Superficie elíptica

En matemáticas , una superficie elíptica es una superficie que tiene una fibración elíptica , es decir, un morfismo propio con fibras conectadas a una curva algebraica de modo que casi todas las fibras son curvas suaves de género 1. (Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado como el de los números complejos , estas fibras son curvas elípticas , quizás sin un origen elegido). Esto es equivalente a que la fibra genérica sea una curva suave de género uno. Esto se deduce del cambio de base propio .

Se supone que la superficie y la curva base no son singulares ( variedades complejas o esquemas regulares , según el contexto). Las fibras que no son curvas elípticas se denominan fibras singulares y fueron clasificadas por Kunihiko Kodaira . Tanto las fibras elípticas como las singulares son importantes en la teoría de cuerdas , especialmente en la teoría F.

Las superficies elípticas forman una gran clase de superficies que contiene muchos de los ejemplos interesantes de superficies y se entienden relativamente bien en las teorías de variedades complejas y 4-variedades suaves . Son similares a (es decir, tienen analogías con) las curvas elípticas sobre cuerpos numéricos .

Ejemplos

• El producto de cualquier curva elíptica con cualquier curva es una superficie elíptica (sin fibras singulares).
• Todas las superficies de dimensión 1 de Kodaira son superficies elípticas.
• Toda superficie compleja de Enriques es elíptica y tiene una fibración elíptica sobre la línea proyectiva.
• Superficies de Kodaira
• Dolgachev sale a la superficie
• Superficies modulares Shioda

Tabla de fibras singulares de Kodaira

La mayoría de las fibras de una fibración elíptica son curvas elípticas (no singulares). Las fibras restantes se denominan fibras singulares: hay un número finito de ellas, y cada una de ellas consiste en una unión de curvas racionales, posiblemente con singularidades o multiplicidades distintas de cero (por lo que las fibras pueden ser esquemas no reducidos). Kodaira y Néron clasificaron de forma independiente las posibles fibras, y el algoritmo de Tate puede utilizarse para encontrar el tipo de fibras de una curva elíptica sobre un cuerpo numérico.

La siguiente tabla enumera las posibles fibras de una fibración elíptica mínima . ("Mínima" significa aproximadamente una que no se puede factorizar a través de una "más pequeña"; precisamente, las fibras singulares no deben contener curvas racionales suaves con un número de autointersección −1). Da:

• Símbolo de Kodaira para la fibra,
• El símbolo de André Néron para la fibra,
• El número de componentes irreducibles de la fibra (todos racionales excepto el tipo I ₀ )
• Matriz de intersección de los componentes. Se trata de una matriz cero 1×1 o de una matriz afín de Cartan , cuyo diagrama de Dynkin se indica.
• Las multiplicidades de cada fibra se indican en el diagrama de Dynkin.

Esta tabla se puede encontrar de la siguiente manera. Los argumentos geométricos muestran que la matriz de intersección de los componentes de la fibra debe ser semidefinida negativa, conexa, simétrica y no tener entradas diagonales iguales a −1 (por minimalidad). Dicha matriz debe ser 0 o un múltiplo de la matriz de Cartan de un diagrama de Dynkin afín de tipo ADE .

La matriz de intersección determina el tipo de fibra con tres excepciones:

• Si la matriz de intersección es 0, la fibra puede ser una curva elíptica (tipo I ₀ ), o tener un punto doble (tipo I ₁ ), o una cúspide (tipo II).
• Si la matriz de intersección es afín A ₁ , hay 2 componentes con multiplicidad de intersección 2. Pueden encontrarse en 2 puntos con orden 1 (tipo I ₂ ), o en un punto con orden 2 (tipo III).
• Si la matriz de intersección es afín A ₂ , hay 3 componentes que se encuentran cada uno con los otros dos. Pueden encontrarse en pares en 3 puntos distintos (tipo I ₃ ), o todos se encuentran en el mismo punto (tipo IV).

