Clasificación Enriques-Kodaira

Clasificación matemática de superficies.

En matemáticas , la clasificación Enriques-Kodaira agrupa superficies compactas complejas en diez clases, cada una parametrizada por un espacio de módulos . Para la mayoría de las clases, los espacios de módulos se comprenden bien, pero para la clase de superficies de tipo general, los espacios de módulos parecen demasiado complicados para describirlos explícitamente, aunque se conocen algunos componentes.

Max Noether inició el estudio sistemático de las superficies algebraicas y Guido Castelnuovo demostró partes importantes de la clasificación. Federigo Enriques  (1914, 1949) describió la clasificación de superficies proyectivas complejas. Kunihiko Kodaira  (1964, 1966, 1968a, 1968b) amplió posteriormente la clasificación para incluir superficies compactas no algebraicas. La clasificación análoga de superficies en características positivas fue iniciada por David Mumford  (1969) y completada por Enrico Bombieri y David Mumford (1976, 1977); es similar al caso proyectivo de la característica 0, excepto que también se obtienen superficies de Enriques singulares y supersingulares en la característica 2, y superficies cuasi-hiperelípticas en las características 2 y 3.

Declaración de la clasificación

Chern números de superficies complejas mínimas.

La clasificación Enriques-Kodaira de superficies complejas compactas establece que cada superficie compleja compacta mínima no singular es exactamente de uno de los 10 tipos enumerados en esta página; es decir, se trata de una superficie de tipo racional, reglada (género > 0), tipo VII, K3, Enriques, Kodaira, tórica, hiperelíptica, propiamente cuasi-elíptica o general.

Para las 9 clases de superficies distintas del tipo general, hay una descripción bastante completa de cómo se ven todas las superficies (que para la clase VII depende de la conjetura global de la capa esférica , aún no probada en 2024). Para superficies de tipo general no se sabe mucho sobre su clasificación explícita, aunque se han encontrado muchos ejemplos.

La clasificación de superficies algebraicas en característica positiva (Mumford 1969, Mumford & Bombieri 1976, 1977) es similar a la de superficies algebraicas en característica 0, excepto que no hay superficies de Kodaira o superficies de tipo VII, y hay algunas familias adicionales de Superficies de Enriques en la característica 2, y superficies hiperelípticas en las características 2 y 3, y en la dimensión 1 de Kodaira en las características 2 y 3 también se permiten fibraciones cuasielípticas. Estas familias extra se pueden entender de la siguiente manera: En la característica 0 estas superficies son los cocientes de superficies por grupos finitos, pero en características finitas también es posible tomar cocientes por esquemas de grupos finitos que no son étale .

Oscar Zariski construyó unas superficies en característica positiva que son uniracionales pero no racionales, derivadas de extensiones inseparables ( superficies Zariski ). En característica positiva Serre mostró que pueden diferir de , e Igusa demostró que incluso cuando son iguales pueden ser mayores que la irregularidad (la dimensión de la variedad Picard ). ${\displaystyle h^{0}(\Omega )}$ ${\displaystyle h^{1}({\mathcal {O}})}$

Invariantes de superficies

Números de Hodge y dimensión de Kodaira

Las invariantes más importantes de superficies complejas compactas utilizadas en la clasificación se pueden dar en términos de las dimensiones de varios grupos de cohomología de gavillas coherentes . Los básicos son los plurigenerados y los números de Hodge definidos de la siguiente manera:

• K es el paquete de líneas canónicas cuyas secciones son las 2 formas holomorfas.

• ${\displaystyle P_{n}=\dim H^{0}(K^{n}),n\geqslant 1}$se llaman plurigenerados . Son invariantes biracionales , es decir, invariantes bajo explosión. Utilizando la teoría de Seiberg-Witten , Robert Friedman y John Morgan demostraron que para variedades complejas solo dependen de la variedad 4 suave orientada subyacente. Para superficies que no son de Kähler, los plurigéneros están determinados por el grupo fundamental, pero para las superficies de Kähler hay ejemplos de superficies que son homeomórficas pero que tienen diferentes dimensiones de plurigénero y Kodaira. Los plurigéneros individuales no se utilizan con frecuencia; Lo más importante de ellos es su tasa de crecimiento, medida por la dimensión Kodaira .

