Teorema de Riemann-Roch para superficies

Teorema matemático

En matemáticas, el teorema de Riemann-Roch para superficies describe la dimensión de los sistemas lineales en una superficie algebraica . La forma clásica de este teorema fue propuesta por primera vez por Castelnuovo (1896, 1897), después de que Max Noether  (1886) y Enriques (1894)  encontraran versiones preliminares del mismo  . La versión de la teoría de haces se debe a Hirzebruch.

Declaración

Una forma del teorema de Riemann-Roch establece que si D es un divisor en una superficie proyectiva no singular, entonces

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\tfrac {1}{2}}D.(D-K)\,}$

donde χ es la característica de Euler holomorfa , el punto . es el número de intersección y K es el divisor canónico. La constante χ(0) es la característica de Euler holomorfa del fibrado trivial y es igual a 1 +  p _a , donde p _a es el género aritmético de la superficie. A modo de comparación, el teorema de Riemann-Roch para una curva establece que χ( D ) = χ(0) + deg( D ).

Fórmula de Noether

La fórmula de Noether establece que

${\displaystyle \chi ={\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}={\frac {(K.K)+e}{12}}}$

donde χ=χ(0) es la característica de Euler holomorfa, c ₁ ² = ( K . K ) es un número de Chern y el número de autointersección de la clase canónica K , y e  =  c ₂ es la característica de Euler topológica. Se puede utilizar para reemplazar el término χ(0) en el teorema de Riemann-Roch con términos topológicos; esto da el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch para superficies.

Relación con el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch

Para superficies, el teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch es esencialmente el teorema de Riemann–Roch para superficies combinado con la fórmula de Noether. Para ver esto, recuerde que para cada divisor D en una superficie hay un haz invertible L = O( D ) tal que el sistema lineal de D es más o menos el espacio de secciones de L . Para superficies, la clase de Todd es , y el carácter de Chern del haz L es simplemente , por lo que el teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch establece que ${\displaystyle 1+c_{1}(X)/2+(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X))/12}$ ${\displaystyle 1+c_{1}(L)+c_{1}(L)^{2}/2}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (D)&=h^{0}(L)-h^{1}(L)+h^{2}(L)\\&={\frac {1}{2}}c_{1}(L)^{2}+{\frac {1}{2}}c_{1}(L)\,c_{1}(X)+{\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)\end{aligned}}}$

Afortunadamente, esto se puede escribir de una forma más clara de la siguiente manera. Primero, si ponemos D  = 0, vemos que

${\displaystyle \chi (0)={\frac {1}{12}}\left(c_{1}(X)^{2}+c_{2}(X)\right)}$     (Fórmula de Noether)

Para haces invertibles (fibrados lineales), la segunda clase de Chern desaparece. Los productos de las segundas clases de cohomología se pueden identificar con números de intersección en el grupo de Picard y obtenemos una versión más clásica de Riemann Roch para superficies:

${\displaystyle \chi (D)=\chi (0)+{\frac {1}{2}}(D.D-D.K)}$

Si queremos, podemos usar la dualidad de Serre para expresar h ² (O( D )) como h ⁰ (O( K  −  D )), pero a diferencia del caso de las curvas, en general no hay una manera fácil de escribir el término h ¹ (O( D )) en una forma que no involucre cohomología de haces (aunque en la práctica a menudo desaparece).

Primeras versiones

Las primeras formas del teorema de Riemann-Roch para superficies se enunciaban a menudo como una desigualdad en lugar de una igualdad, porque no existía una descripción geométrica directa de los primeros grupos de cohomología. Un ejemplo típico lo da Zariski (1995, p. 78), que afirma que

${\displaystyle r\geq n-\pi +p_{a}+1-i}$

dónde

• r es la dimensión del sistema lineal completo | D | de un divisor D (por lo que r  =  h ⁰ (O( D )) −1)
• n es el grado virtual de D , dado por el número de autointersección ( D . D )
• π es el género virtual de D , igual a 1 + (DD + KD)/2
• p _a es el género aritmético χ(O _F ) − 1 de la superficie
• i es el índice de especialidad de D , igual a dim H ⁰ (O( K  −  D )) (que por la dualidad de Serre es el mismo que dim H ² (O(D))).

La diferencia entre los dos lados de esta desigualdad se denominó superabundancia s del divisor D . Comparando esta desigualdad con la versión de la teoría de haces del teorema de Riemann-Roch se muestra que la superabundancia de D está dada por s  = dim H ¹ (O( D )). El divisor D se denominó regular si i  =  s  = 0 (o en otras palabras, si todos los grupos de cohomología superiores de O( D ) se anulan) y superabundante si  s  > 0.

Referencias

• Métodos topológicos en geometría algebraica de Friedrich Hirzebruch ISBN  3-540-58663-6
• Zariski, Oscar (1995), Superficies algebraicas , Classics in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58658-6, Sr.  1336146
• Smith, Roy. "Sobre la generalización clásica de Riemann, Roch y Hirzebruch" (PDF) . Departamento de Matemáticas Centro de Investigación y Educación Boyd Universidad de Georgia .