curvatura gaussiana

Producto de las curvaturas principales de una superficie.

De izquierda a derecha: una superficie de curvatura gaussiana negativa ( hiperboloide ), una superficie de curvatura gaussiana cero ( cilindro ) y una superficie de curvatura gaussiana positiva ( esfera ).

Algunos puntos del toroide tienen curvatura gaussiana positiva, otros negativa y algunos tienen curvatura gaussiana cero.

En geometría diferencial , la curvatura gaussiana o curvatura de Gauss Κ de una superficie lisa en el espacio tridimensional en un punto es el producto de las curvaturas principales , κ ₁ y κ ₂ , en el punto dado:

$${\displaystyle K=\kappa _{1}\kappa _{2}.}$$

radio de curvatura gaussianoΚr1/r ²hiperboloidetoroide

La curvatura gaussiana es una medida intrínseca de la curvatura , que depende únicamente de las distancias que se miden “dentro” o a lo largo de la superficie, no de la forma en que está incrustada isométricamente en el espacio euclidiano. Éste es el contenido del Theorema egregium .

La curvatura gaussiana lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss , quien publicó el Theorema egregium en 1827.

Definición informal

Superficie de silla de montar con planos normales en direcciones de curvaturas principales

En cualquier punto de una superficie, podemos encontrar un vector normal que forma ángulo recto con la superficie; Los planos que contienen el vector normal se llaman planos normales . La intersección de un plano normal y la superficie formará una curva llamada sección normal y la curvatura de esta curva es la curvatura normal . Para la mayoría de los puntos en la mayoría de las superficies "lisas", diferentes secciones normales tendrán diferentes curvaturas; los valores máximo y mínimo de estos se llaman curvaturas principales , llámelos κ ₁ , κ ₂ . La curvatura gaussiana es el producto de las dos curvaturas principales Κ = κ ₁ κ ₂ .

Para caracterizar la superficie se puede utilizar el signo de la curvatura gaussiana.

• Si ambas curvaturas principales son del mismo signo: κ ₁ κ ₂ > 0 , entonces la curvatura gaussiana es positiva y se dice que la superficie tiene un punto elíptico. En tales puntos, la superficie tendrá forma de cúpula y se situará localmente en un lado de su plano tangente. Todas las curvaturas seccionales tendrán el mismo signo.
• Si las curvaturas principales tienen signos diferentes: κ ₁ κ ₂ < 0 , entonces la curvatura gaussiana es negativa y se dice que la superficie tiene un punto hiperbólico o de silla . En tales puntos, la superficie tendrá forma de silla de montar. Debido a que una curvatura principal es negativa, la otra es positiva y la curvatura normal varía continuamente si se gira un plano ortogonal a la superficie alrededor de la normal a la superficie en dos direcciones, las curvaturas normales serán cero, lo que dará las curvas asintóticas para ese punto.
• Si una de las curvaturas principales es cero: κ ₁ κ ₂ = 0 , la curvatura gaussiana es cero y se dice que la superficie tiene un punto parabólico.

La mayoría de las superficies contendrán regiones de curvatura gaussiana positiva (puntos elípticos) y regiones de curvatura gaussiana negativa separadas por una curva de puntos con curvatura gaussiana cero llamada línea parabólica .

Relación con las geometrías

Cuando una superficie tiene una curvatura gaussiana constante cero, entonces es una superficie desarrollable y la geometría de la superficie es geometría euclidiana .

Cuando una superficie tiene una curvatura gaussiana positiva constante, entonces la geometría de la superficie es geometría esférica . Las esferas y los parches de esferas tienen esta geometría, pero también existen otros ejemplos, como el limón/fútbol americano .

Cuando una superficie tiene una curvatura gaussiana negativa constante, entonces es una superficie pseudoesférica y la geometría de la superficie es geometría hiperbólica .

Relación con las curvaturas principales.

