Mapa de Abel-Jacobi

Construcción en geometría algebraica

En matemáticas , la función Abel-Jacobi es una construcción de geometría algebraica que relaciona una curva algebraica con su variedad jacobiana . En geometría de Riemann , es una construcción más general que asigna una variedad a su toro de Jacobi. El nombre deriva del teorema de Abel y Jacobi que establece que dos divisores efectivos son linealmente equivalentes si y solo si son indistinguibles bajo la función Abel-Jacobi.

Construcción del mapa

En geometría algebraica compleja , el jacobiano de una curva C se construye mediante integración de trayectorias. Es decir, supongamos que C tiene género g , lo que topológicamente significa que

${\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{2g}.}$

Geométricamente, este grupo de homología consiste en (clases de homología de) ciclos en C , o en otras palabras, bucles cerrados. Por lo tanto, podemos elegir 2 g bucles que lo generen. Por otro lado, otra forma más algebro-geométrica de decir que el género de C es g es que ${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{2g}}$

${\displaystyle H^{0}(C,K)\cong \mathbb {C} ^{g},}$

donde K es el fibrado canónico en C .

Por definición, este es el espacio de formas diferenciales holomorfas definidas globalmente en C , por lo que podemos elegir g formas linealmente independientes . Dadas las formas y los bucles cerrados, podemos integrar y definimos 2 g vectores. ${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{g}}$

${\displaystyle \Omega _{j}=\left(\int _{\gamma _{j}}\omega _{1},\ldots ,\int _{\gamma _{j}}\omega _{g}\right)\in \mathbb {C} ^{g}.}$

De las relaciones bilineales de Riemann se deduce que generan una red no degenerada (es decir, son una base real para ), y el jacobiano se define por ${\displaystyle \Omega _{j}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}\cong \mathbb {R} ^{2g}}$

${\displaystyle J(C)=\mathbb {C} ^{g}/\Lambda .}$

El mapa de Abel-Jacobi se define entonces de la siguiente manera. Elegimos un punto base y, casi imitando la definición de definimos el mapa ${\displaystyle p_{0}\in C}$ ${\displaystyle \Lambda ,}$

${\displaystyle {\begin{cases}u:C\to J(C)\\u(p)=\left(\int _{p_{0}}^{p}\omega _{1},\dots ,\int _{p_{0}}^{p}\omega _{g}\right){\bmod {\Lambda }}\end{cases}}}$

Aunque esto aparentemente depende de un camino desde a cualesquiera dos de esos caminos definen un bucle cerrado en y, por lo tanto, un elemento de por lo que la integración sobre él da un elemento de Por lo tanto, la diferencia se borra en el paso al cociente por . Cambiar el punto base cambia el mapa, pero solo por una traslación del toro. ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle H_{1}(C,\mathbb {Z} ),}$ ${\displaystyle \Lambda .}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle p_{0}}$

El mapa de Abel-Jacobi de una variedad de Riemann

Sea una variedad compacta y suave . Sea su grupo fundamental. Sea su función de abelianización . Sea el subgrupo de torsión de . Sea el cociente por torsión. Si es una superficie, es no canónicamente isomorfo a , donde es el género; más generalmente, es no canónicamente isomorfo a , donde es el primer número de Betti . Sea el homomorfismo compuesto. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi =\pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle f:\pi \to \pi ^{ab}}$ ${\displaystyle \operatorname {tor} =\operatorname {tor} (\pi ^{ab})}$ ${\displaystyle \pi ^{ab}}$ ${\displaystyle g:\pi ^{ab}\to \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \pi ^{ab}/\operatorname {tor} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \varphi =g\circ f:\pi \to \mathbb {Z} ^{b}}$

Definición. La cobertura de la variedad correspondiente al subgrupo se denomina cobertura abeliana libre universal (o máxima). ${\displaystyle {\bar {M}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ker(\varphi )\subset \pi }$

Ahora supongamos que tiene una métrica de Riemann . Sea el espacio de 1-formas armónicas en , con dual identificado canónicamente con . Al integrar una 1-forma armónica integral a lo largo de caminos desde un punto base , obtenemos una función en el círculo . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle H_{1}(M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle x_{0}\in M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$

De manera similar, para definir una función sin elegir una base para la cohomología, argumentamos de la siguiente manera. Sea un punto en la cobertura universal de . Por lo tanto, se representa por un punto de junto con un camino desde hasta él. Al integrar a lo largo del camino , obtenemos una forma lineal en : ${\displaystyle M\to H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle h\to \int _{c}h.}$

Esto da lugar a un mapa

${\displaystyle {\tilde {M}}\to E^{*}=H_{1}(M,\mathbb {R} ),}$

que, además, desciende a un mapa

${\displaystyle {\begin{cases}{\overline {A}}_{M}:{\overline {M}}\to E^{*}\\c\mapsto \left(h\mapsto \int _{c}h\right)\end{cases}}}$

¿Dónde está la cubierta abeliana libre universal? ${\displaystyle {\overline {M}}}$

Definición. La variedad de Jacobi (toro de Jacobi) es el toro ${\displaystyle M}$

${\displaystyle J_{1}(M)=H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }.}$

Definición. El mapa de Abel-Jacobi

${\displaystyle A_{M}:M\to J_{1}(M),}$

se obtiene del mapa anterior pasando a cocientes.

El mapa de Abel-Jacobi es único hasta las traslaciones del toro de Jacobi. El mapa tiene aplicaciones en geometría sistólica . El mapa de Abel-Jacobi de una variedad de Riemann se muestra en las grandes asintóticas temporales del núcleo de calor en una variedad periódica (Kotani y Sunada (2000) y Sunada (2012)).

