Desigualdad de Erdős-Turán

En matemáticas, la desigualdad de Erdős-Turán limita la distancia entre una medida de probabilidad en el círculo y la medida de Lebesgue , en términos de coeficientes de Fourier . Fue demostrado por Paul Erdős y Pál Turán en 1948. ^{[1] [2]}

Sea μ una medida de probabilidad en el círculo unitario R / Z . La desigualdad de Erdős-Turán establece que, para cualquier número natural n ,

${\displaystyle \sup _{A}\left|\mu (A)-\mathrm {mes} \,A\right|\leq C\left({\frac {1}{n}}+\sum _{k=1}^{n}{\frac {|{\hat {\mu }}(k)|}{k}}\right),}$

donde el supremo está sobre todos los arcos A ⊂ R / Z del círculo unitario, mes representa la medida de Lebesgue,

${\displaystyle {\hat {\mu }}(k)=\int \exp(2\pi ik\theta )\,d\mu (\theta )}$

son los coeficientes de Fourier de μ , y C  > 0 es una constante numérica.

Aplicación a la discrepancia

Sea s ₁ , s ₂ , s ₃ ... ∈ R una secuencia. La desigualdad Erdős-Turán aplicada a la medida

${\displaystyle \mu _{m}(S)={\frac {1}{m}}\#\{1\leq j\leq m\,|\,s_{j}\,\mathrm {mod} \,1\in S\},\quad S\subset [0,1),}$

produce el siguiente límite para la discrepancia :

${\displaystyle {\begin{aligned}D(m)&\left(=\sup _{0\leq a\leq b\leq 1}{\Big |}m^{-1}\#\{1\leq j\leq m\,|\,a\leq s_{j}\,\mathrm {mod} \,1\leq b\}-(b-a){\Big |}\right)\\[8pt]&\leq C\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\left|\sum _{j=1}^{m}e^{2\pi is_{j}k}\right|\right).\end{aligned}}\qquad (1)}$

Esta desigualdad es válida para números naturales arbitrarios m,n y proporciona una forma cuantitativa del criterio de equidistribución de Weyl .

Una variante multidimensional de (1) se conoce como desigualdad de Erdős-Turán-Koksma .

Notas

1. Erdős, P.; Turán, P. (1948). "Sobre un problema de la teoría de la distribución uniforme. I." (PDF) . Actas de la Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen . 51 : 1146-1154. Señor  0027895. Zbl  0031.25402.
2. Erdős, P.; Turán, P. (1948). "Sobre un problema de la teoría de la distribución uniforme. II" (PDF) . Actas de la Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen . 51 : 1262-1269. Señor  0027895. Zbl  0032.01601.

Referencias adicionales

• Harman, Glyn (1998). Teoría de números métricos . Monografías de la Sociedad Matemática de Londres. Series nuevas. vol. 18. Prensa de Clarendon . ISBN 0-19-850083-1. Zbl  1081.11057.