Un espacio bidimensional es un espacio matemático con dos dimensiones , lo que significa que los puntos tienen dos grados de libertad : sus ubicaciones pueden describirse localmente con dos coordenadas o pueden moverse en dos direcciones independientes. Los espacios bidimensionales comunes suelen denominarse planos o, más generalmente, superficies .
El ejemplo más básico es el plano euclidiano , una idealización de una superficie plana en el espacio físico como una hoja de papel o una pizarra. En el plano euclidiano, dos puntos cualesquiera pueden unirse mediante una línea recta única a lo largo de la cual se puede medir la distancia . El espacio es plano porque dos líneas cualesquiera atravesadas por una tercera línea perpendicular a ambas son paralelas , lo que significa que nunca se cruzan y permanecen a una distancia uniforme entre sí.
Los espacios bidimensionales también pueden ser curvos , por ejemplo la esfera y el plano hiperbólico , de los cuales porciones suficientemente pequeñas aparecen como el plano, pero en el que las líneas rectas que son localmente paralelas no permanecen equidistantes entre sí sino que eventualmente convergen o divergen. , respectivamente. Los espacios bidimensionales con un concepto de distancia localmente euclidiano pero que pueden tener una curvatura no uniforme se denominan superficies de Riemann . [a] Algunas superficies están incrustadas en un espacio euclidiano tridimensional o en algún otro espacio ambiental , y heredan su estructura de él; por ejemplo, las superficies regladas como el cilindro y el cono contienen una línea recta que pasa por cada punto, y las superficies mínimas minimizan localmente su área, como lo hacen físicamente las películas de jabón .
Las superficies de Lorentz se ven localmente como una porción bidimensional de espacio-tiempo relativista con una dimensión espacial y otra temporal; ejemplos de curvatura constante son el plano Lorentziano plano (un subespacio bidimensional del espacio de Minkowski ) y los planos curvos de De Sitter y anti-de Sitter .
Otro tipo de planos y superficies matemáticas modifican o eliminan las estructuras que definen el plano euclidiano. Por ejemplo, el plano afín tiene una noción de líneas paralelas pero ninguna noción de distancia; sin embargo, las áreas firmadas se pueden comparar significativamente, como ocurre en una superficie simpléctica más general . El plano proyectivo elimina tanto la distancia como el paralelismo. Un espacio métrico bidimensional tiene algún concepto de distancia, pero no es necesario que coincida con la versión euclidiana. Una superficie topológica se puede estirar, torcer o doblar sin cambiar sus propiedades esenciales. Una superficie algebraica es un conjunto bidimensional de soluciones de un sistema de ecuaciones polinomiales .
Algunos espacios matemáticos tienen una estructura aritmética adicional asociada con sus puntos. Un plano vectorial es un plano afín cuyos puntos, llamados vectores , incluyen un origen designado especial o vector cero. Los vectores se pueden sumar o escalar mediante un número y, opcionalmente, tener un concepto de distancia euclidiano, lorentziano o galileano. El plano complejo , el plano numérico hiperbólico y el plano numérico dual tienen puntos que se consideran números en sí mismos y se pueden sumar y multiplicar. Una superficie de Riemann o una superficie de Lorentz aparecen localmente como el plano complejo o el plano numérico hiperbólico, respectivamente.
Los espacios matemáticos a menudo se definen o representan utilizando números en lugar de axiomas geométricos . Uno de los espacios bidimensionales más fundamentales es el espacio de coordenadas reales , denotado por pares de coordenadas de números reales . A veces el espacio representa cantidades arbitrarias en lugar de posiciones geométricas, como en el espacio de parámetros de un modelo matemático o el espacio de configuración de un sistema físico.
De manera más general, se pueden utilizar otros tipos de números como coordenadas. El plano complejo es bidimensional cuando se considera que está formado a partir de coordenadas de números reales, pero unidimensional en términos de coordenadas de números complejos . Un espacio complejo bidimensional, como el espacio de coordenadas complejo bidimensional , el plano proyectivo complejo o una superficie compleja , tiene dos dimensiones complejas, que se pueden representar alternativamente mediante cuatro dimensiones reales. Una red bidimensional es una cuadrícula infinita de puntos que se puede representar mediante coordenadas enteras . Algunos espacios bidimensionales, como los planos finitos , tienen sólo un conjunto finito de elementos.
