre 0 y 1, para los que se cumplan las siguientes condiciones: ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$

• Los dos primeros números deben estar en mitades diferentes (uno menor que 1/2, uno mayor que 1/2).
• Los primeros 3 números deben estar en tercios diferentes (uno menor que 1/3, uno entre 1/3 y 2/3, uno mayor que 2/3).
• Los primeros 4 números deben estar en cuartos diferentes.
• Los primeros 5 números deben estar en quintos diferentes.
• etc.

Matemáticamente, buscamos una secuencia de números reales.

${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$

tal que para cada n  ∈ {1, ...,  N } y cada k  ∈ {1, ...,  n } existe algún i  ∈ {1, ...,  k } tal que

${\displaystyle {\frac {k-1}{n}}\leq x_{i}<{\frac {k}{n}}.}$

Solución

El resultado sorprendente es que existe una solución hasta N  = 17, pero a partir de N  = 18 y más es imposible. Una posible solución para N  ≤ 17 se muestra en el diagrama de la derecha; numéricamente es como sigue:

Una posible solución para N  = 17 se muestra en forma de diagrama. En cada fila n hay n “vides” que están todas en diferentes n ^ésimos . Por ejemplo, al observar la fila 5, se puede ver que 0 <  x ₁  < 1/5 <  x ₅  < 2/5 <  x ₃  < 3/5 <  x ₄  < 4/5 <  x ₂  < 1. Los valores numéricos están impresos en el texto del artículo.

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=0.029\\x_{2}&=0.971\\x_{3}&=0.423\\x_{4}&=0.71\\x_{5}&=0.27\\x_{6}&=0.542\\x_{7}&=0.852\\x_{8}&=0.172\\x_{9}&=0.62\\x_{10}&=0.355\\x_{11}&=0.777\\x_{12}&=0.1\\x_{13}&=0.485\\x_{14}&=0.905\\x_{15}&=0.218\\x_{16}&=0.667\\x_{17}&=0.324\end{aligned}}}$

En este ejemplo, considerando por ejemplo los primeros 5 números, tenemos

${\displaystyle 0<x_{1}<{\frac {1}{5}}<x_{5}<{\frac {2}{5}}<x_{3}<{\frac {3}{5}}<x_{4}<{\frac {4}{5}}<x_{2}<1.}$

Mieczysław Warmus concluyó que 768 (1536, contando las soluciones simétricas por separado) conjuntos distintos de intervalos satisfacen las condiciones para N = 17.

Referencias

• H. Steinhaus, Cien problemas de matemáticas elementales , Basic Books , Nueva York, 1964, página 12
• Berlekamp, ​​ER ; Graham, RL (1970). "Irregularidades en las distribuciones de secuencias finitas". Journal of Number Theory . 2 (2): 152–161. Bibcode :1970JNT.....2..152B. doi : 10.1016/0022-314X(70)90015-6 . MR  0269605.
• M. Warmus, "Una nota complementaria sobre las irregularidades de las distribuciones", Journal of Number Theory 8, 260–263, 1976.