Las superficies de Bézier son una especie de spline matemático que se utiliza en gráficos por ordenador , diseño asistido por ordenador y modelado de elementos finitos . Al igual que las curvas de Bézier , una superficie de Bézier se define mediante un conjunto de puntos de control. Son similares a la interpolación en muchos aspectos, pero una diferencia clave es que la superficie, en general, no pasa por los puntos de control centrales, sino que se "estira" hacia ellos como si cada uno fuera una fuerza atractiva. Son visualmente intuitivas y, para muchas aplicaciones, matemáticamente convenientes.
Las superficies de Bézier fueron descritas por primera vez en 1962 por el ingeniero francés Pierre Bézier, que las utilizó para diseñar carrocerías de automóviles . Las superficies de Bézier pueden tener cualquier grado de libertad, pero las superficies de Bézier bicúbicas suelen proporcionar suficientes grados de libertad para la mayoría de las aplicaciones.
Una superficie de Bézier dada de grado ( n , m ) se define por un conjunto de ( n + 1)( m + 1) puntos de control k i , j donde i = 0, ..., n y j = 0, ..., m . Mapea el cuadrado unitario en una superficie suave y continua incrustada dentro del espacio que contiene los k i , j s; por ejemplo, si los k i , j s son todos puntos en un espacio de cuatro dimensiones, entonces la superficie estará dentro de un espacio de cuatro dimensiones.
Una superficie de Bézier bidimensional se puede definir como una superficie paramétrica donde la posición de un punto p en función de las coordenadas paramétricas u , v viene dada por: [1]
evaluado sobre el cuadrado unitario, donde
es un polinomio de Bernstein base , y
es un coeficiente binomial .
Algunas propiedades de las superficies de Bézier:
En general, el uso más común de las superficies de Bézier es como redes de parches bicúbicos (donde m = n = 3). La geometría de un único parche bicúbico está completamente definida por un conjunto de 16 puntos de control. Estos suelen estar vinculados para formar una superficie B-spline de forma similar a como se vinculan las curvas de Bézier para formar una curva B-spline .
Las superficies de Bézier más simples se forman a partir de parches bicuadráticos ( m = n = 2) o triángulos de Bézier .
Las mallas de parches de Bézier son superiores a las mallas triangulares como representación de superficies lisas. Requieren menos puntos (y, por lo tanto, menos memoria) para representar superficies curvas, son más fáciles de manipular y tienen propiedades de continuidad mucho mejores . Además, otras superficies paramétricas comunes, como esferas y cilindros, se pueden aproximar bien mediante un número relativamente pequeño de parches de Bézier cúbicos.
Sin embargo, las mallas de parches de Bézier son difíciles de renderizar directamente. Un problema con los parches de Bézier es que el cálculo de sus intersecciones con líneas es difícil, lo que los hace difíciles para el trazado de rayos puro u otras técnicas geométricas directas que no utilizan técnicas de subdivisión o aproximación sucesiva. También son difíciles de combinar directamente con algoritmos de proyección en perspectiva.
Por este motivo, las mallas de parches de Bézier suelen descomponerse en mallas de triángulos planos mediante canales de renderizado 3D . En el renderizado de alta calidad, la subdivisión se ajusta para que sea tan fina que no se puedan ver los límites de los triángulos individuales. Para evitar un aspecto "borroso", en esta etapa se suelen aplicar detalles finos a las superficies de Bézier mediante mapas de textura , mapas de relieve y otras técnicas de sombreado de píxeles .
Un parche de Bézier de grado ( m , n ) se puede construir a partir de dos triángulos de Bézier de grado m + n , o a partir de un solo triángulo de Bézier de grado m + n , con el dominio de entrada como un cuadrado en lugar de un triángulo .
Un triángulo de Bézier de grado m también puede construirse a partir de una superficie de Bézier de grado ( m , m ), con los puntos de control de modo que un borde esté aplastado en un punto, o con el dominio de entrada como un triángulo en lugar de un cuadrado.