• ${\displaystyle \kappa }$es la dimensión de Kodaira : es (a veces escrito -1) si los plurigéneros son todos 0 y, en caso contrario, es el número más pequeño (0, 1 o 2 para superficies) tal que está acotado. Enriques no utilizó esta definición: en su lugar utilizó los valores de y . Estos determinan la dimensión de Kodaira dada la siguiente correspondencia: ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle P_{n}/n^{\kappa }}$ ${\displaystyle P_{12}}$ ${\displaystyle K\cdot K=c_{1}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa =-\infty &\longleftrightarrow P_{12}=0\\\kappa =0&\longleftrightarrow P_{12}=1\\\kappa =1&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K=0\\\kappa =2&\longleftrightarrow P_{12}>1{\text{ and }}K\cdot K>0\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle h^{i,j}=\dim H^{j}(X,\Omega ^{i}),}$¿Dónde está el haz de formas i holomorfas ? Son los números de Hodge , a menudo dispuestos en el diamante de Hodge: ${\displaystyle \Omega ^{i}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&&h^{0,0}&&\\&h^{1,0}&&h^{0,1}&\\h^{2,0}&&h^{1,1}&&h^{0,2}\\&h^{2,1}&&h^{1,2}&\\&&h^{2,2}&&\\\end{matrix}}}$

Según la dualidad de Serre y los números de Hodge de una superficie compleja dependen únicamente del anillo de cohomología real orientado de la superficie, y son invariantes bajo transformaciones biracionales, excepto que aumentan en 1 al explotar un solo punto. ${\displaystyle h^{i,j}=h^{2-i,2-j}}$ ${\displaystyle h^{0,0}=h^{2,2}=1.}$ ${\displaystyle h^{1,1}}$

• Si la superficie es Kähler , entonces solo hay tres números de Hodge independientes. ${\displaystyle h^{i,j}=h^{j,i}}$
• Si la superficie es compacta entonces es igual o ${\displaystyle h^{1,0}}$ ${\displaystyle h^{0,1}}$ ${\displaystyle h^{0,1}-1.}$

Invariantes relacionadas con los números de Hodge

Hay muchas invariantes que (al menos para superficies complejas) se pueden escribir como combinaciones lineales de los números de Hodge, como sigue:

• Números de Betti : definidos por ${\displaystyle b_{i}=\dim H^{i}(S),0\leqslant i\leqslant 4.}$

${\displaystyle {\begin{cases}b_{0}=b_{4}=1\\b_{1}=b_{3}=h^{1,0}+h^{0,1}=h^{2,1}+h^{1,2}\\b_{2}=h^{2,0}+h^{1,1}+h^{0,2}\end{cases}}}$

En la característica p  > 0, los números de Betti se definen utilizando cohomología l-ádica y no necesitan satisfacer estas relaciones.

• Característica de Euler o número de Euler :

${\displaystyle e=b_{0}-b_{1}+b_{2}-b_{3}+b_{4}.}$

• La irregularidad se define como la dimensión de la variedad Picard y la variedad Albanese y se denota por q . Para superficies complejas (pero no siempre para superficies de características principales)

${\displaystyle q=h^{0,1}.}$

• El género geométrico :

${\displaystyle p_{g}=h^{0,2}=h^{2,0}=P_{1}.}$

• El género aritmético :

${\displaystyle p_{a}=p_{g}-q=h^{0,2}-h^{0,1}.}$

• La característica holomorfa de Euler del paquete trivial (generalmente difiere del número de Euler e definido anteriormente):

${\displaystyle \chi =p_{g}-q+1=h^{0,2}-h^{0,1}+1.}$

Según la fórmula de Noether también es igual al género Todd. ${\displaystyle {\tfrac {1}{12}}(c_{1}^{2}+c_{2}).}$

• La firma del segundo grupo de cohomología para superficies complejas se denota por : ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau =4\chi -e=\sum \nolimits _{i,j}(-1)^{j}h^{i,j}.}$

