Superficie de Hirzebruch

Superficie reglada sobre la línea proyectiva

En matemáticas, una superficie de Hirzebruch es una superficie reglada sobre la línea proyectiva . Fueron estudiados por Friedrich Hirzebruch  (1951).

Definición

La superficie de Hirzebruch es el haz (un haz proyectivo ) sobre la línea proyectiva , asociada a la gavilla. La notación aquí significa: es la n -ésima potencia tensor de la gavilla torcida de Serre , la gavilla invertible o haz de líneas con el divisor Cartier asociado a. punto único. La superficie es isomorfa a ; y es isomorfo al plano proyectivo ampliado en un punto, por lo que no es mínimo. ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ $${\displaystyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n).}$$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$ ${\displaystyle \Sigma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

cociente git

Un método para construir la superficie de Hirzebruch es utilizar un cociente GIT ^{[1] : 21} donde la acción de está dada por Esta acción se puede interpretar como que la acción de los dos primeros factores proviene de la acción de definir , y el segundo La acción es una combinación de la construcción de una suma directa de haces de líneas y su proyectivización. Para la suma directa, esto puede venir dado por la variedad del cociente ^{[1] : 24} donde la acción de está dada por Entonces, la proyectivización está dada por otra -acción ^{[1] : 22} enviando una clase de equivalencia a Combinando estas dos acciones se obtiene cociente original arriba. $${\displaystyle \Sigma _{n}=(\mathbb {C} ^{2}-\{0\})\times (\mathbb {C} ^{2}-\{0\})/(\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*})}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*}}$ $${\displaystyle (\lambda ,\mu )\cdot (l_{0},l_{1},t_{0},t_{1})=(\lambda l_{0},\lambda l_{1},\mu t_{0},\lambda ^{-n}\mu t_{1})}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}-\{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)}$ $${\displaystyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)=(\mathbb {C} ^{2}-\{0\})\times \mathbb {C} ^{2}/\mathbb {C} ^{*}}$$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ $${\displaystyle \lambda \cdot (l_{0},l_{1},t_{0},t_{1})=(\lambda l_{0},\lambda l_{1},\lambda ^{a}t_{0},\lambda ^{0}t_{1}=t_{1})}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle [l_{0},l_{1},t_{0},t_{1}]\in {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)}$ $${\displaystyle \mu \cdot [l_{0},l_{1},t_{0},t_{1}]=[l_{0},l_{1},\mu t_{0},\mu t_{1}]}$$

Mapas de transición

Una forma de construir este paquete es mediante funciones de transición. Dado que los paquetes de vectores afines son necesariamente triviales, sobre los gráficos de definidos por está el modelo local del paquete. Luego, los mapas de transición, inducidos a partir de los mapas de transición de dan el envío del mapa donde está la función de coordenadas afines en . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle U_{0},U_{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle x_{i}\neq 0}$ $${\displaystyle U_{i}\times \mathbb {P} ^{1}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)}$ $${\displaystyle U_{0}\times \mathbb {P} ^{1}|_{U_{1}}\to U_{1}\times \mathbb {P} ^{1}|_{U_{0}}}$$ $${\displaystyle (X_{0},[y_{0}:y_{1}])\mapsto (X_{1},[y_{0}:x_{0}^{n}y_{1}])}$$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}}$

Propiedades

Paquetes proyectivos de rango 2 sobre P1

Tenga en cuenta que, según el teorema de Grothendieck , para cualquier paquete de vectores de rango 2 hay números tales que. Como tomar el paquete proyectivo es invariante bajo tensor por un paquete de líneas, ^[3] la superficie reglada asociada es la superficie de Hirzebruch, ya que este paquete puede tensarse por . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ $${\displaystyle E\cong {\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b).}$$ ${\displaystyle E={\mathcal {O}}(a)\oplus {\mathcal {O}}(b)}$ ${\displaystyle \Sigma _{b-a}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-a)}$

Isomorfismos de superficies de Hirzebruch

En particular, la observación anterior da un isomorfismo entre y desde que existen los paquetes de vectores de isomorfismo ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \Sigma _{-n}}$ $${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)\otimes ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))\cong {\mathcal {O}}(n)\oplus {\mathcal {O}}}$$

Análisis de álgebra simétrica asociada.

