Homología de Borel-Moore

Teoría de homología para espacios localmente compactos.

En topología , la homología Borel-Moore u homología con soporte cerrado es una teoría de homología para espacios localmente compactos , introducida por Armand Borel y John Moore en 1960. ^[1]

Para espacios compactos razonables , la homología Borel-Moore coincide con la homología singular habitual . Para espacios no compactos, cada teoría tiene sus propias ventajas. En particular, una subvariedad orientada cerrada define una clase en la homología de Borel-Moore, pero no en la homología ordinaria a menos que la subvariedad sea compacta.

Nota: La cohomología equivariante de Borel es una invariante de espacios con una acción de un grupo G ; se define como Eso no está relacionado con el tema de este artículo. ${\displaystyle H_{G}^{*}(X)=H^{*}((EG\times X)/G).}$

Definición

Hay varias formas de definir la homología Borel-Moore. Todos coinciden para espacios razonables como variedades y complejos CW localmente finitos .

Definición mediante cohomología de gavilla

Para cualquier espacio X localmente compacto , la homología de Borel-Moore con coeficientes integrales se define como la cohomología del dual del complejo de cadenas que calcula la cohomología de la gavilla con soporte compacto. ^[2] Como resultado, existe una secuencia corta y exacta análoga al teorema del coeficiente universal :

$${\displaystyle 0\to {\text{Ext}}_{\mathbb {Z} }^{1}(H_{c}^{i+1}(X,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )\to H_{i}^{BM}(X,\mathbb {Z} )\to {\text{Hom}}(H_{c}^{i}(X,\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} )\to 0.}$$

A continuación no se escriben los coeficientes. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Definición mediante cadenas localmente finitas

La homología singular de un espacio topológico X se define como la homología del complejo de cadenas singulares, es decir, combinaciones lineales finitas de aplicaciones continuas del simplex a X. La homología Borel-Moore de un espacio X localmente compacto razonable , por otro lado, es isomorfa a la homología del complejo de cadenas de cadenas singulares localmente finitas . Aquí "razonable" significa que X es localmente contráctil, σ-compacto y de dimensión finita. ^[3]

Con más detalle, sea el grupo abeliano de sumas formales (infinitas) ${\displaystyle C_{i}^{BM}(X)}$

$${\displaystyle u=\sum _{\sigma }a_{\sigma }\sigma ,}$$

donde σ recorre el conjunto de todos los mapas continuos del estándar i -simplex Δ ⁱ a X y cada a _σ es un número entero, de modo que para cada subconjunto compacto K de X , tenemos solo un número finito de σ cuya imagen cumple con K . Entonces, la definición habitual del límite ∂ de una cadena singular convierte estos grupos abelianos en una cadena compleja: ${\displaystyle a_{\sigma }\neq 0}$

$${\displaystyle \cdots \to C_{2}^{BM}(X)\to C_{1}^{BM}(X)\to C_{0}^{BM}(X)\to 0.}$$

Los grupos de homología de Borel-Moore son los grupos de homología de este complejo de cadena. Eso es, ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)}$

$${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)=\ker \left(\partial :C_{i}^{BM}(X)\to C_{i-1}^{BM}(X)\right)/{\text{im}}\left(\partial :C_{i+1}^{BM}(X)\to C_{i}^{BM}(X)\right).}$$

Si X es compacto, entonces toda cadena localmente finita es de hecho finita. Entonces, dado que X es "razonable" en el sentido anterior, la homología Borel-Moore coincide con la homología singular habitual para X compacto. ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)}$ ${\displaystyle H_{i}(X)}$

Definición mediante compactaciones

Supongamos que X es homeomorfo al complemento de un subcomplejo cerrado S en un complejo CW finito Y. Entonces la homología Borel-Moore es isomorfa a la homología relativa H _i ( Y , S ). Bajo el mismo supuesto en X , la compactación de un punto de X es homeomorfa a un complejo CW finito. Como resultado, la homología de Borel-Moore puede verse como la homología relativa de la compactación de un punto con respecto al punto agregado. ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)}$

Definición a través de la dualidad de Poincaré

Sea X cualquier espacio localmente compacto con una incrustación cerrada en una variedad orientada M de dimensión m . Entonces

$${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)=H^{m-i}(M,M\setminus X),}$$

donde en el lado derecho se entiende cohomología relativa. ^[4]

Definición a través del complejo dualizante

Para cualquier espacio localmente compacto X de dimensión finita, sea D _X el complejo dualizador de X. Entonces

$${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)=\mathbb {H} ^{-i}(X,D_{X}),}$$

donde en el lado derecho se entiende hipercohomología . ^[5]