Monodromía

La monodromía alrededor de cada fibra singular es una clase de conjugación bien definida en el grupo SL(2, Z ) de matrices enteras de 2 × 2 con determinante 1. La monodromía describe la forma en que el primer grupo de homología de una fibra lisa (que es isomorfa a Z ² ) cambia a medida que recorremos una fibra singular. Los representantes de estas clases de conjugación asociadas a fibras singulares se dan por: ^[1]

Para fibras singulares de tipo II, III, IV, I ₀ ^* , IV ^* , III ^* o II ^* , la monodromía tiene orden finito en SL(2, Z ). Esto refleja el hecho de que una fibración elíptica tiene una buena reducción potencial en dicha fibra. Es decir, después de un recubrimiento finito ramificado de la curva base, la fibra singular puede ser reemplazada por una curva elíptica suave. La curva suave que aparece se describe por el j-invariante en la tabla. Sobre los números complejos, la curva con j -invariante 0 es la única curva elíptica con grupo de automorfismos de orden 6, y la curva con j -invariante 1728 es la única curva elíptica con grupo de automorfismos de orden 4. (Todas las demás curvas elípticas tienen grupo de automorfismos de orden 2.)

Para una fibración elíptica con una sección , llamada fibración elíptica jacobiana , el lugar geométrico liso de cada fibra tiene una estructura de grupo. Para fibras singulares, esta estructura de grupo en el lugar geométrico liso se describe en la tabla, asumiendo por conveniencia que el cuerpo base son los números complejos. (Para una fibra singular con matriz de intersección dada por un diagrama de Dynkin afín , el grupo de componentes del lugar geométrico liso es isomorfo al centro del grupo de Lie simple simplemente conexo con diagrama de Dynkin , como se indica aquí ). Conocer la estructura de grupo de las fibras singulares es útil para calcular el grupo de Mordell-Weil de una fibración elíptica (el grupo de secciones), en particular su subgrupo de torsión. ${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

Fórmula del paquete canónico

Para entender cómo las superficies elípticas encajan en la clasificación de superficies , es importante calcular el fibrado canónico de una superficie elíptica mínima f : X → S . Sobre los números complejos, Kodaira demostró la siguiente fórmula de fibrado canónico : ^[2]

${\displaystyle K_{X}=f^{*}(L)\otimes O_{S}{\big (}\sum _{i}(m_{i}-1)D_{i}{\big )}.}$

Aquí las fibras múltiples de f (si las hay) se escriben como , para un entero m _i al menos 2 y un divisor D _i cuyos coeficientes tienen máximo común divisor igual a 1, y L es algún fibrado de líneas en la curva suave S . Si S es proyectivo (o equivalentemente, compacto), entonces el grado de L está determinado por las características de Euler holomorfas de X y S : deg( L ) = χ( X , O _X ) − 2χ( S , O _S ). La fórmula del fibrado canónico implica que K _X es Q -linealmente equivalente al pullback de algún Q -divisor en S ; es esencial aquí que la superficie elíptica X → S sea mínima. ${\displaystyle f^{*}(p_{i})=m_{i}D_{i}}$

Basándose en el trabajo de Kenji Ueno , Takao Fujita (1986) proporcionó una variante útil de la fórmula del haz canónico, mostrando cómo K _X depende de la variación de las fibras lisas. ^[3] Es decir, existe una equivalencia Q -lineal

${\displaystyle K_{X}\sim _{\bf {Q}}f^{*}(K_{S}+B_{S}+M_{S}),}$

donde el divisor discriminante B _S es un divisor Q explícito efectivo en S asociado a las fibras singulares de f , y el divisor de módulos M _S es , donde j : S → P ¹ es la función que da el j -invariante de las fibras suaves. (Por lo tanto, M _S es una clase de equivalencia Q -lineal de divisores Q , usando la identificación entre el grupo de clases divisores Cl( S ) y el grupo de Picard Pic( S ).) En particular, para S proyectivo, el divisor de módulos M _S tiene grado no negativo, y tiene grado cero si y solo si la superficie elíptica es isotrivial, lo que significa que todas las fibras suaves son isomorfas. ${\displaystyle (1/12)j^{*}O(1)}$