Las dos curvaturas principales en un punto dado de una superficie son los valores propios del operador de forma en el punto. Miden cómo la superficie se dobla en diferentes cantidades en diferentes direcciones desde ese punto. Representamos la superficie mediante el teorema de la función implícita como la gráfica de una función, f , de dos variables, de tal manera que el punto p es un punto crítico, es decir, el gradiente de f desaparece (esto siempre se puede lograr mediante un movimiento rígido adecuado). Entonces la curvatura gaussiana de la superficie en p es el determinante de la matriz hessiana de f (siendo el producto de los valores propios de la hessiana). (Recuerde que el hessiano es la matriz 2 × 2 de segundas derivadas). Esta definición permite comprender inmediatamente la distinción entre una copa/tapa y una punta de silla.

Definiciones alternativas

También viene dado por

$${\displaystyle K={\frac {{\bigl \langle }(\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}{\bigr \rangle }}{\det g}},}$$

∇ _i = ∇ _{e i}derivada covariantegtensor métrico

En un punto p sobre una superficie regular en R ³ , la curvatura gaussiana también viene dada por

$${\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det S(\mathbf {p} ),}$$

Soperador de forma

Una fórmula útil para la curvatura gaussiana es la ecuación de Liouville en términos del laplaciano en coordenadas isotérmicas .

curvatura total

La suma de los ángulos de un triángulo sobre una superficie de curvatura negativa es menor que la de un triángulo plano.

La integral de superficie de la curvatura gaussiana sobre alguna región de una superficie se llama curvatura total . La curvatura total de un triángulo geodésico es igual a la desviación de la suma de sus ángulos respecto de π . La suma de los ángulos de un triángulo sobre una superficie de curvatura positiva superará a π , mientras que la suma de los ángulos de un triángulo sobre una superficie de curvatura negativa será menor que π . En una superficie de curvatura cero, como el plano euclidiano , los ángulos sumarán exactamente π radianes.

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\iint _{T}K\,dA.}$$

Un resultado más general es el teorema de Gauss-Bonnet .

Teoremas importantes

teorema egregio

El Teorema egregium de Gauss (latín: "teorema notable") establece que la curvatura gaussiana de una superficie se puede determinar a partir de las mediciones de longitud en la superficie misma. De hecho, se puede encontrar dado el pleno conocimiento de la primera forma fundamental y expresada mediante la primera forma fundamental y sus derivadas parciales de primer y segundo orden. De manera equivalente, el determinante de la segunda forma fundamental de una superficie en R ³ puede expresarse así. La característica "notable" y sorprendente de este teorema es que, aunque la definición de la curvatura gaussiana de una superficie S en R ³ ciertamente depende de la forma en que la superficie está ubicada en el espacio, el resultado final, la curvatura gaussiana misma , está determinado por la métrica intrínseca de la superficie sin ninguna referencia adicional al espacio ambiental: es una invariante intrínseca . En particular, la curvatura gaussiana es invariante bajo deformaciones isométricas de la superficie.

En la geometría diferencial contemporánea, una "superficie", vista de manera abstracta, es una variedad diferenciable bidimensional . Para conectar este punto de vista con la teoría clásica de superficies , una superficie tan abstracta está incrustada en R ³ y dotada de la métrica de Riemann dada por la primera forma fundamental. Supongamos que la imagen de la incrustación es una superficie S en R ³ . Una isometría local es un difeomorfismo f  : U → V entre regiones abiertas de R ³ cuya restricción a S ∩ U es una isometría sobre su imagen. El teorema egregium se expresa entonces de la siguiente manera:

La curvatura gaussiana de una superficie lisa incrustada en R ³ es invariante bajo las isometrías locales.

Por ejemplo, la curvatura gaussiana de un tubo cilíndrico es cero, lo mismo que para el tubo "desenrollado" (que es plano). ^{[1] [ página necesaria ]} Por otro lado, dado que una esfera de radio R tiene curvatura positiva constante R ⁻² y un plano tiene curvatura constante 0, estas dos superficies no son isométricas, ni siquiera localmente. Por tanto, cualquier representación plana de incluso una pequeña parte de una esfera debe distorsionar las distancias. Por tanto, ninguna proyección cartográfica es perfecta.