• ${\displaystyle b^{\pm }}$son las dimensiones de los subespacios definidos positivos y negativos máximos de so: ${\displaystyle H^{2},}$

${\displaystyle {\begin{cases}b^{+}+b^{-}=b_{2}\\b^{+}-b^{-}=\tau \end{cases}}}$

• c ₂ = e y son los números de Chern , definidos como las integrales de varios polinomios en las clases de Chern sobre la variedad. ${\displaystyle c_{1}^{2}=K^{2}=12\chi -e}$

Otras invariantes

Hay otras invariantes de superficies complejas compactas que no se utilizan tanto en la clasificación. Estos incluyen invariantes algebraicos como el grupo Picard Pic( X ) de divisores módulo de equivalencia lineal , su cociente el grupo Néron-Severi NS( X ) con rango el número Picard ρ, invariantes topológicos como el grupo fundamental π ₁ y la homología integral y grupos de cohomología, e invariantes de la variedad 4 suave subyacente, como las invariantes de Seiberg-Witten y las invariantes de Donaldson .

Modelos mínimos y explosión.

Cualquier superficie es biracional a una superficie no singular, por lo que para la mayoría de los propósitos es suficiente clasificar las superficies no singulares.

Dado cualquier punto de una superficie, podemos formar una nueva superficie ampliando este punto, lo que significa aproximadamente que lo reemplazamos por una copia de la línea proyectiva. A los efectos de este artículo, una superficie no singular X se denomina mínima si no se puede obtener a partir de otra superficie no singular explotando un punto. Según el teorema de contracción de Castelnuovo , esto equivale a decir que X no tiene curvas (−1) (curvas racionales suaves con número de autointersección −1). (En la terminología más moderna del programa de modelo mínimo , una superficie proyectiva suave X se llamaría mínima si su haz de líneas canónicas K _X es nef . Una superficie proyectiva suave tiene un modelo mínimo en ese sentido más fuerte si y solo si su dimensión Kodaira no es negativo.)

Cada superficie X es biracional a una superficie mínima no singular, y esta superficie mínima no singular es única si X tiene dimensión de Kodaira al menos 0 o no es algebraica. Las superficies algebraicas de la dimensión de Kodaira pueden ser biracionales con respecto a más de una superficie mínima no singular, pero es fácil describir la relación entre estas superficies mínimas. Por ejemplo, P ¹ × P ¹ ampliado en un punto es isomorfo a P ² ampliado dos veces. Entonces, para clasificar todas las superficies complejas compactas hasta el isomorfismo biracional es (más o menos) suficiente clasificar las mínimas no singulares. ${\displaystyle -\infty }$

Superficies de dimensión Kodaira −∞

Las superficies algebraicas de la dimensión de Kodaira se pueden clasificar de la siguiente manera. Si q > 0 entonces el mapa de la variedad albanesa tiene fibras que son líneas proyectivas (si la superficie es mínima), por lo que la superficie es una superficie reglada. Si q = 0 este argumento no funciona ya que la variedad Albanese es un punto, pero en este caso el teorema de Castelnuovo implica que la superficie es racional. ${\displaystyle -\infty }$

Para superficies no algebraicas, Kodaira encontró una clase adicional de superficies, llamada tipo VII, que aún no se comprenden bien.

Superficies racionales

Superficie racional significa superficie biracional al plano proyectivo complejo P ² . Todos estos son algebraicos. Las superficies racionales mínimas son la propia P ² y las superficies de Hirzebruch Σ _n para n = 0 o n ≥ 2. (La superficie de Hirzebruch Σ _n es el paquete P ^{1 sobre} P ¹ asociado a la gavilla O(0) + O( n ) La superficie Σ ₀ es isomorfa a P ¹ × P ¹ , y Σ ₁ es isomorfa a P ² ampliada en un punto, por lo que no es mínima).

Invariantes: Los plurigenerados son todos 0 y el grupo fundamental es trivial.

Diamante Hodge:

Ejemplos: P ² , P ¹ × P ¹ = Σ ₀ , superficies de Hirzebruch Σ _n , cuádricas , superficies cúbicas , superficies de Del Pezzo , superficie de Veronese . Muchos de estos ejemplos no son mínimos.

