Teorema de Carathéodory (mapeo conforme)

En matemáticas , el teorema de Carathéodory es un teorema de análisis complejo , que lleva el nombre de Constantin Carathéodory , que amplía el teorema de mapeo de Riemann . El teorema, publicado por Carathéodory en 1913, establece que cualquier mapeo conforme que envíe el disco unitario a alguna región en el plano complejo delimitado por una curva de Jordan se extiende continuamente a un homeomorfismo desde el círculo unitario hasta la curva de Jordan. El resultado es uno de los resultados de Carathéodory sobre los extremos primos y el comportamiento límite de funciones holomorfas univalentes.

Pruebas del teorema de Carathéodory

La primera prueba del teorema de Carathéodory que se presenta aquí es un resumen del breve relato independiente de Garnett & Marshall (2005, págs. 14-15); Hay pruebas relacionadas en Pommerenke (1992) y Krantz (2006).

Teorema de Carathéodory. Si f asigna el disco unitario abierto D conformemente a un dominio acotado U en C , entonces f tiene una extensión continua uno a uno al disco unitario cerrado si y solo si ∂U es una curva de Jordan.

Claramente, si f admite una extensión a un homeomorfismo, entonces ∂U debe ser una curva de Jordan.

Por el contrario , si ∂U es una curva de Jordan, el primer paso es demostrar que f se extiende continuamente hasta el cierre de D. De hecho, esto se cumplirá si y sólo si f es uniformemente continua en D : porque esto es cierto si tiene una extensión continua hasta la clausura de D ; y, si f es uniformemente continua, es fácil comprobar que f tiene límites en el círculo unitario y que las mismas desigualdades para la continuidad uniforme se aplican al cierre de D.

Supongamos que f no es uniformemente continua. En este caso debe haber un ε > 0 y un punto ζ en el círculo unitario y secuencias z _n , w _n que tienden a ζ con | f ( z _norte ) - f ( w _norte ) | ≥ 2 ε . Esto se muestra a continuación para llevar a una contradicción, de modo que f debe ser uniformemente continua y, por tanto, tiene una extensión continua hasta el cierre de D.

Para 0 < r < 1, sea γ _r la curva dada por el arco del círculo | z − ζ | = r que se encuentra dentro de D . Entonces f ∘ γ _r es una curva de Jordan. Su longitud se puede estimar utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz :

${\displaystyle \displaystyle {\ell (f\circ \gamma _{r})=\int _{\gamma _{r}}|f^{\prime }(z)|\,|dz|\leq \left(\int _{\gamma _{r}}\,|dz|\right)^{1/2}\cdot \left(\int _{\gamma _{r}}|f^{\prime }(z)|^{2}\,|dz|\right)^{1/2}\leq (2\pi r)^{1/2}\cdot \left(\int _{\{\theta :|\zeta +re^{i\theta }|<1\}}|f^{\prime }(\zeta +re^{i\theta })|^{2}\,r\,d\theta \right)^{1/2}.}}$

Por tanto, existe una "estimación de longitud-área":

${\displaystyle \displaystyle {\int _{0}^{1}\ell (f\circ \gamma _{r})^{2}\,{dr \over r}\leq 2\pi \int _{|z|<1}|f^{\prime }(z)|^{2}\,dx\,dy=2\pi \cdot {\rm {Area}}\,f(D)<\infty .}}$

La finitud de la integral en el lado izquierdo implica que hay una secuencia r _n que disminuye a 0 y tiende a 0. Pero la longitud de una curva g ( t ) para t en ( a , b ) está dada por ${\displaystyle \ell (f\circ \gamma _{r_{n}})}$

${\displaystyle \displaystyle {\ell (g)=\sup _{a<t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{k}<b}\sum _{i=1}^{k-1}|g(t_{i+1})-g(t_{i})|.}}$