Propiedades

La homología de Borel-Moore es un funtor covariante con respecto a mapas propios . Es decir, un mapa adecuado f : X → Y induce un homomorfismo de avance para todos los números enteros i . A diferencia de la homología ordinaria, no hay ningún avance en la homología de Borel-Moore para un mapa continuo arbitrario f . Como contraejemplo, se puede considerar la inclusión inadecuada ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(Y)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}\to \mathbb {R} ^{2}.}$

La homología Borel-Moore es un funtor contravariante con respecto a inclusiones de subconjuntos abiertos. Es decir, para U abierto en X , existe un retroceso natural o un homomorfismo de restricción . ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(U).}$

Para cualquier espacio localmente compacto X y cualquier subconjunto cerrado F , con el complemento, existe una secuencia de localización exacta larga : ^[6] ${\displaystyle U=X\setminus F}$ $${\displaystyle \cdots \to H_{i}^{BM}(F)\to H_{i}^{BM}(X)\to H_{i}^{BM}(U)\to H_{i-1}^{BM}(F)\to \cdots }$$

La homología de Borel-Moore es invariante de homotopía en el sentido de que para cualquier espacio X , hay un isomorfismo. El cambio de dimensión significa que la homología de Borel-Moore no es invariante de homotopía en el sentido ingenuo. Por ejemplo, la homología Borel-Moore del espacio euclidiano es isomorfa en grado n y, por lo demás, es cero. ${\displaystyle H_{i}^{BM}(X)\to H_{i+1}^{BM}(X\times \mathbb {R} ).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La dualidad de Poincaré se extiende a variedades no compactas utilizando la homología Borel-Moore. Es decir, para una n -variedad X orientada , la dualidad de Poincaré es un isomorfismo de la cohomología singular a la homología de Borel-Moore, para todos los números enteros i . Una versión diferente de la dualidad de Poincaré para variedades no compactas es el isomorfismo de la cohomología con soporte compacto a la homología habitual: $${\displaystyle H^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}^{BM}(X)}$$ $${\displaystyle H_{c}^{i}(X){\stackrel {\cong }{\to }}H_{n-i}(X).}$$

Una ventaja clave de la homología de Borel-Moore es que toda variedad orientada M de dimensión n (en particular, toda variedad algebraica compleja suave ), no necesariamente compacta, tiene una clase fundamental. Si la variedad M tiene una triangulación , entonces su clase fundamental está representada por la suma de todos los simples dimensionales superiores. De hecho, en la homología Borel-Moore, se puede definir una clase fundamental para variedades complejas arbitrarias (posiblemente singulares). En este caso, el complemento del conjunto de puntos suaves tiene una codimensión (real) de al menos 2, y por la secuencia larga exacta por encima de las homologías dimensionales superiores de M y son canónicamente isomórficas. La clase fundamental de M se define entonces como la clase fundamental de . ^[7] ${\displaystyle [M]\in H_{n}^{BM}(M).}$ ${\displaystyle M^{\text{reg}}\subset M}$ ${\displaystyle M^{\text{reg}}}$ ${\displaystyle M^{\text{reg}}}$

Ejemplos

Espacios compactos

Dado un espacio topológico compacto, su homología Borel-Moore concuerda con su homología estándar; eso es, ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle H_{*}^{BM}(X)\cong H_{*}(X)}$$

linea real

El primer cálculo no trivial de la homología de Borel-Moore es de línea real. Primero observe que cualquier cadena es cohomóloga a . Como esto se reduce al caso de un punto , observe que podemos tomar la cadena de Borel-Moore ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \sigma =\sum _{i=0}^{\infty }1\cdot [p+i,p+i+1]}$$

dado que el límite de esta cadena es y el punto inexistente en el infinito, el punto es cohomólogo de cero. Ahora podemos tomar la cadena Borel-Moore. ${\displaystyle \partial \sigma =p}$

$${\displaystyle \sigma =\sum _{-\infty <k<\infty }[k,k+1]}$$

que no tiene límite, por lo tanto es una clase de homología. Esto muestra que

$${\displaystyle H_{k}^{BM}(\mathbb {R} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Espacio n real

El cálculo anterior se puede generalizar al caso Obtenemos ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

$${\displaystyle H_{k}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Cilindro infinito

Usando la descomposición de Kunneth, podemos ver que el cilindro infinito tiene homología ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$

$${\displaystyle H_{k}^{BM}(S^{1}\times \mathbb {R} )={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\\mathbb {Z} &k=2\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

Espacio n real menos un punto

Usando la secuencia exacta larga en la homología de Borel-Moore, obtenemos (para ) las secuencias exactas distintas de cero ${\displaystyle n>1}$

$${\displaystyle 0\to H_{n}^{BM}(\{0\})\to H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\to H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to 0}$$

y

$${\displaystyle 0\to H_{1}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to H_{0}^{BM}(\{0\})\to H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\to H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\to 0}$$

