teorema de fatou

En matemáticas, específicamente en análisis complejo , el teorema de Fatou , que lleva el nombre de Pierre Fatou , es una declaración sobre funciones holomorfas en el disco unitario y su extensión puntual hasta el límite del disco.

Motivación y enunciado del teorema.

Si tenemos una función holomorfa definida en el disco unitario abierto , es razonable preguntar bajo qué condiciones podemos extender esta función al límite del disco unitario. Para hacer esto, podemos observar cómo se ve la función en cada círculo dentro del disco centrado en 0, cada uno con un cierto radio . Esto define una nueva función: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z:|z|<1\}}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{cases}f_{r}:S^{1}\to \mathbb {C} \\f_{r}(e^{i\theta })=f(re^{i\theta })\end{cases}}}$

dónde

${\displaystyle S^{1}:=\{e^{i\theta }:\theta \in [0,2\pi ]\}=\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\},}$

es el círculo unitario. Entonces se esperaría que los valores de la extensión de sobre el círculo fueran el límite de estas funciones, por lo que la cuestión se reduce a determinar cuándo converge y en qué sentido, como y qué tan bien definido está este límite. En particular, si las normas de estos se comportan bien, tenemos una respuesta: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{r}}$ ${\displaystyle r\to 1}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle f_{r}}$

Teorema. Sea una función holomorfa tal que ${\displaystyle f:\mathbb {D} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \sup _{0<r<1}\|f_{r}\|_{L^{p}(S^{1})}<\infty ,}$

donde se definen como arriba. Luego converge a alguna función puntualmente en casi todas partes y con normalidad. Eso es, ${\displaystyle f_{r}}$ ${\displaystyle f_{r}}$ ${\displaystyle f_{1}\in L^{p}(S^{1})}$ ${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|f_{r}(e^{i\theta })-f_{1}(e^{i\theta })\right|&\to 0&&{\text{for almost every }}\theta \in [0,2\pi ]\\\|f_{r}-f_{1}\|_{L^{p}(S^{1})}&\to 0\end{aligned}}}$

Ahora, observe que este límite puntual es un límite radial. Es decir, el límite que se toma es a lo largo de una línea recta desde el centro del disco hasta el límite del círculo, y por lo tanto la afirmación anterior dice que

${\displaystyle f(re^{i\theta })\to f_{1}(e^{i\theta })\qquad {\text{for almost every }}\theta .}$

La pregunta natural es, con esta función de frontera definida, ¿convergiremos puntualmente a esta función tomando un límite de alguna otra manera? Es decir, supongamos que en lugar de seguir una línea recta hasta el límite, seguimos una curva arbitraria que converge hacia algún punto del límite. ¿Convergirá a ? (Tenga en cuenta que el teorema anterior es sólo el caso especial de ). Resulta que la curva debe ser no tangencial , lo que significa que la curva no se acerca a su objetivo en el límite de una manera que la haga tangente al límite del círculo. En otras palabras, la zona de debe estar contenida en una cuña que parte del punto límite. Resumimos de la siguiente manera: ${\displaystyle \gamma :[0,1)\to \mathbb {D} }$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}(e^{i\theta })}$ ${\displaystyle \gamma (t)=te^{i\theta }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Definición. Sea un camino continuo tal que . Definir ${\displaystyle \gamma :[0,1)\to \mathbb {D} }$ ${\displaystyle \lim \nolimits _{t\to 1}\gamma (t)=e^{i\theta }\in S^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\alpha }&=\{z:\arg z\in [\pi -\alpha ,\pi +\alpha ]\}\\\Gamma _{\alpha }(\theta )&=\mathbb {D} \cap e^{i\theta }(\Gamma _{\alpha }+1)\end{aligned}}}$

Es decir, es la cuña dentro del disco con un ángulo cuyo eje pasa entre y cero. Decimos que converge no tangencialmente a , o que es un límite no tangencial , si existe algo que esté contenido en y . ${\displaystyle \Gamma _{\alpha }(\theta )}$ ${\displaystyle 2\alpha }$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle 0<\alpha <{\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \Gamma _{\alpha }(\theta )}$ ${\displaystyle \lim \nolimits _{t\to 1}\gamma (t)=e^{i\theta }}$

Teorema de Fatou. Deja entonces para casi todos. ${\displaystyle f\in H^{p}(\mathbb {D} ).}$ ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi ],}$

${\displaystyle \lim _{t\to 1}f(\gamma (t))=f_{1}(e^{i\theta })}$

para cada límite no tangencial que converge hacia donde se define como arriba. ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle e^{i\theta },}$ ${\displaystyle f_{1}}$

Discusión

• La prueba utiliza la simetría del núcleo de Poisson utilizando la función máxima de Hardy-Littlewood para el círculo.
• El teorema análogo se define frecuentemente para el espacio de Hardy sobre el semiplano superior y se demuestra prácticamente de la misma manera.

Ver también

• Espacio resistente

Referencias

• John B. Garnett, Funciones analíticas acotadas , (2006) Springer-Verlag, Nueva York
• Krantz, Steven G. (2007). "El comportamiento límite de las funciones holomorfas: resultados globales y locales". Revista asiática de matemáticas . 11 (2): 179–200. arXiv : matemáticas/0608650 . doi : 10.4310/AJM.2007.v11.n2.a2 . S2CID  56367819.
• Walter Rudin. Análisis real y complejo (1987), 3.ª ed., McGraw Hill, Nueva York.
• Elias Stein , Integrales singulares y propiedades de diferenciabilidad de funciones (1970), Princeton University Press, Princeton.