El divisor discriminante en la fórmula de Fujita se define por

${\displaystyle B_{S}=\sum _{p\in S}(1-c(p))[p]}$,

donde c ( p ) es el umbral logarítmico canónico . Este es un número racional explícito entre 0 y 1, dependiendo del tipo de fibra singular. Explícitamente, el lct es 1 para una fibra lisa o tipo , y es 1/ m para una fibra múltiple , 1/2 para , 5/6 para II, 3/4 para III, 2/3 para IV, 1/3 para IV*, 1/4 para III* y 1/6 para II*. ${\displaystyle {\text{lct}}(X,f^{*}(p))}$ ${\displaystyle I_{\nu }}$ ${\displaystyle {}_{m}I_{\nu }}$ ${\displaystyle I_{\nu }^{*}}$

La fórmula del haz canónico (en la forma de Fujita) ha sido generalizada por Yujiro Kawamata y otros a familias de variedades Calabi-Yau de cualquier dimensión. ^[4]

Transformaciones logarítmicas

Una transformación logarítmica (de orden m con centro p ) de una superficie elíptica o fibración convierte una fibra de multiplicidad 1 sobre un punto p del espacio base en una fibra de multiplicidad m . Se puede invertir, de modo que las fibras de alta multiplicidad se pueden convertir todas en fibras de multiplicidad 1, y esto se puede utilizar para eliminar todas las fibras múltiples.

Las transformaciones logarítmicas pueden ser bastante violentas: pueden cambiar la dimensión de Kodaira y pueden convertir superficies algebraicas en superficies no algebraicas.

Ejemplo: Sea L la red Z + i Z de C y sea E la curva elíptica C / L. Entonces, la función de proyección de E × C a C es una fibración elíptica. Mostraremos cómo reemplazar la fibra sobre 0 con una fibra de multiplicidad 2.

Hay un automorfismo de E × C de orden 2 que mapea ( c , s ) a ( c +1/2, −s ). Sea X el cociente de E × C por esta acción de grupo. Convertimos a X en un espacio de fibras sobre C mapeando ( c , s ) a s ² . Construimos un isomorfismo de X menos la fibra sobre 0 a E × C menos la fibra sobre 0 mapeando ( c , s ) a ( c -log( s )/2πi, s ² ). (Las dos fibras sobre 0 son curvas elípticas no isomorfas, por lo que la fibración X ciertamente no es isomorfa a la fibración E × C sobre todo C .)

Entonces la fibración X tiene una fibra de multiplicidad 2 sobre 0, y por lo demás se parece a E × C . Decimos que X se obtiene aplicando una transformación logarítmica de orden 2 a E × C con centro 0.

Véase también

• Clasificación Enriques-Kodaira
• Modelo minimalista de Néron

Notas

1. Barth et al. (2004), sección V.10, Tablas 5 y 6; Cossec y Dolgachev (1989), Corolario 5.2.3.
2. Barth et al. (2004), Corolario III.12.3.
3. Kollár (2007), sección 8.2.
4. Kollár (2007), sección 8.5.

Referencias

• Barth, Lobo P .; Hulek, Klaus ; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004) [1984], Superficies complejas compactas , Springer , doi :10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, Sr.  2030225
• Cossec, François; Dolgachev, Igor (1989). Enriques Superficies . Boston: Birkhäuser . doi :10.1007/978-1-4612-3696-2. ISBN 3-7643-3417-7.Sr .  0986969.
• Kodaira, Kunihiko (1963). "Sobre superficies analíticas compactas. II". Ann. of Math . 77 : 563–626. doi :10.2307/1970131. MR  0184257. Zbl  0118.15802.
• Kodaira, Kunihiko (1964). "Sobre la estructura de superficies analíticas complejas compactas". Am. J. Math . 86 : 751–798. doi :10.2307/2373157. MR  0187255. Zbl  0137.17501.
• Kollár, János (2007), "Fórmula de haz canónico de Kodaira y adjunción", Cambios para 3 y 4 pliegues , Oxford University Press , págs. 134-162, doi :10.1093/acprof:oso/9780198570615.003.0008, MR  2359346
• Nerón, André (1964). "Modèles minimaux des variétés abéliennes sur les corps locaux et globaux". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS (en francés). 21 : 5–128. doi :10.1007/BF02684271. Señor  0179172. Zbl  0132.41403.