De la primera secuencia obtenemos que

$${\displaystyle H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\cong H_{n}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})}$$

y desde el segundo entendemos eso

$${\displaystyle H_{1}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})\cong H_{0}^{BM}(\{0\})}$$y

$${\displaystyle 0\cong H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n})\cong H_{0}^{BM}(\mathbb {R} ^{n}-\{0\})}$$

Podemos interpretar estas clases de homología distintas de cero utilizando las siguientes observaciones:

1. Existe la equivalencia de homotopía. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}.}$
2. Un isomorfismo topológico ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\cong S^{n-1}\times \mathbb {R} _{>0}.}$

por lo tanto, podemos usar el cálculo del cilindro infinito para interpretarlo como la clase de homología representada por y como ${\displaystyle H_{n}^{BM}}$ ${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle H_{1}^{BM}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}.}$

Plano con puntos eliminados

Vamos a eliminar puntos distintos. Observe que el cálculo anterior con el hecho de que la homología de Borel-Moore es un invariante de isomorfismo da este cálculo para el caso . En general, encontraremos una clase correspondiente a un bucle alrededor de un punto, y la clase fundamental en . ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}-\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle [X]}$ ${\displaystyle H_{2}^{BM}}$

Doble Cono

Consideremos el doble cono . Si tomamos entonces la secuencia larga exacta muestra ${\displaystyle X=\mathbb {V} (x^{2}+y^{2}-z^{2})\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle U=X\setminus \{0\}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2}^{BM}(X)&=\mathbb {Z} ^{\oplus 2}\\H_{1}^{BM}(X)&=\mathbb {Z} \\H_{k}^{BM}(X)&=0&&{\text{ for }}k\not \in \{1,2\}\end{aligned}}}$$

Curva de género dos con tres puntos eliminados

Dada una curva de género dos ( superficie de Riemann ) y tres puntos , podemos usar la secuencia exacta larga para calcular la homología de Borel-Moore . Esto da ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle U=X\setminus F.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2}^{BM}(F)\to &H_{2}^{BM}(X)\to H_{2}^{BM}(U)\\\to H_{1}^{BM}(F)\to &H_{1}^{BM}(X)\to H_{1}^{BM}(U)\\\to H_{0}^{BM}(F)\to &H_{0}^{BM}(X)\to H_{0}^{BM}(U)\to 0\end{aligned}}}$$

Como solo tenemos tres puntos ${\displaystyle F}$

$${\displaystyle H_{1}^{BM}(F)=H_{2}^{BM}(F)=0.}$$

Esto nos da que usando la dualidad de Poincaré podemos calcular ${\displaystyle H_{2}^{BM}(U)=\mathbb {Z} .}$

$${\displaystyle H_{0}^{BM}(U)=H^{2}(U)=0,}$$

ya que la deformación se retrae a un complejo CW unidimensional. Finalmente, utilizando el cálculo de la homología de una curva compacta de género 2 nos queda la secuencia exacta ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{\oplus 4}\to H_{1}^{BM}(U)\to \mathbb {Z} ^{\oplus 3}\to \mathbb {Z} \to 0}$$

demostración

$${\displaystyle H_{1}^{BM}(U)\cong \mathbb {Z} ^{\oplus 6}}$$

ya que tenemos la secuencia corta exacta de grupos abelianos libres

$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{\oplus 4}\to H_{1}^{BM}(U)\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to 0}$$

de la secuencia anterior.

Notas

1. Borel y Moore 1960.
2. Birger Iversen. Cohomología de gavillas. Sección IX.1.
3. Glen Bredon. Teoría de la gavilla. Corolario V.12.21.
4. Birger Iversen. Cohomología de gavillas. Teorema IX.4.7.
5. Birger Iversen. Cohomología de gavillas. Ecuación IX.4.1.
6. Birger Iversen. Cohomología de gavillas. Ecuación IX.2.1.
7. William Fulton. Teoría de la intersección. Lema 19.1.1.

Referencias

Artículos de encuesta

• Goresky, Mark , Introducción a las poleas (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 27 de septiembre de 2017.

Libros

• Borel, Armand ; Moore, John C. (1960). "Teoría de la homología para espacios localmente compactos". Revista de matemáticas de Michigan . 7 (2): 137-159. doi : 10.1307/mmj/1028998385 . ISSN  0026-2285. SEÑOR  0131271.
• Bredon, Glen E. (1997). Teoría de la gavilla (2ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-94905-5. SEÑOR  1481706.
• Fulton, William (1998). Teoría de la intersección (2ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-62046-4. SEÑOR  1644323.
• Iversen, Birger (1986). Cohomología de gavillas . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-16389-1. SEÑOR  0842190.