De la misma manera, se puede definir un análogo gráfico-teórico del mapa de Abel-Jacobi como un mapa lineal por partes de un gráfico finito en un toro plano (o un gráfico de Cayley asociado con un grupo abeliano finito), que está estrechamente relacionado con los comportamientos asintóticos de los paseos aleatorios en redes cristalinas, y se puede utilizar para el diseño de estructuras cristalinas.

Mapa de Abel-Jacobi de una superficie compacta de Riemann

Proporcionamos una construcción analítica del mapa de Abel-Jacobi en superficies de Riemann compactas.

Sea denota una superficie de Riemann compacta de género . Sea una base de homología canónica en , y la base dual para , que es un espacio vectorial complejo dimensional consta de formas diferenciales holomorfas . Base dual queremos decir , para . Podemos formar una matriz simétrica cuyas entradas son , para . Sea la red generada por las -columnas de la matriz cuyas entradas consisten en para donde . Llamamos a la variedad jacobiana de que es un grupo de Lie complejo compacto, conmutativo -dimensional. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g>0}$ ${\displaystyle \{a_{1},...,a_{g},b_{1},...,b_{g}\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \{\zeta _{1},...,\zeta _{g}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{1}(M)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \int _{a_{k}}\zeta _{j}=\delta _{jk}}$ ${\displaystyle j,k=1,...,g}$ ${\displaystyle \int _{b_{k}}\zeta _{j}}$ ${\displaystyle j,k=1,...,g}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 2g}$ ${\displaystyle g\times 2g}$ ${\displaystyle \int _{c_{k}}\zeta _{j}}$ ${\displaystyle j,k=1,...,g}$ ${\displaystyle c_{k}\in \{a_{k},b_{k}\}}$ ${\displaystyle J(M)={\mathbb {C}}^{g}/L(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$

Podemos definir un mapa eligiendo un punto y estableciendo que sea una aplicación holomórfica bien definida con rango 1 (rango máximo). Luego, podemos extender esto naturalmente a una aplicación de clases divisorias; ${\displaystyle \varphi :M\to J(M)}$ ${\displaystyle P_{0}\in M}$ ${\displaystyle \varphi (P)=\left(\int _{P_{0}}^{P}\zeta _{1},...,\int _{P_{0}}^{P}\zeta _{g}\right).}$

Si denotamos el grupo de clases divisor de entonces definimos un mapa estableciendo ${\displaystyle \mathrm {Div} (M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \varphi :\mathrm {Div} (M)\to J(M)}$ ${\displaystyle \varphi (D)=\sum _{j=1}^{r}\varphi (P_{j})-\sum _{j=1}^{s}\varphi (Q_{j}),\quad D=P_{1}\cdots P_{r}/Q_{1}\cdots Q_{s}.}$

Nótese que si entonces este mapa es independiente de la elección del punto base entonces podemos definir el mapa independiente del punto base donde denota los divisores de grado cero de . ${\displaystyle r=s}$ ${\displaystyle \varphi _{0}:\mathrm {Div} ^{(0)}(M)\to J(M)}$ ${\displaystyle \mathrm {Div} ^{(0)}(M)}$ ${\displaystyle M}$

El teorema de Abel que se muestra a continuación muestra que el núcleo de la función es precisamente el subgrupo de divisores principales. Junto con el problema de inversión de Jacobi, podemos decir que es isomorfo como grupo al grupo de divisores de grado cero módulo su subgrupo de divisores principales. ${\displaystyle \varphi _{0}}$ ${\displaystyle J(M)}$

Teorema de Abel-Jacobi

El siguiente teorema fue demostrado por Abel (conocido como el teorema de Abel): Supongamos que

${\displaystyle D=\sum \nolimits _{i}n_{i}p_{i}}$

es un divisor (es decir, una combinación lineal entera formal de puntos de C ). Podemos definir

${\displaystyle u(D)=\sum \nolimits _{i}n_{i}u(p_{i})}$

y por lo tanto hablar del valor de la función Abel-Jacobi en divisores. El teorema es entonces que si D y E son dos divisores efectivos , es decir que son todos enteros positivos, entonces ${\displaystyle n_{i}}$

${\displaystyle u(D)=u(E)}$si y solo si es linealmente equivalente a Esto implica que la función Abel-Jacobi induce una función inyectiva (de grupos abelianos) desde el espacio de clases divisorias de grado cero hasta el jacobiano. ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E.}$

Jacobi demostró que este mapa también es sobreyectivo (conocido como problema de inversión de Jacobi), por lo que los dos grupos son naturalmente isomorfos.

El teorema de Abel-Jacobi implica que la variedad albanesa de una curva compleja compacta (dual de formas 1 holomorfas módulo períodos) es isomorfa a su variedad jacobiana (divisores de grado 0 módulo equivalencia). Para variedades proyectivas compactas de dimensiones superiores, la variedad albanesa y la variedad Picard son duales pero no necesariamente isomorfas.

Referencias

• E. Arbarello; M. Cornalba; P. Griffiths; J.Harris (1985). "1.3, Teorema de Abel ". Geometría de curvas algebraicas, vol. 1 . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90997-4.
• Kotani, Motoko ; Sunada, Toshikazu (2000), "Mapas albaneses y una asintótica de tiempo largo fuera de la diagonal para el núcleo de calor", Comm. Math. Phys. , 209 : 633–670, Bibcode :2000CMaPh.209..633K, doi :10.1007/s002200050033
• Sunada, Toshikazu (2012), "Conferencia sobre cristalografía topológica", Japón. J. Math. , 7 : 1–39, doi :10.1007/s11537-012-1144-4
• Farkas, Hershel M; Kra, Irwin (23 de diciembre de 1991), Superficies de Riemann , Nueva York: Springer, ISBN 978-0387977034