Recuerde que los paquetes proyectivos se pueden construir usando Relative Proj , que se forma a partir de un haz graduado de álgebras. Los primeros módulos simétricos son especiales ya que hay un módulo antisimétrico no trivial . Estas poleas se resumen en la tabla. Para las poleas simétricas están dadas por $${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{i}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))}$$ ${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\otimes {\mathcal {O}}(-n)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sym} ^{0}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\\\operatorname {Sym} ^{1}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)\\\operatorname {Sym} ^{2}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&={\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-2n)\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle i>2}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Sym} ^{k}({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n))&=\bigoplus _{i=0}^{k}{\mathcal {O}}^{\otimes (n-i)}\otimes {\mathcal {O}}(-in)\\&\cong {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(-kn)\end{aligned}}}$$

Teoría de la intersección

Las superficies de Hirzebruch para n > 0 tienen una curva racional especial C : la superficie es el paquete proyectivo de y la curva C es la sección cero . Esta curva tiene un número de autointersección − n y es la única curva irreducible con un número de autointersección negativo. Las únicas curvas irreducibles con número de autointersección cero son las fibras de la superficie de Hirzebruch (consideradas como un haz de fibras sobre ). El grupo Picard es generado por la curva C y una de las fibras, y estos generadores tienen una matriz de intersección por lo que la forma bilineal es unimodular bidimensional y es par o impar dependiendo de si n es par o impar. La superficie de Hirzebruch Σ _n ( n > 1 ) ampliada en un punto de la curva especial C es isomorfa a Σ _{n +1} ampliada en un punto que no está en la curva especial. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&-n\end{bmatrix}},}$$

Variedad tórica

A la superficie de Hirzebruch se le puede dar una acción del toro complejo , uno actuando sobre la base con dos puntos de eje fijo y el otro actuando sobre las fibras del haz de vectores , específicamente sobre el componente de la primera línea del haz, y por tanto sobre el proyectivo. manojo. Esto produce una órbita abierta de T , formando una variedad tórica . Su ventilador asociado divide la red estándar en cuatro conos (cada uno correspondiente a un gráfico de coordenadas), separados por los rayos a lo largo de los cuatro vectores: ^[4] ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle T=\mathbb {C} ^{*}\times \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\textstyle {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(-n)}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

${\displaystyle (1,0),(0,1),(0,-1),(-1,n).}$

Toda la teoría anterior se generaliza a variedades tóricas arbitrarias, incluida la construcción de la variedad como cociente y mediante gráficos de coordenadas, así como la teoría explícita de la intersección.

Cualquier superficie tórica lisa, excepto, se puede construir soplando repetidamente una superficie de Hirzebruch en puntos fijos en T. ^[5] ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

Ver también

• paquete proyectivo

Referencias

1. Manetti, Marco (14 de julio de 2005). "Conferencias sobre deformaciones de variedades complejas". arXiv : matemáticas/0507286 .
2. Gathmann, Andreas. «Geometría algebraica» (PDF) . Fachbereich Mathematik - TU Kaiserslautern .
3. "Sección 27.20 (02NB): Torsión por poleas invertibles y proyecto relativo: proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 23 de mayo de 2020 .
4. Cox, David A.; Pequeño, John B.; Schenck, Henry K. (2011). Variedades tóricas . Estudios de posgrado en matemáticas. Providence (RI): sociedad matemática estadounidense. pag. 112.ISBN​ 978-0-8218-4819-7.
5. Cox, David A.; Pequeño, John B.; Schenck, Henry K. (2011). Variedades tóricas . Estudios de posgrado en matemáticas. Providence (RI): sociedad matemática estadounidense. pag. 496.ISBN​ 978-0-8218-4819-7.

• Barth, Lobo P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlín, ISBN 978-3-540-00832-3, SEÑOR  2030225
• Beauville, Arnaud (1996), Superficies algebraicas complejas , Textos estudiantiles de la London Mathematical Society, vol. 34 (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-49510-3, SEÑOR 1406314
• Hirzebruch, Friedrich (1951), "Über eine Klasse von einfachzusammenhängenden komplexen Mannigfaltigkeiten", Mathematische Annalen , 124 : 77–86, doi : 10.1007/BF01343552, hdl : 21.11116/0000-0004-3A56-B , 0025-5831  , señor  0045384, S2CID  122844063

enlaces externos

• Atlas múltiple
• https://www.mathematik.uni-kl.de/~gathmann/class/alggeom-2002/alggeom-2002-c10.pdf
• https://matoverflow.net/q/122952