variedad albanesa

Generalización de la variedad jacobiana.

En matemáticas , la variedad Albanese , llamada así por Giacomo Albanese , es una generalización de la variedad jacobiana de una curva. ${\displaystyle A(V)}$

declaración precisa

La variedad albanesa es la variedad abeliana generada por una variedad que toma un punto dado de la identidad de . En otras palabras, hay un morfismo de la variedad a su variedad albanesa , de modo que cualquier morfismo de una variedad abeliana (llevando el punto dado a la identidad) factoriza únicamente a través de . Para variedades complejas, André Blanchard (1956) definió la variedad albanesa de manera similar, como un morfismo de a un toro tal que cualquier morfismo a un toro influye únicamente a través de este mapa. (En este caso es una variedad analítica; no es necesario que sea algebraica). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$

Propiedades

Para las variedades compactas de Kähler, la dimensión de la variedad albanesa es el número de Hodge , la dimensión del espacio de diferenciales del primer tipo , que para superficies se llama irregularidad de una superficie . En términos de formas diferenciales , cualquier forma 1 holomorfa es un retroceso de la forma 1 invariante de traducción en la variedad albanesa, proveniente del espacio cotangente holomórfico de en su elemento de identidad. Al igual que en el caso de la curva, mediante la elección de un punto base (desde el cual 'integrar'), se crea un morfismo albanés ${\displaystyle h^{1,0}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle V\to \operatorname {Alb} (V)}$

está definido, a lo largo del cual las formas 1 retroceden. Este morfismo es único hasta una traducción de la variedad albanesa. Para variedades sobre campos de características positivas, la dimensión de la variedad albanesa puede ser menor que los números de Hodge y (que no tienen por qué ser iguales). Para ver la primera nota que la variedad Albanese es dual a la variedad Picard , cuyo espacio tangente en la identidad está dado por Ese es el resultado de Jun-ichi Igusa en la bibliografía. ${\displaystyle h^{1,0}}$ ${\displaystyle h^{0,1}}$ ${\displaystyle H^{1}(X,O_{X}).}$ ${\displaystyle \dim \operatorname {Alb} (X)\leq h^{1,0}}$

teorema de roitman

Si el campo terrestre k es algebraicamente cerrado , se puede demostrar que el mapa de Albanese factoriza sobre un homomorfismo de grupo (también llamado mapa de Albanese ) ${\displaystyle V\to \operatorname {Alb} (V)}$

${\displaystyle CH_{0}(V)\to \operatorname {Alb} (V)(k)}$

desde el grupo Chow de ciclos de dimensión 0 en V hasta el grupo de puntos racionales de , que es un grupo abeliano ya que es una variedad abeliana. ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {Alb} (V)}$

El teorema de Roitman , introducido por AA Rojtman (1980), afirma que, para l primo a char( k ), el mapa de Albanese induce un isomorfismo en los l -subgrupos de torsión. ^{[1] [2] Milne [3]} eliminó poco después la restricción sobre la primalidad del orden de torsión con respecto a la característica del campo base: el subgrupo de torsión de y el subgrupo de torsión de puntos con valor k del albanés variedad de X coincide. ${\displaystyle \operatorname {CH} _{0}(X)}$

Reemplazando el grupo Chow por la homología singular algebraica de Suslin-Voevodsky después de la introducción de la cohomología Motivic. El teorema de Roitman se obtuvo y reformuló en el marco motivic. Por ejemplo, un resultado similar se aplica a las variedades cuasiproyectivas no singulares. ^[4] Hay disponibles más versiones del teorema de Roitman para esquemas normales. ^[5] En realidad, las formulaciones más generales del teorema de Roitman (es decir, homológica, cohomológica y Borel-Moore ) involucran el complejo motívico albanés y han sido probadas por Luca Barbieri-Viale y Bruno Kahn (ver las referencias III.13). ${\displaystyle \operatorname {LAlb} (V)}$

Conexión con la variedad Picard

La variedad albanesa es dual a la variedad Picard (el componente conectado de cero del esquema Picard que clasifica las gavillas invertibles en V ):

${\displaystyle \operatorname {Alb} V=(\operatorname {Pic} _{0}V)^{\vee }.}$

Para curvas algebraicas, el teorema de Abel-Jacobi implica que las variedades Albanese y Picard son isomorfas.

Ver también

• Jacobiano intermedio
• esquema albanés
• Motivic Albanese

Notas y referencias

1. Rojtman, AA (1980). "La torsión del grupo de equivalencia racional de módulo de 0 ciclos". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 111 (3): 553–569. doi :10.2307/1971109. ISSN  0003-486X. JSTOR  1971109. SEÑOR  0577137.
2. Bloch, Spencer (1979). "Ciclos algebraicos de torsión y un teorema de Roitman". Composición Matemática . 39 (1). SEÑOR  0539002.
3. Milne, JS (1982). "Ciclos cero en variedades algebraicas en características distintas de cero: teorema de Rojtman". Composición Matemática . 47 (3): 271–287.
4. Spiess, Michael; Szamuely, Tamás (2003). "En el mapa de Albanese para variedades suaves cuasiproyectivas". Annalen Matemáticas . 325 : 1–17. arXiv : matemáticas/0009017 . doi :10.1007/s00208-002-0359-8. S2CID  14014858.
5. Geisser, Thomas (2015). "Teorema de Rojtman para esquemas normales". Cartas de investigación matemática . 22 (4): 1129-1144. arXiv : 1402.1831 . doi :10.4310/MRL.2015.v22.n4.a8. S2CID  59423465.

• Barbieri-Viale, Luca; Kahn, Bruno (2016), Sobre la categoría derivada de 1-motivos , Astérisque, vol. 381, SMF, arXiv : 1009.1900 , ISBN 978-2-85629-818-3, ISSN  0303-1179, SEÑOR  3545132
• Blanchard, André (1956), "Sur les variétés analytiques complexes", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 73 (2): 157–202, doi : 10.24033/asens.1045 , ISSN  0012-9593, SEÑOR  0087184
• Griffiths, Phillip ; Harris, Joe (1994). Principios de Geometría Algebraica . Biblioteca de clásicos de Wiley. Wiley Interciencia. págs.331, 552. ISBN 978-0-471-05059-9.
• Igusa, Jun-ichi (1955). "Una desigualdad fundamental en la teoría de las variedades Picard". Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América . 41 (5): 317–20. Código bibliográfico : 1955PNAS...41..317I. doi : 10.1073/pnas.41.5.317 . PMC  528086 . PMID  16589672.
• Parshin, Aleksei N. (2001) [1994], "Albanese_variety", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press