En geometría algebraica , una rama de las matemáticas , una superficie racional es una superficie biracionalmente equivalente al plano proyectivo , o en otras palabras, una variedad racional de dimensión dos. Las superficies racionales son las más simples de las aproximadamente 10 clases de superficies en la clasificación de superficies complejas de Enriques-Kodaira , y fueron las primeras superficies en ser investigadas.
Cada superficie racional no singular se puede obtener ampliando repetidamente una superficie racional mínima . Las superficies racionales mínimas son el plano proyectivo y las superficies de Hirzebruch Σ r para r = 0 o r ≥ 2.
Invariantes: Los plurigenerados son todos 0 y el grupo fundamental es trivial.
donde n es 0 para el plano proyectivo, 1 para superficies de Hirzebruch y mayor que 1 para otras superficies racionales.
El grupo Picard es la red unimodular impar I 1, n , excepto para las superficies de Hirzebruch Σ 2 m cuando es la red unimodular par II 1,1 .
Guido Castelnuovo demostró que cualquier superficie compleja tal que q y P 2 (la irregularidad y el segundo plurigenus) desaparezcan es racional. Esto se utiliza en la clasificación Enriques-Kodaira para identificar las superficies racionales. Zariski (1958) demostró que el teorema de Castelnuovo también es válido para campos de características positivas.
El teorema de Castelnuovo también implica que cualquier superficie compleja uniracional es racional, porque si una superficie compleja es uniracional entonces su irregularidad y plurigénero están limitados por los de una superficie racional y, por lo tanto, son todos 0, por lo que la superficie es racional. La mayoría de las variedades complejas uniracionales de dimensión 3 o mayor no son racionales. En la característica p > 0 Zariski (1958) encontró ejemplos de superficies uniracionales ( superficies de Zariski ) que no son racionales.
Hubo un tiempo en que no estaba claro si una superficie compleja tal que q y P 1 desaparecieran era racional, pero Federigo Enriques encontró un contraejemplo (una superficie de Enriques ) .