La finitud de por lo tanto implica que la curva tiene puntos límite a _n , b _n en sus dos extremos con , por lo que esta distancia, así como el diámetro de la curva, tiende a 0. Estos dos puntos límite deben estar en ∂U , porque f es un homeomorfismo entre D y U y, por lo tanto , una secuencia que converge en U tiene que ser la imagen bajo f de una secuencia que converge en D. Se supone que existe un homeomorfismo β entre el círculo ∂D y ∂U . Dado que β ⁻¹ es uniformemente continuo, la distancia entre los dos puntos ξ _n y η _n correspondientes a a _n y b _n en ∂U debe tender a 0. Entonces, eventualmente el arco circular más pequeño en ∂D que une ξ _n y η _n es definido. Denotemos τ _n imagen de este arco bajo β . Por continuidad uniforme de β , el diámetro de τ _n en ∂U tiende a 0. Juntos τ _n y f ∘ γ _{r n} forman una curva de Jordan simple. Su interior U _n está contenido en U por el teorema de la curva de Jordan para ∂U y ∂U _n : para ver esto, observe que U es el interior de ∂U , ya que está acotado, conexo y es a la vez abierto y cerrado en el complemento de ∂U ; entonces la región exterior de ∂U es ilimitada, conexa y no intersecta a ∂U _n , por lo tanto su cierre está contenido en el cierre del exterior de ∂U _n ; tomando complementos obtenemos la inclusión deseada. El diámetro de ∂U _n tiende a 0 porque los diámetros de τ _n y f ∘ γ _{r n} tienden a 0. Por lo tanto, el diámetro de U _n tiende a 0. (Porque es un conjunto compacto, por lo tanto contiene dos puntos u y v tales que La distancia entre ellos es máxima. Es fácil ver que u. ${\displaystyle \ell (f\circ \gamma _{r_{n}})}$ ${\displaystyle |a_{n}-b_{n}|\leq \ell (f\circ \gamma _{r_{n}})}$ ${\displaystyle {\bar {U}}_{n}\times {\bar {U}}_{n}}$ ${\displaystyle {\bar {U}}_{n}}$y v debe estar en ∂U y los diámetros de U y ∂U son iguales ). ${\displaystyle |u-v|}$

Ahora bien, si V _n denota la intersección de D con el disco | z − ζ| < r _n , entonces para todos los n suficientemente grandes n f ( V _n ) = U _n . De hecho, el arco γ _{r n} divide D en V _n y una región complementaria , por lo que bajo el homeomorfismo conforme f la curva f ∘ γ _{r n} divide U en y una región complementaria ; U _n es un componente conexo de U \ f ∘ γ _{r n} , ya que está conexo y es abierto y cerrado en este conjunto, por lo tanto es igual a o . El diámetro de no disminuye al aumentar n , por lo que implica . Dado que el diámetro de U _n tiende a 0 cuando n tiende al infinito, eventualmente es menor que el diámetro de y entonces necesariamente f ( V _n ) = U _n . ${\displaystyle V_{n}'}$ ${\displaystyle f(V_{n})}$ ${\displaystyle f(V_{n}')}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle f(V_{n})}$ ${\displaystyle f(V_{n}')}$ ${\displaystyle f(V_{n}')}$ ${\displaystyle n<n'}$ ${\displaystyle V_{n}'\subset V_{n'}'}$ ${\displaystyle f(V_{n}')}$

Entonces el diámetro de f ( V _n ) tiende a 0. Por otro lado, pasando a subsecuencias de ( z _n ) y ( w _n ) si es necesario, se puede suponer que z _n y w _n se encuentran ambos en V _n . Pero esto da una contradicción ya que | f ( z _norte ) - f ( w _norte ) | ≥ε .​ Entonces f debe ser uniformemente continua en U.

Por tanto, f se extiende continuamente hasta el cierre de D . Dado que f ( D ) = U , por compacidad f lleva el cierre de D sobre el cierre de U y por lo tanto ∂D sobre ∂U . Si f no es uno-uno, hay puntos u , v en ∂D con u ≠ v y f ( u ) = f ( v ). Sean X e Y las líneas radiales de 0 a u y v . Entonces f ( X ∪ Y ) es una curva de Jordan. Argumentando como antes, su interior V está contenido en U y es un componente conexo de U \ f ( X ∪ Y ) . Por otro lado, D \ ( X ∪ Y ) es la unión disjunta de dos sectores abiertos W ₁ y W ₂ . Por lo tanto, para uno de ellos, W ₁ digamos, f ( W ₁ ) = V . Sea Z la porción de ∂W ₁ en el círculo unitario, de modo que Z sea un arco cerrado y f ( Z ) sea un subconjunto tanto de ∂U como del cierre de V . Pero su intersección es un único punto y por tanto f es constante en Z. Según el principio de reflexión de Schwarz, f puede continuar analíticamente mediante reflexión conforme a lo largo del arco circular. Dado que las funciones holomorfas no constantes tienen ceros aislados, esto obliga a f a ser constante, una contradicción. Entonces f es uno-uno y por tanto un homeomorfismo en el cierre de D . ^{[1] [2]}

