Superficie cúbica nodal de Cayley

Puntos reales de la superficie de Cayley.

Modelo 3D de la superficie de Cayley.

En geometría algebraica , la superficie de Cayley , llamada así en honor a Arthur Cayley , es una superficie nodal cúbica en un espacio proyectivo tridimensional con cuatro puntos cónicos. Puede venir dada por la ecuación

${\displaystyle wxy+xyz+yzw+zwx=0\ }$

cuando los cuatro puntos singulares son aquellos con tres coordenadas de fuga. Al cambiar las variables se obtienen varias otras ecuaciones simples que definen la superficie de Cayley.

Como superficie de Del Pezzo de grado 3, la superficie de Cayley viene dada por el sistema lineal de cúbicas en el plano proyectivo que pasa por los 6 vértices del cuadrilátero completo . Esto contrae los 4 lados del cuadrilátero completo con los 4 nodos de la superficie de Cayley, mientras expande sus 6 vértices hasta las líneas que pasan por dos de ellos. La superficie es un tramo por la cúbica del Segre . ^[1]

La superficie contiene nueve líneas, 11 tritangentes y ningún doble seis. ^[1]

Se han presentado varias formas afines de la superficie. Hunt utiliza transformando coordenadas y deshomogeneizando estableciendo . ^[1] Una forma más simétrica es ${\displaystyle (1-3x-3y-3z)(xy+xz+yz)+6xyz=0}$ ${\displaystyle (u_{0},u_{1},u_{2},u_{3})}$ ${\displaystyle (u_{0},u_{1},u_{2},v=3(u_{0}+u_{1}+u_{2}+2u_{3}))}$ ${\displaystyle x=u_{0}/v,y=u_{1}/v,z=u_{2}/v}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+x^{2}z-y^{2}z-1=0.}$^[2]

Referencias

1. Hunt, Bruce (1996). La geometría de algunos cocientes aritméticos especiales . Springer-Verlag. págs. 115-122. ISBN 3-540-61795-7.
2. Weisstein, Eric W. "Cayley cúbica". MundoMatemático .

• Cayley, Arthur (1869), "Una memoria sobre superficies cúbicas", Transacciones filosóficas de la Royal Society of London , 159 , The Royal Society: 231–326, doi :10.1098/rstl.1869.0010, ISSN  0080-4614, JSTOR  108997
• Heath-Brown, DR (2003), "La densidad de puntos racionales en la superficie cúbica de Cayley", Actas de la sesión sobre teoría analítica de números y ecuaciones diofánticas , Bonner Math. Schriften, vol. 360, Bonn: Univ. Bonn, pág. 33, señor  2075628
• Hunt, Bruce (2000), "Buenas variedades modulares", Matemáticas experimentales , 9 (4): 613–622, doi :10.1080/10586458.2000.10504664, ISSN  1058-6458, MR  1806296

enlaces externos

• Superficie cúbica nodal de Cayley, John Baez , Visual Insight, 15 de agosto de 2016
• Superficie de Cayley en MathCurve.