Superficies regladas de género > 0

Las superficies regladas de género g tienen un morfismo suave a una curva de género g cuyas fibras son líneas P ¹ . Todos son algebraicos. (Las del género 0 son las superficies de Hirzebruch y son racionales). Cualquier superficie reglada es biracionalmente equivalente a P ¹ × C para una curva única C , por lo que la clasificación de superficies regladas hasta la equivalencia biracional es esencialmente la misma que la clasificación de curvas. Una superficie reglada que no es isomorfa a P ¹ × P ¹ tiene una regla única ( P ¹ × P ¹ tiene dos).

Invariantes: Los plurigenerados son todos 0.

Diamante Hodge:

Ejemplos: El producto de cualquier curva de género > 0 con P ¹ .

Superficies de clase VII

Estas superficies nunca son algebraicas o Kähler . Las mínimas con b ₂ = 0 han sido clasificadas por Bogomolov, y son superficies de Hopf o superficies de Inoue . Los ejemplos con un segundo número de Betti positivo incluyen las superficies de Inoue-Hirzebruch , las superficies de Enoki y, más generalmente, las superficies de Kato . La conjetura global de la capa esférica implica que todas las superficies mínimas de clase VII con un segundo número de Betti positivo son superficies de Kato, lo que completaría más o menos la clasificación de las superficies de tipo VII.

Invariantes: q = 1, h ^1,0 = 0. Todos los plurigéneros son 0.

Diamante Hodge:

Superficies de Kodaira dimensión 0

Estas superficies se clasifican comenzando con la fórmula de Noether. Para la dimensión 0 de Kodaira, K tiene un número de intersección cero consigo mismo , por lo que usando ${\displaystyle 12\chi =c_{2}+c_{1}^{2}.}$ ${\displaystyle c_{1}^{2}=0.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi &=h^{0,0}-h^{0,1}+h^{0,2}\\c_{2}&=2-2b_{1}+b_{2}\end{aligned}}}$

llegamos a:

${\displaystyle 10+12h^{0,2}=8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}}$

Además como κ = 0 tenemos:

${\displaystyle h^{0,2}={\begin{cases}1&K=0\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

combinando esto con la ecuación anterior se obtiene:

${\displaystyle 8h^{0,1}+2\left(2h^{0,1}-b_{1}\right)+b_{2}={\begin{cases}22&K=0\\10&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

En general, 2 h ^0,1 ≥ b ₁ , por lo que tres términos de la izquierda son números enteros no negativos y solo hay unas pocas soluciones para esta ecuación.

• Para superficies algebraicas 2 h ^0,1 − b ₁ es un número entero par entre 0 y 2 p _g .
• Para superficies complejas compactas 2 h ^0,1 − b ₁ = 0 o 1.
• Para superficies Kähler 2 h ^0,1 − b ₁ = 0 y h ^1,0 = h ^0,1 .

La mayoría de las soluciones a estas condiciones corresponden a clases de superficies, como se muestra en la siguiente tabla:

Superficies K3

Estas son las superficies complejas compactas mínimas de Kodaira dimensión 0 con q = 0 y un paquete de líneas canónico trivial. Todas ellas son variedades de Kähler . Todas las superficies K3 son difeomorfas y su clase de difeomorfismo es un ejemplo importante de un giro suave de 4 colectores simplemente conectados.

Invariantes: El segundo grupo de cohomología H ² ( X , Z ) es isomorfo a la única red par unimodular II _3,19 de dimensión 22 y signatura −16.

Diamante Hodge:

Ejemplos :

• Hipersuperficies de grado 4 en P ³ ( C )
• Superficies de Kummer . Estos se obtienen cocientes de una superficie abeliana mediante el automorfismo a → − a y luego ampliando los 16 puntos singulares.

Una superficie K3 marcada es una superficie K3 junto con un isomorfismo de II _3,19 a H ² ( X , Z ). El espacio de módulos de las superficies K3 marcadas está conectado con un espacio analítico suave no Hausdorff de dimensión 20. Las superficies algebraicas K3 forman una colección contable de subvariedades de 19 dimensiones.

