En matemáticas , una superficie de Del Pezzo o superficie de Fano es una variedad de Fano bidimensional , es decir, una superficie algebraica proyectiva no singular con una amplia clase de divisores anticanónicos . Son en cierto sentido lo opuesto a las superficies de tipo general , cuya clase canónica es grande.
Se llaman así por Pasquale del Pezzo, quien estudió las superficies con la condición más restrictiva de que tengan una clase divisora anticanónica muy amplia, o en su lenguaje las superficies con un grado n inserto en un espacio proyectivo n -dimensional (del Pezzo 1887), que son las superficies del Pezzo de grado al menos 3.
Una superficie de Del Pezzo es una superficie completa no singular con un amplio fibrado anticanónico. Existen algunas variaciones de esta definición que se utilizan a veces. A veces se permite que las superficies de Del Pezzo tengan singularidades. Originalmente se suponía que estaban incrustadas en el espacio proyectivo por la incrustación anticanónica, que restringe el grado a al menos 3.
El grado d de una superficie del Pezzo X es por definición el número de autointersección ( K , K ) de su clase canónica K .
Cualquier curva en una superficie de Del Pezzo tiene un número de autointersección de al menos −1. El número de curvas con número de autointersección −1 es finito y depende únicamente del grado (a menos que el grado sea 8).
Una curva (−1) es una curva racional con un número de autointersección −1. Para d > 2 , la imagen de dicha curva en el espacio proyectivo bajo la incrustación anticanónica es una línea.
La explosión de cualquier curva (−1) sobre una superficie del Pezzo es una superficie del Pezzo de grado 1 mayor. La explosión de cualquier punto sobre una superficie del Pezzo es una superficie del Pezzo de grado 1 menor, siempre que el punto no se encuentre sobre una curva (−1) y el grado sea mayor que 2. Cuando el grado es 2, tenemos que añadir la condición de que el punto no esté fijado por la involución de Geiser, asociada al morfismo anticanónico.
Del Pezzo demostró que una superficie del Pezzo tiene grado d como máximo 9. Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, toda superficie del Pezzo es o bien un producto de dos líneas proyectivas (con d = 8), o bien la ampliación de un plano proyectivo en 9 − d puntos sin tres colineales, sin seis en una cónica y sin ocho de ellos en una cúbica que tenga un nodo en uno de ellos. A la inversa, cualquier ampliación del plano en puntos que satisfagan estas condiciones es una superficie del Pezzo.
El grupo de Picard de una superficie del Pezzo de grado d es la red unimodular impar I 1,9− d , excepto cuando la superficie es un producto de 2 líneas, en cuyo caso el grupo de Picard es la red unimodular par II 1,1 . Cuando se trata de una red impar, el elemento canónico es (3, 1, 1, 1, ....), y las curvas excepcionales se representan mediante permutaciones de todas las coordenadas excepto la primera de los siguientes vectores:
Grado 1: tienen 240 (−1)-curvas correspondientes a las raíces de un sistema de raíces E 8 . Forman una familia de 8 dimensiones. El divisor anticanónico no es muy amplio. El sistema lineal |−2 K | define una función de grado 2 desde la superficie de del Pezzo hasta un cono cuadrático en P 3 , ramificado sobre una curva de género 4 no singular recortada por una superficie cúbica.
Grado 2: tienen 56 (−1)-curvas correspondientes a los minúsculos vectores del dual de la red E 7 . Forman una familia de 6 dimensiones. El divisor anticanónico no es muy amplio, y su sistema lineal define una función desde la superficie de del Pezzo al plano proyectivo, ramificada sobre una curva plana de cuarto grado . Esta función es genéricamente 2 a 1, por lo que a esta superficie a veces se le llama plano doble de del Pezzo. Las 56 líneas de la superficie de del Pezzo se asignan en pares a las 28 bitangentes de un cuarto grado .
Grado 3: son esencialmente superficies cúbicas en P 3 ; la superficie cúbica es la imagen de la incrustación anticanónica. Tienen 27 (−1)-curvas correspondientes a los vectores minúsculos de una clase lateral en el dual de la red E 6 , que se asignan a las 27 líneas de la superficie cúbica. Forman una familia de 4 dimensiones.
Grado 4: son esencialmente superficies de Segre en P 4 , dadas por la intersección de dos cuádricas. Tienen 16 (−1)-curvas. Forman una familia bidimensional.
Grado 5: tienen 10 (−1)-curvas correspondientes a los vectores minúsculos de una clase lateral en el dual de la red A 4. Hasta isomorfismo existe solo una superficie de este tipo, dada por la explosión del plano proyectivo en 4 puntos sin ningún 3 en una línea.
Grado 6: tienen 6 (−1)-curvas. Hasta isomorfismo solo existe una superficie de este tipo, dada por la ampliación del plano proyectivo en 3 puntos que no están sobre una recta. El sistema de raíces es A 2 × A 1
Grado 7: tienen 3 (−1)-curvas. Hasta isomorfismo sólo existe una superficie de este tipo, dada por la explosión del plano proyectivo en 2 puntos distintos.
Grado 8: tienen 2 tipos de isomorfismo. Uno es una superficie de Hirzebruch dada por la explosión del plano proyectivo en un punto, que tiene 1 (−1)-curvas. La otra es el producto de dos rectas proyectivas, que es la única superficie de Del Pezzo que no se puede obtener partiendo del plano proyectivo y haciendo estallar puntos. Su grupo de Picard es la red indefinida unimodular par bidimensional II 1,1 , y no contiene ninguna (−1)-curvas.
Grado 9: La única superficie del Pezzo de grado 9 es P 2 . Su incrustación anticanónica es la incrustación veronesa de grado 3 en P 9 utilizando el sistema lineal de cúbicas.
Una superficie del Pezzo débil es una superficie completa no singular con un fibrado anticanónico que es nef y grande.
La reducción de cualquier curva (−1) en una superficie del Pezzo débil es una superficie del Pezzo débil de grado 1 mayor. La expansión de cualquier punto en una superficie del Pezzo débil es una superficie del Pezzo débil de grado 1 menor, siempre que el punto no se encuentre en una curva −2 y el grado sea mayor que 1.
Cualquier curva en una superficie del Pezzo débil tiene un número de autointersección de al menos −2. El número de curvas con número de autointersección −2 es como máximo 9− d , y el número de curvas con número de autointersección −1 es finito.