Superficie enneperada

Superficie mínima

Una porción de la superficie de Enneper.

En geometría diferencial y geometría algebraica , la superficie de Enneper es una superficie que se interseca a sí misma y que puede describirse paramétricamente mediante: Fue introducida por Alfred Enneper en 1864 en relación con la teoría de superficies mínimas . ^{[1] [2] [3] [4]} $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{3}}u\left(1-{\tfrac {1}{3}}u^{2}+v^{2}\right),\\y&={\tfrac {1}{3}}v\left(1-{\tfrac {1}{3}}v^{2}+u^{2}\right),\\z&={\tfrac {1}{3}}\left(u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}}$$

La parametrización de Weierstrass-Enneper es muy simple y la forma paramétrica real se puede calcular fácilmente a partir de ella. La superficie está conjugada consigo misma. ${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z}$

Se pueden utilizar métodos de implicitización de geometría algebraica para descubrir que los puntos en la superficie de Enneper dada anteriormente satisfacen la ecuación polinómica de grado 9. $${\displaystyle {\begin{aligned}&64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})\\&{}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^{4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})\\&{}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.\end{aligned}}}$$

Dualmente, el plano tangente en el punto con parámetros dados es donde sus coeficientes satisfacen la ecuación polinómica implícita de grado 6. ${\displaystyle a+bx+cy+dz=0,\ }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=-\left(u^{2}-v^{2}\right)\left(1+{\tfrac {1}{3}}u^{2}+{\tfrac {1}{3}}v^{2}\right),\\b&=6u,\\c&=6v,\\d&=-3\left(1-u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})\\&{}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.\end{aligned}}}$$

La curvatura jacobiana , gaussiana y la curvatura media son . La curvatura total es . Osserman demostró que una superficie mínima completa con curvatura total es la catenoide o la superficie de Enneper. ^[5] $${\displaystyle {\begin{aligned}J&={\frac {1}{81}}(1+u^{2}+v^{2})^{4},\\K&=-{\frac {4}{9}}{\frac {1}{J}},\\H&=0.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle -4\pi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle -4\pi }$

Otra propiedad es que todas las superficies bicúbicas mínimas de Bézier son, hasta una transformación afín , piezas de la superficie. ^[6]

Se puede generalizar a simetrías rotacionales de orden superior utilizando la parametrización de Weierstrass-Enneper para un entero k>1. ^[3] También se puede generalizar a dimensiones superiores; Se sabe que existen superficies tipo Enneper desde n hasta 7. ^[7] ${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Véase también ^{[8] [9]} para superficies de Enneper algebraicas de orden superior.

Referencias

1. JCC Nitsche, "Vorlesungen über Minimalflächen", Springer (1975)
2. Francisco J. López, Francisco Martín, Superficies mínimas completas en R3
3. Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, Friedrich Sauvigny (2010). Superficies mínimas. Berlín Heidelberg: Springer. ISBN  978-3-642-11697-1 .
4. Weisstein, Eric W. "Superficie mínima de Enneper". MundoMatemático .
5. R. Osserman, Un estudio de superficies mínimas. vol. 1, Universidad de Cambridge. Prensa, Nueva York (1989).
6. Cosín, C., Monterde, Bézier superficies de área mínima. En Ciencias Computacionales - ICCS 2002, eds. J., Sloot, Peter, Hoekstra, Alfons, Tan, C., Dongarra, Jack. Apuntes de conferencias sobre informática 2330, Springer Berlín / Heidelberg, 2002. págs. 72-81 ISBN 978-3-540-43593-8 
7. Jaigyoung Choe, Sobre la existencia de la superficie de Enneper de dimensiones superiores, Commentarii Mathematici Helvetici 1996, volumen 71, número 1, págs.
8. E. Güler, Familia de superficies mínimas Enneper. Matemáticas. 2018; 6(12):281. https://doi.org/10.3390/math6120281
9. E. Güler, Las superficies algebraicas de la familia Enneper de superficies máximas en el espacio tridimensional de Minkowski. Axiomas. 2022; 11(1):4. https://doi.org/10.3390/axioms11010004

enlaces externos

• "Superficie de Enneper", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Instituto de Investigaciones en Ciencias Matemáticas - Las superficies de Enneper generalizadas (Archivado)
• Harvey Mudd College - Superficie de Enneper (Archivado)