Clase de Todd

En matemáticas , la clase Todd es una cierta construcción que ahora se considera parte de la teoría en topología algebraica de clases características . La clase Todd de un fibrado vectorial se puede definir por medio de la teoría de clases de Chern , y se encuentra donde existen clases de Chern, más notablemente en topología diferencial , la teoría de variedades complejas y geometría algebraica . En términos generales, una clase Todd actúa como un recíproco de una clase Chern, o se relaciona con ella como un fibrado conormal lo hace con un fibrado normal .

La clase Todd juega un papel fundamental en la generalización del teorema clásico de Riemann-Roch a dimensiones superiores, en el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y el teorema de Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch .

Historia

Recibe su nombre en honor a J. A. Todd , quien introdujo un caso especial del concepto en geometría algebraica en 1937, antes de que se definieran las clases de Chern. La idea geométrica involucrada a veces se denomina clase de Todd-Eger . La definición general en dimensiones superiores se debe a Friedrich Hirzebruch .

Definición

Para definir la clase de Todd donde es un fibrado vectorial complejo en un espacio topológico , normalmente es posible limitar la definición al caso de una suma de Whitney de fibrados lineales , mediante un dispositivo general de la teoría de clases características, el uso de raíces de Chern (también conocido como el principio de división ). Para la definición, sea ${\displaystyle \operatorname {td} (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle Q(x)={\frac {x}{1-e^{-x}}}=1+{\dfrac {x}{2}}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {B_{2i}}{(2i)!}}x^{2i}=1+{\dfrac {x}{2}}+{\dfrac {x^{2}}{12}}-{\dfrac {x^{4}}{720}}+\cdots }$

sea ​​la serie de potencias formal con la propiedad de que el coeficiente de en es 1, donde denota el -ésimo número de Bernoulli . Considere el coeficiente de en el producto ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle Q(x)^{n+1}}$ ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x^{j}}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{m}Q(\beta _{i}x)\ }$

para cualquier . Esta es simétrica en el s y homogénea de peso : por lo que se puede expresar como un polinomio en las funciones simétricas elementales del s. Luego define los polinomios de Todd : forman una secuencia multiplicativa con como serie de potencias característica . ${\displaystyle m>j}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \operatorname {td} _{j}(p_{1},\ldots ,p_{j})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \beta _{i}}$ ${\displaystyle \operatorname {td} _{j}}$ ${\displaystyle Q}$

Si tiene como raíces Chern , entonces la clase Todd ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$

${\displaystyle \operatorname {td} (E)=\prod Q(\alpha _{i})}$

que debe calcularse en el anillo de cohomología de (o en su completitud si se quieren considerar variedades de dimensión infinita). ${\displaystyle X}$

La clase Todd se puede dar explícitamente como una serie de potencia formal en las clases de Chern de la siguiente manera:

${\displaystyle \operatorname {td} (E)=1+{\frac {c_{1}}{2}}+{\frac {c_{1}^{2}+c_{2}}{12}}+{\frac {c_{1}c_{2}}{24}}+{\frac {-c_{1}^{4}+4c_{1}^{2}c_{2}+c_{1}c_{3}+3c_{2}^{2}-c_{4}}{720}}+\cdots }$

donde las clases de cohomología son las clases de Chern de , y se encuentran en el grupo de cohomología . Si es de dimensión finita, entonces la mayoría de los términos se anulan y es un polinomio en las clases de Chern. ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H^{2i}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {td} (E)}$

Propiedades de la clase Todd

La clase Todd es multiplicativa:

${\displaystyle \operatorname {td} (E\oplus F)=\operatorname {td} (E)\cdot \operatorname {td} (F).}$

Sea la clase fundamental de la sección del hiperplano. A partir de la multiplicidad y la sucesión exacta de Euler para el fibrado tangente de ${\displaystyle \xi \in H^{2}({\mathbb {C} }P^{n})}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }P^{n}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)^{n+1}\to T{\mathbb {C} }P^{n}\to 0,}$

se obtiene ^[1]

${\displaystyle \operatorname {td} (T{\mathbb {C} }P^{n})=\left({\dfrac {\xi }{1-e^{-\xi }}}\right)^{n+1}.}$

Cálculos de la clase Todd

Para cualquier curva algebraica, la clase de Todd es simplemente . Como es proyectiva, se puede incorporar a algunas y podemos encontrarla usando la secuencia normal. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \operatorname {td} (C)=1+{\frac {1}{2}}c_{1}(T_{C})}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle c_{1}(T_{C})}$

${\displaystyle 0\to T_{C}\to T_{\mathbb {P^{n}} }|_{C}\to N_{C/\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$

y propiedades de las clases de Chern. Por ejemplo, si tenemos una curva plana de grado en , encontramos que la clase de Chern total es ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}c(T_{C})&={\frac {c(T_{\mathbb {P} ^{2}}|_{C})}{c(N_{C/\mathbb {P} ^{2}})}}\\&={\frac {1+3[H]}{1+d[H]}}\\&=(1+3[H])(1-d[H])\\&=1+(3-d)[H]\end{aligned}}}$

¿Dónde está la clase de hiperplano restringida a ? ${\displaystyle [H]}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle C}$

Fórmula de Hirzebruch-Riemann-Roch

Para cualquier haz coherente F en una variedad compleja compacta suave M , se tiene

${\displaystyle \chi (F)=\int _{M}\operatorname {ch} (F)\wedge \operatorname {td} (TM),}$

¿Dónde está su característica de Euler holomórfica ? ${\displaystyle \chi (F)}$

${\displaystyle \chi (F):=\sum _{i=0}^{{\text{dim}}_{\mathbb {C} }M}(-1)^{i}{\text{dim}}_{\mathbb {C} }H^{i}(M,F),}$

y su personaje Chern . ${\displaystyle \operatorname {ch} (F)}$

Véase también

• Género de una secuencia multiplicativa

Notas

1. Teoría de la intersección, clase 18, por Ravi Vakil

Referencias

• Todd, JA (1937), "Las invariantes aritméticas de los lugares geométricos algebraicos", Actas de la London Mathematical Society , 43 (1): 190–225, doi :10.1112/plms/s2-43.3.190, Zbl  0017.18504
• Friedrich Hirzebruch , Métodos topológicos en geometría algebraica , Springer (1978)
• MI Voitsekhovskii (2001) [1994], "Clase Todd", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press