En geometría diferencial , la familia asociada (o familia Bonnet ) de una superficie mínima es una familia de superficies mínimas de un parámetro que comparten los mismos datos de Weierstrass . Es decir, si la superficie tiene la representación
La familia es descrita por
donde indica la parte real de un número complejo .
Para θ = π /2 la superficie se llama conjugada de la superficie θ = 0. [1]
La transformación puede verse como una rotación local de las direcciones de curvatura principales . Las normales de superficie de un punto con un ζ fijo permanecen inalteradas a medida que θ cambia; el punto en sí se mueve a lo largo de una elipse.
Algunos ejemplos de familias de superficies asociadas son: la familia de las catenoides y helicoides , la familia de las superficies Schwarz P , Schwarz D y giroides , y la primera y segunda familia de superficies de Scherk . La superficie de Enneper es conjugada consigo misma: se deja invariante cuando θ cambia.
Las superficies conjugadas tienen la propiedad de que cualquier línea recta sobre una superficie se proyecta sobre una geodésica plana sobre su superficie conjugada y viceversa. Si una parte de una superficie está delimitada por una línea recta, entonces la parte conjugada está delimitada por una línea de simetría plana. Esto es útil para construir superficies mínimas yendo al espacio conjugado: estar delimitado por planos es equivalente a estar delimitado por un polígono. [2]
Existen contrapartes de las familias asociadas de superficies mínimas en espacios y variedades de dimensiones superiores. [3]
![{\displaystyle x_{k}(\zeta ,\theta )=\Re \left\{e^{i\theta }\int _{0}^{\zeta }\varphi _{k}(z)\,dz\right\}+c_{k},\qquad \theta \in [0,2\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8412d52c5c7faf8f45b10c51e0b334f11ebf2ce1)
