En matemáticas , y más particularmente en la teoría analítica de fracciones continuas regulares , se dice que una fracción continua regular infinita x está restringida , o compuesta de cocientes parciales restringidos , si la secuencia de denominadores de sus cocientes parciales está acotada; es decir
y existe algún entero positivo M tal que todos los denominadores parciales ( integrales ) a i son menores o iguales que M . [1] [2]
Una fracción continua periódica regular consiste en un bloque inicial finito de denominadores parciales seguido de un bloque repetitivo; si
Entonces, ζ es un número irracional cuadrático y su representación como fracción continua regular es periódica. Claramente, cualquier fracción continua periódica regular consta de cocientes parciales restringidos, ya que ninguno de los denominadores parciales puede ser mayor que el mayor de un 0 a un k + m . Históricamente, los matemáticos estudiaron las fracciones continuas periódicas antes de considerar el concepto más general de cocientes parciales restringidos.
El conjunto de Cantor es un conjunto C de medida cero a partir del cual se puede construir un intervalo completo de números reales mediante una simple adición; es decir, cualquier número real del intervalo se puede expresar como la suma de exactamente dos elementos del conjunto C. La prueba habitual de la existencia del conjunto de Cantor se basa en la idea de perforar un "agujero" en el medio de un intervalo, luego perforar agujeros en los subintervalos restantes y repetir este proceso ad infinitum .
El proceso de añadir un cociente parcial más a una fracción continua finita es en muchos sentidos análogo a este proceso de "perforar un agujero" en un intervalo de números reales. El tamaño del "agujero" es inversamente proporcional al siguiente denominador parcial elegido: si el siguiente denominador parcial es 1, se maximiza la brecha entre convergentes sucesivos . Para hacer precisos los siguientes teoremas, consideraremos CF( M ), el conjunto de fracciones continuas restringidas cuyos valores se encuentran en el intervalo abierto (0, 1) y cuyos denominadores parciales están acotados por un entero positivo M , es decir,
Haciendo un argumento paralelo al utilizado para construir el conjunto de Cantor se pueden obtener dos resultados interesantes.
Zaremba ha conjeturado la existencia de una constante absoluta A , tal que los racionales con cocientes parciales restringidos por A contienen al menos uno para cada denominador (entero positivo). La elección A = 5 es compatible con la evidencia numérica. [4] Otras conjeturas reducen ese valor, en el caso de todos los denominadores suficientemente grandes. [5] Jean Bourgain y Alex Kontorovich han demostrado que A puede elegirse de modo que la conclusión se cumpla para un conjunto de denominadores de densidad 1. [6]
![{\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},\puntos ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{a_{4}+\dpuntos }}}}}}}=a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{K}}}{\frac {1}{a_{i}}},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86687c8030a62bedf0c348bbc699280a50c23ab1)
![{\displaystyle \zeta =[a_{0};a_{1},a_{2},\puntos ,a_{k},{\overline {a_{k+1},a_{k+2},\puntos ,a_{k+m}}}],\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a32a420bfd24200a3891e8ee2367e18957eca94)
![{\displaystyle \mathrm {CF} (M)=\{[0;a_{1},a_{2},a_{3},\puntos ]:1\leq a_{i}\leq M\}.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b6b03e303c62b1609ab13a16ab5cdb4af56314)
![{\displaystyle (2\times [0;{\overline {M,1}}],2\times [0;{\overline {1,M}}])=\left({\frac {1}{M}}\left[{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right],{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4fa6e560e24c6802b6e4ca826a47518f296e831)
![{\displaystyle {\scriptstyle [0;{\overline {1,M}}]-[0;{\overline {M,1}}]\geq {\frac {1}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a588639ccd282611ca30a74d801cee8e986f36b)