Superficies abelianas y toros complejos bidimensionales

Los toros complejos bidimensionales incluyen las superficies abelianas . Los toros complejos unidimensionales son simplemente curvas elípticas y todos son algebraicos, pero Riemann descubrió que la mayoría de los toros complejos de dimensión 2 no son algebraicos. Las algebraicas son exactamente las variedades abelianas bidimensionales . La mayor parte de su teoría es un caso especial de la teoría de los tori de dimensiones superiores o variedades abelianas. Los criterios para ser producto de dos curvas elípticas (hasta la isogenia ) fueron un estudio popular en el siglo XIX.

Invariantes: Los plurigéneros son todos 1. La superficie es difeomorfa a S ¹ × S ¹ × S ¹ × S ¹ , por lo que el grupo fundamental es Z ⁴ .

Diamante Hodge:

Ejemplos: producto de dos curvas elípticas. El jacobiano de una curva de género 2. Cualquier cociente de C ² por una red.

Superficies Kodaira

Estos nunca son algebraicos, aunque tienen funciones meromórficas no constantes. Suelen dividirse en dos subtipos: superficies de Kodaira primarias con haces canónicos triviales y superficies de Kodaira secundarias que son cocientes de éstas por grupos finitos de órdenes 2, 3, 4 o 6, y que tienen haces canónicos no triviales. Las superficies secundarias de Kodaira tienen con las primarias la misma relación que las superficies de Enriques con las superficies K3, o las superficies bielípticas con las superficies abelianas.

Invariantes: Si la superficie es el cociente de una superficie primaria de Kodaira por un grupo de orden k = 1, 2, 3, 4, 6, entonces los plurigéneros P _n son 1 si n es divisible por k y 0 en caso contrario.

Diamante Hodge:

Ejemplos: tome un paquete de líneas no trivial sobre una curva elíptica, elimine la sección cero y luego cociente las fibras por Z que actúa como multiplicación por potencias de algún número complejo z . Esto da una superficie Kodaira primaria.

superficies enriques

Estas son las superficies complejas tales que q = 0 y el paquete de líneas canónico no es trivial, pero tiene un cuadrado trivial. Las superficies de Enrique son todas algebraicas (y por tanto Kähler ). Son cocientes de superficies K3 por un grupo de orden 2 y su teoría es similar a la de las superficies algebraicas K3.

Invariantes: Los plurigenerados P _n son 1 si n es par y 0 si n es impar. El grupo fundamental tiene orden 2. El segundo grupo de cohomología H ² ( X , Z ) es isomorfo a la suma de la única red par unimodular II _1,9 de dimensión 10 y signatura −8 y un grupo de orden 2.

Diamante Hodge:

Las superficies marcadas de Enriques forman una familia conectada de 10 dimensiones, que se ha descrito explícitamente.

En la característica 2 hay algunas familias adicionales de superficies de Enriques llamadas superficies de Enriques singulares y supersingulares; consulte el artículo sobre superficies Enriques para más detalles.

Superficies hiperelípticas (o bielípticas)

En los números complejos, estos son cocientes de un producto de dos curvas elípticas por un grupo finito de automorfismos. El grupo finito puede ser Z /2 Z ,   Z /2 Z  +  Z /2 Z , Z /3 Z ,   Z /3 Z  +  Z /3 Z ,   Z /4 Z ,   Z /4 Z  +  Z /2 Z , o Z /6 Z , dando siete familias de dichas superficies.

Diamante Hodge:

Sobre los campos de características 2 o 3 hay algunas familias adicionales dadas tomando cocientes mediante un esquema de grupo no etale; consulte el artículo sobre superficies hiperelípticas para obtener más detalles.

