En matemáticas , una superficie hiperelíptica , o superficie bielíptica , es una superficie cuyo morfismo de Albanese es una fibración elíptica . Cualquier superficie de este tipo puede escribirse como el cociente de un producto de dos curvas elípticas por un grupo abeliano finito . Las superficies hiperelípticas forman una de las clases de superficies de dimensión 0 de Kodaira en la clasificación de Enriques-Kodaira .
La dimensión de Kodaira es 0. [ aclaración necesaria ]
Diamante de Hodge:
Toda superficie hiperelíptica es un cociente ( E × F )/ G , donde E = C /Λ y F son curvas elípticas, y G es un subgrupo de F ( que actúa sobre F por traslaciones), que actúa sobre E no sólo por traslaciones. Hay siete familias de superficies hiperelípticas como en la siguiente tabla.
Aquí ω es una raíz cúbica primitiva de 1 e i es una cuarta raíz primitiva de 1.
Una superficie cuasi-hiperelíptica es una superficie cuyo divisor canónico es numéricamente equivalente a cero, la función Albanese corresponde a una curva elíptica y todas sus fibras son racionales con una cúspide . Solo existen en las características 2 o 3. Su segundo número de Betti es 2, el segundo número de Chern se anula y la característica de Euler holomorfa se anula. Fueron clasificadas por (Bombieri & Mumford 1976), quienes encontraron seis casos en la característica 3 (en cuyo caso 6 K = 0) y ocho en la característica 2 (en cuyo caso 6 K o 4 K se anulan). Cualquier superficie cuasi-hiperelíptica es un cociente ( E × F )/ G , donde E es una curva racional con una cúspide, F es una curva elíptica y G es un esquema de subgrupo finito de F (que actúa sobre F por traslaciones).