Teorema de Gauss-Bonnet

El teorema de Gauss-Bonnet relaciona la curvatura total de una superficie con su característica de Euler y proporciona un vínculo importante entre las propiedades geométricas locales y las propiedades topológicas globales.

${\displaystyle \int _{M}K\,dA+\int _{\partial M}k_{g}\,ds=2\pi \chi (M),\,}$

Superficies de curvatura constante.

Dos superficies que tienen curvatura gaussiana positiva constante pero con un límite abierto o puntos singulares.

• El teorema de Minding (1839) establece que todas las superficies con la misma curvatura constante K son localmente isométricas. Una consecuencia del teorema de Minding es que cualquier superficie cuya curvatura sea idénticamente cero puede construirse doblando alguna región plana. Estas superficies se denominan superficies desarrollables . Minding también planteó la cuestión de si una superficie cerrada con curvatura positiva constante es necesariamente rígida.
• El teorema de Liebmann (1900) respondió a la pregunta de Minding. Las únicas superficies cerradasregulares (de clase C ^{2 ) en} R ³ con curvatura gaussiana positiva constante son las esferas . ^[2] Si una esfera se deforma, deja de ser una esfera, lo que demuestra que una esfera es rígida. Una prueba estándar utiliza el lema de Hilbert de que los puntos no umbilicales de curvatura principal extrema tienen curvatura gaussiana no positiva. ^[3]
• El teorema de Hilbert (1901) establece que no existe una superficie regular analítica completa (clase C ^ω ) en R ³ de curvatura gaussiana negativa constante. De hecho, la conclusión también es válida para superficies de clase C ² sumergidas en R ³ , pero no se cumple para superficies C ¹ . La pseudoesfera tiene una curvatura gaussiana negativa constante excepto en su círculo límite, donde la curvatura gaussiana no está definida.

Hay otras superficies que tienen una curvatura gaussiana positiva constante. Manfredo do Carmo considera superficies de revolución donde , y (una integral elíptica incompleta de segundo tipo ). Todas estas superficies tienen una curvatura gaussiana constante de 1, pero tienen un límite o un punto singular. do Carmo también da tres ejemplos diferentes de superficie con curvatura gaussiana negativa constante, uno de los cuales es la pseudoesfera . ^[4] ${\displaystyle (\phi (v)\cos(u),\phi (v)\sin(u),\psi (v))}$ ${\displaystyle \phi (v)=C\cos v}$ ${\textstyle \psi (v)=\int _{0}^{v}{\sqrt {1-C^{2}\sin ^{2}v'}}\ dv'}$ ${\displaystyle C\neq 1}$

Hay muchas otras posibles superficies acotadas con curvatura gaussiana constante. Si bien la esfera es rígida y no se puede doblar usando una isometría, si se elimina una pequeña región, o incluso se corta a lo largo de un pequeño segmento, entonces la superficie resultante se puede doblar. Tal flexión preserva la curvatura gaussiana, por lo que cualquier flexión de una esfera con una región eliminada también tendrá una curvatura gaussiana constante. ^[5]

