Fermat cúbico

superficie geométrica

Modelo 3D de la cúbica de Fermat (puntos reales)

En geometría , la cúbica de Fermat , llamada así en honor a Pierre de Fermat , es una superficie definida por

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=1.\ }$

Los métodos de geometría algebraica proporcionan la siguiente parametrización de la cúbica de Fermat:

${\displaystyle x(s,t)={3t-{1 \over 3}(s^{2}+st+t^{2})^{2} \over t(s^{2}+st+t^{2})-3}}$

${\displaystyle y(s,t)={3s+3t+{1 \over 3}(s^{2}+st+t^{2})^{2} \over t(s^{2}+st+t^{2})-3}}$

${\displaystyle z(s,t)={-3-(s^{2}+st+t^{2})(s+t) \over t(s^{2}+st+t^{2})-3}.}$

En el espacio proyectivo, la cúbica de Fermat viene dada por

${\displaystyle w^{3}+x^{3}+y^{3}+z^{3}=0.}$

Las 27 líneas que se encuentran en la cúbica de Fermat son fáciles de describir explícitamente: son las 9 líneas de la forma ( w  : aw  : y  : by ) donde a y b son números fijos con cubo −1, y sus 18 conjugados bajo permutaciones de coordenadas.

Puntos reales de la superficie cúbica de Fermat.

Referencias

• Ness, Linda (1978), "Curvatura en la cúbica de Fermat", Duke Mathematical Journal , 45 (4): 797–807, doi :10.1215/s0012-7094-78-04537-4, ISSN  0012-7094, SEÑOR  0518106
• Elkies, Noam. "Parametrización cúbica completa de la superficie cúbica de Fermat".