Superficies de Kodaira dimensión 1

Una superficie elíptica es una superficie equipada con una fibración elíptica (un mapa holomórfico sobreyectivo de una curva B tal que todas, excepto un número finito de fibras, son curvas suaves irreducibles del género 1). La fibra genérica en tal fibración es una curva de género 1 sobre el campo funcional de B. Por el contrario, dada una curva de género 1 sobre el campo funcional de una curva, su modelo mínimo relativo es una superficie elíptica. Kodaira y otros han dado una descripción bastante completa de todas las superficies elípticas. En particular, Kodaira dio una lista completa de las posibles fibras singulares . La teoría de superficies elípticas es análoga a la teoría de modelos regulares propios de curvas elípticas sobre anillos de valoración discretos (por ejemplo, el anillo de enteros p -ádicos ) y dominios de Dedekind (por ejemplo, el anillo de números enteros de un campo numérico).

En las características finitas 2 y 3 también se pueden obtener superficies cuasi elípticas , cuyas fibras pueden ser casi todas curvas racionales con un solo nodo, que son "curvas elípticas degeneradas".

Cada superficie de Kodaira dimensión 1 es una superficie elíptica (o una superficie cuasielíptica en las características 2 o 3), pero lo contrario no es cierto: una superficie elíptica puede tener dimensión Kodaira , 0 o 1. Todas las superficies de Enriques , todas las superficies hiperelípticas , todas las superficies de Kodaira , algunas superficies K3 , algunas superficies abelianas y algunas superficies racionales son superficies elípticas, y estos ejemplos tienen una dimensión de Kodaira menor que 1. Una superficie elíptica cuya curva base B es de género al menos 2 siempre tiene una dimensión de Kodaira 1, pero la dimensión de Kodaira puede ser 1 también para algunas superficies elípticas con B de género 0 o 1. ${\displaystyle -\infty }$

Invariantes: ${\displaystyle c_{1}^{2}=0,c_{2}\geqslant 0.}$

Ejemplo: si E es una curva elíptica y B es una curva de género al menos 2, entonces E × B es una superficie elíptica de dimensión Kodaira 1.

Superficies de Kodaira dimensión 2 (superficies de tipo general)

Todas ellas son algebraicas y, en cierto sentido, la mayoría de las superficies pertenecen a esta clase. Gieseker demostró que existe un esquema de módulos aproximados para superficies de tipo general; esto significa que para cualquier valor fijo de los números de Chern c²
₁yc 2 _, existe un esquema cuasi-proyectivo que clasifica las superficies de tipo general con esos números de Chern. Sin embargo, es un problema muy difícil describir estos esquemas explícitamente, y hay muy pocos pares de números de Chern para los que se haya hecho esto (¡excepto cuando el esquema está vacío!).

Invariantes: Existen varias condiciones que deben satisfacer los números de Chern de una superficie mínima compleja de tipo general:

• ${\displaystyle c_{1}^{2},c_{2}>0}$
• ${\displaystyle c_{1}^{2}\leqslant 3c_{2}}$(la desigualdad Bogomolov-Miyaoka-Yau )
• ${\displaystyle 5c_{1}^{2}-c_{2}+36\geqslant 0}$(la desigualdad de Noether)
• ${\displaystyle c_{1}^{2}+c_{2}\equiv 0{\bmod {1}}2.}$

La mayoría de los pares de números enteros que satisfacen estas condiciones son los números de Chern para alguna superficie compleja de tipo general.

Ejemplos: Los ejemplos más simples son el producto de dos curvas de género al menos 2 y una hipersuperficie de grado al menos 5 en P ³ . Se conocen muchas otras construcciones. Sin embargo, no se conoce ninguna construcción que pueda producir superficies "típicas" de tipo general para grandes números de Chern; de hecho ni siquiera se sabe si existe algún concepto razonable de superficie "típica" de tipo general. Se han encontrado muchos otros ejemplos, incluida la mayoría de las superficies modulares de Hilbert , planos proyectivos falsos , superficies de Barlow , etc.