En Carathéodory (1954) y Carathéodory (1998) se describen dos demostraciones diferentes del teorema de Carathéodory. La primera prueba sigue el método de prueba original de Carathéodory de 1913 utilizando las propiedades de la medida de Lebesgue en el círculo: la extensión continua de la función inversa g de f a ∂U está justificada por el teorema de Fatou sobre el comportamiento límite de funciones armónicas acotadas en el disco unitario. . La segunda prueba se basa en el método de Lindelöf (1914), donde se estableció una agudización de la desigualdad del módulo máximo para funciones holomorfas acotadas h definidas en un dominio acotado V : si a se encuentra en V , entonces

| h ( una )| ≤ metro ^t ⋅ metro ^{1 - t} ,

donde 0 ≤ t ≤ 1, M es el módulo máximo de h para límites secuenciales en ∂U y m es el módulo máximo de h para límites secuenciales en ∂U que se encuentra en un sector centrado en un ángulo subtendente 2π t en a . ^[3]

Extensión continua y el teorema de Carathéodory-Torhorst

Una extensión del teorema establece que un isomorfismo conforme

${\displaystyle g\colon \mathbb {D} \to U}$,

donde es un subconjunto simplemente conexo de la esfera de Riemann , se extiende continuamente hasta el círculo unitario si y sólo si el límite de es localmente conexo . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Este resultado también se atribuye a menudo a Carathéodory, pero fue declarado y demostrado por primera vez por Marie Torhorst en su tesis de 1918, ^[4] bajo la supervisión de Hans Hahn , utilizando la teoría de los fines primos de Carathéodory . Más precisamente, Torhorst demostró que la conectividad local es equivalente a que el dominio tenga sólo extremos primos del primer tipo. Según la teoría de los fines primos, esta última propiedad, a su vez, equivale a tener una extensión continua. ${\displaystyle g}$

Notas

1. Krantz 2006, págs. 116-117
2. Garnett y Marshall 2005, pág. 15
3. Ahlfors 2010, págs. 37–40
4. Torhorst, Marie (1921), "Über den Rand der einfach zusammenhängenden ebenen Gebiete", Mathematische Zeitschrift , 9 (1–2): 44–65, doi :10.1007/BF01378335, S2CID  120418797

Referencias

• Carathéodory, C. (1913a), "Zur Ränderzuordnung bei konformer Abbildung", Göttingen Nachrichten : 509–518
• Carathéodory, C. (1913b), "Über die gegenseitige Beziehung der Ränder bei der konformen Abbildung des Inneren einer Jordanschen Kurve auf einen Kreis", Mathematische Annalen , 73 (2), Springer Berlin / Heidelberg: 305–320, doi :10.1007/ BF01456720, ISSN  0025-5831, JFM  44.0757.01, S2CID  117117051
• Carathéodory, C. (1954), Teoría de funciones de una variable compleja, vol. 2 , traducido por F. Steinhardt, Chelsea
• Carathéodory, C. (1998), Representación conforme (reimpresión de la segunda edición de 1952) , Dover, ISBN 0-486-40028-X
• Lindelöf, E. (1914), "Sur la représentation conforme", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 158 , París: 245–247
• Lindelöf, E. (1916), "Sur la représentation conforme d'une aire simplement connexe sur l'aire d'un cercle", IV Congreso Internacional de Matemáticos Escandinavos , págs.
• Ahlfors, Lars V. (2010), Invariantes conformes: temas de la teoría de funciones geométricas , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-5270-5
• Garnett, John B.; Marshall, Donald E. (2005), Medida armónica , Nuevas monografías matemáticas, vol. 2, Prensa de la Universidad de Cambridge, ISBN 0-521-47018-8
• Goluzin, GM (1969), Teoría geométrica de funciones de una variable compleja , Traducciones de monografías matemáticas, vol. 26, Sociedad Matemática Estadounidense
• Krantz, Steven G. (2006), Teoría de funciones geométricas: exploraciones en análisis complejos , Birkhäuser, ISBN 0-8176-4339-7
• Markushevich, AI (1977), Teoría de funciones de una variable compleja. vol. III , Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8284-0296-5, señor  0444912
• Pommerenke, C. (1975), Funciones univalentes, con un capítulo sobre diferenciales cuadráticas de Gerd Jensen , Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol. 15, Vandenhoeck y Ruprecht
• Pommerenke, C. (1992), Comportamiento de límites de mapas conformes , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 299, Springer, ISBN 3-540-54751-7
• Shields, Allen (1988), "Carathéodory y mapeo conforme", The Mathematical Intelligencer , 10 (1): 18–22, doi :10.1007/BF03023846, ISSN  0343-6993, MR  0918659, S2CID  189887440
• Whyburn, Gordon T. (1942), Topología analítica , Publicaciones del coloquio de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas, vol. 28, Sociedad Matemática Estadounidense