Fórmulas alternativas

• La curvatura gaussiana de una superficie en R ³ se puede expresar como la relación de los determinantes de la segunda y primera formas fundamentales II y I :
  $${\displaystyle K={\frac {\det(\mathrm {I\!I} )}{\det(\mathrm {I} )}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}.}$$
• ElLa fórmula de Brioschi (despuésde Francesco Brioschi) da la curvatura gaussiana únicamente en términos de la primera forma fundamental:
  $${\displaystyle K={\frac {{\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{\left(EG-F^{2}\right)^{2}}}}$$
• Para una parametrización ortogonal ( F = 0 ), la curvatura gaussiana es:
  $${\displaystyle K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {G_{u}}{\sqrt {EG}}}+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}{\sqrt {EG}}}\right).}$$
• Para una superficie descrita como gráfica de una función z = F ( x , y ) , la curvatura gaussiana es: ^[6]
  $${\displaystyle K={\frac {F_{xx}\cdot F_{yy}-F_{xy}^{2}}{\left(1+F_{x}^{2}+F_{y}^{2}\right)^{2}}}}$$
• Para una superficie definida implícitamente, F ( x , y , z ) = 0 , la curvatura gaussiana se puede expresar en términos del gradiente ∇ F y la matriz de Hesse H ( F ) : ^{[7] [8]}
  $${\displaystyle K=-{\frac {\begin{vmatrix}H(F)&\nabla F^{\mathsf {T}}\\\nabla F&0\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}=-{\frac {\begin{vmatrix}F_{xx}&F_{xy}&F_{xz}&F_{x}\\F_{xy}&F_{yy}&F_{yz}&F_{y}\\F_{xz}&F_{yz}&F_{zz}&F_{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}&0\\\end{vmatrix}}{|\nabla F|^{4}}}}$$
• Para una superficie con métrica conforme a la euclidiana, entonces F = 0 y E = G = e ^σ , la curvatura de Gauss viene dada por ( siendo Δ el operador de Laplace habitual ):
  $${\displaystyle K=-{\frac {1}{2e^{\sigma }}}\Delta \sigma .}$$
• La curvatura gaussiana es la diferencia límite entre la circunferencia de un círculo geodésico y un círculo en el plano: ^[9]
  $${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}3{\frac {2\pi r-C(r)}{\pi r^{3}}}}$$
• La curvatura gaussiana es la diferencia límite entre el área de un disco geodésico y un disco en el plano: ^[9]
  $${\displaystyle K=\lim _{r\to 0^{+}}12{\frac {\pi r^{2}-A(r)}{\pi r^{4}}}}$$
• La curvatura gaussiana se puede expresar con los símbolos de Christoffel : ^[10]
  $${\displaystyle K=-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)}$$

Ver también

• Radio de curvatura gaussiano de la Tierra
• Curvatura seccional
• Curvatura media
• Mapa de Gauss
• tensor de curvatura de Riemann
• Curvatura principal

Referencias

1. Porteoso, IR (1994). Diferenciación geométrica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-39063-X.
2. Kühnel, Wolfgang (2006). Geometría diferencial: curvas, superficies, variedades . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-3988-8.
3. Gris, Alfred (1997). "28.4 Lema de Hilbert y teorema de Liebmann". Geometría diferencial moderna de curvas y superficies con Mathematica (2ª ed.). Prensa CRC. págs. 652–654. ISBN 9780849371646..
4. Carmo, Manfredo Perdigão do (2016) [1976]. Geometría diferencial de curvas y superficies (2ª ed.). Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 171.ISBN _ 978-0-486-80699-0– vía zbMATH.
5. Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometría e imaginación (2ª ed.). Chelsea. pag. 228.ISBN _ 0-8284-1087-9.
6. "Investigaciones generales de superficies curvas de 1827 y 1825". [Princeton] La biblioteca de la universidad de Princeton. 1902.
7. Goldman, R. (2005). "Fórmulas de curvatura para superficies y curvas implícitas". Diseño Geométrico Asistido por Computadora . 22 (7): 632–658. CiteSeerX 10.1.1.413.3008 . doi :10.1016/j.cagd.2005.06.005. 
8. Spivak, M. (1975). Una introducción completa a la geometría diferencial . vol. 3. Boston: publicar o morir.
9. Teorema de Bertrand-Diquet-Puiseux
10. Struik, Dirk (1988). Conferencias sobre Geometría Diferencial Clásica . Publicaciones de Courier Dover. ISBN 0-486-65609-8.

Libros

• Grinfeld, P. (2014). Introducción al análisis tensorial y al cálculo de superficies en movimiento . Saltador. ISBN 978-1-4614-7866-9.
• Rovelli, Carlo (2021). Relatividad general: lo esencial . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-009-01369-7.

enlaces externos

• "Curvatura gaussiana", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]