Ver también

• Lista de superficies algebraicas

Referencias

• Barth, Lobo P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlín, doi :10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, SEÑOR  2030225– el libro de referencia estándar para superficies compactas y complejas
• Beauville, Arnaud (1996), Superficies algebraicas complejas , Textos estudiantiles de la London Mathematical Society, vol. 34 (2ª ed.), Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511623936, ISBN 978-0-521-49510-3, SEÑOR  1406314; ( ISBN 978-0-521-49842-5 tapa blanda), incluida una introducción más elemental a la clasificación 
• Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1977), "Clasificación de superficies de Enriques en char. p. II", Análisis complejo y geometría algebraica , Tokio: Iwanami Shoten, págs. 23–42, MR  0491719
  • Bombieri, E.; Mumford, D. (1977). "Clasificación de Superficies de Enriques en Char. P, II". Análisis Complejo y Geometría Algebraica. págs. 23–42. doi :10.1017/CBO9780511569197.004. ISBN 9780521217774.
• Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1976), "Clasificación de superficies de Enriques en char. p. III". (PDF) , Inventiones Mathematicae , 35 : 197–232, Bibcode : 1976InMat..35..197B, doi : 10.1007/BF01390138, MR  0491720, S2CID  122816845
• Enriques, Federigo (1914), "Sulla classificazione delle superficie algebriche e particolarmente sulle superficie di genere p ¹ =1", Atti. Acc. Lincei V Ser. , 23
• Enriques, Federigo (1949), Le Superficie Algebriche , Nicola Zanichelli, Bolonia, MR  0031770
• Kodaira, Kunihiko (1964), "Sobre la estructura de superficies analíticas complejas compactas. I", American Journal of Mathematics , 86 (4): 751–798, doi :10.2307/2373157, JSTOR  2373157, MR  0187255
• Kodaira, Kunihiko (1966), "Sobre la estructura de superficies analíticas complejas compactas. II", American Journal of Mathematics , 88 (3): 682–721, doi :10.2307/2373150, JSTOR  2373150, MR  0205280, PMC  300219 , PMID  16578569
• Kodaira, Kunihiko (1968a), "Sobre la estructura de superficies analíticas complejas compactas. III", American Journal of Mathematics , 90 (1): 55–83, doi :10.2307/2373426, JSTOR  2373426, MR  0228019
• Kodaira, Kunihiko (1968b), "Sobre la estructura de superficies analíticas complejas. IV", American Journal of Mathematics , 90 (4): 1048–1066, doi :10.2307/2373289, JSTOR  2373289, MR  0239114
• Mumford, David (1969), "Clasificación de superficies de Enriques en char p I", Análisis global (artículos en honor a K. Kodaira) , Tokio: Univ. Tokyo Press, págs. 325–339, doi :10.1515/9781400871230-019, ISBN 978-1-4008-7123-0, JSTOR  j.ctt13x10qw.21, SEÑOR  0254053
• Reid, Miles (1997), "Capítulos sobre superficies algebraicas", Geometría algebraica compleja (Park City, UT, 1993) , IAS/Park City Math. Ser., vol. 3, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , págs. 3–159, arXiv : alg-geom/9602006 , Bibcode :1996alg.geom..2006R, doi :10.1090/pcms/003/02, ISBN 9780821811450, SEÑOR  1442522, S2CID  116933286
• Shafarevich, Igor R .; Averbuh, Boris G.; Vaĭnberg, Ju. R.; Zhizhchenko, AB; Manin, Yuri I .; Moishezon, Boris G .; Tjurina, Galina N.; Tjurin, Andrei N. (1967) [1965], "Superficies algebraicas", Actas del Instituto Steklov de Matemáticas , 75 , Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense : 1–215, ISBN 978-0-8218-1875-6, SEÑOR  0190143
• Van de Ven, Antonius (1978), "Sobre la clasificación de superficies algebraicas de Enriques", Séminaire Bourbaki, 29e année (1976/77) , Lecture Notes in Math., vol. 677, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 237–251, MR  0521772
• Lang, William E. "Superficies cuasi elípticas en tres características", Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, Tome 12 (1979) no. 4, págs. 473-500. doi  : 10.24033/asens.1373. El teorema 4.3 de este artículo clasifica los números de Hodge de una superficie cuasi hiperelíptica en la característica tres.

enlaces externos

• le superficie algebriche es una visualización interactiva de la clasificación Enriques-Kodaira, de Pieter Belmans y Johan Commelin