incrustar

Inclusión de una estructura matemática en otra, preservando propiedades de interés.

En matemáticas , una incrustación (o incrustación ^[1] ) es una instancia de alguna estructura matemática contenida dentro de otra instancia, como un grupo que es un subgrupo .

Cuando se dice que un objeto está incrustado en otro objeto , la incrustación viene dada por algún mapa inyectivo y que preserva la estructura . El significado preciso de "preservación de la estructura" depende del tipo de estructura matemática de la cual y son ejemplos. En la terminología de la teoría de categorías , un mapa que preserva la estructura se llama morfismo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

El hecho de que un mapa sea una incrustación a menudo se indica mediante el uso de una "flecha en forma de gancho" ( U+ 21AA ↪ FLECHA HACIA LA DERECHA CON GANCHO ); ^[2] así: (Por otro lado, esta notación a veces se reserva para mapas de inclusión ). ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f:X\hookrightarrow Y.}$

Dado y , pueden ser posibles varias incrustaciones diferentes de in . En muchos casos de interés existe una incrustación estándar (o "canónica"), como la de los números naturales en los números enteros , los números enteros en los números racionales , los números racionales en los números reales y los números reales en los números complejos. . En tales casos es común identificar el dominio con su imagen contenida en , de manera que . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\subseteq Y}$

Topología y geometría

Topología general

En topología general , una incrustación es un homeomorfismo en su imagen. ^[3] Más explícitamente, un mapa continuo inyectivo entre espacios topológicos y es una incrustación topológica si produce un homeomorfismo entre y (donde lleva la topología subespacial heredada de ). Entonces, de manera intuitiva, la incrustación nos permite tratarlo como un subespacio de . Cada incrustación es inyectiva y continua . Todo mapa que sea inyectivo, continuo y abierto o cerrado es una incrustación; sin embargo también hay incrustaciones que no son ni abiertas ni cerradas. Esto último sucede si la imagen no es un conjunto abierto ni cerrado en . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$

Para un espacio dado , la existencia de una incrustación es una invariante topológica de . Esto permite distinguir dos espacios si uno puede integrarse en un espacio y el otro no. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$

Definiciones relacionadas

Si el dominio de una función es un espacio topológico entonces se dice que la función es ${\displaystyle f:X\to Y}$localmente inyectiva en un punto si existe algunavecindad de este punto tal que la restricciónsea inyectiva. Se llama ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}$localmente inyectivo si es localmente inyectivo en cada punto de su dominio. De manera similar, unLa incrustación local (topológica, respectivamente suave) es una función para la cual cada punto en su dominio tiene alguna vecindad a la cual su restricción es una incrustación (topológica, respectivamente suave).

Toda función inyectiva es localmente inyectiva pero no a la inversa. Los difeomorfismos locales , los homeomorfismos locales y las inmersiones suaves son funciones localmente inyectivas que no son necesariamente inyectivas. El teorema de la función inversa da una condición suficiente para que una función continuamente diferenciable sea (entre otras cosas) localmente inyectiva. Cada fibra de una función localmente inyectiva es necesariamente un subespacio discreto de su dominio. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X.}$

Topología diferencial

En topología diferencial : sean y sean variedades suaves y sean un mapa suave. Entonces se llama inmersión si su derivada es en todas partes inyectiva. Una incrustación , o una incrustación suave , se define como una inmersión que es una incrustación en el sentido topológico mencionado anteriormente (es decir, homeomorfismo en su imagen). ^[4] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle f}$

En otras palabras, el dominio de una incrustación es difeomorfo a su imagen y, en particular, la imagen de una incrustación debe ser una subvariedad . Una inmersión es precisamente una incrustación local , es decir, para cualquier punto existe una vecindad tal que es una incrustación. ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle x\in U\subset M}$ ${\displaystyle f:U\to N}$

Cuando la variedad de dominio es compacta, la noción de una incrustación suave es equivalente a la de una inmersión inyectiva.

Un caso importante es . El interés aquí es qué tan grande debe ser una incrustación, en términos de la dimensión de . El teorema de incrustación de Whitney ^[5] establece que es suficiente y que es el mejor límite lineal posible. Por ejemplo, el espacio proyectivo real de dimensión , donde es una potencia de dos, requiere una incrustación. Sin embargo, esto no se aplica a las inmersiones; por ejemplo, puede sumergirse como lo muestra explícitamente la superficie de Boy , que tiene autointersecciones. La superficie romana no llega a ser una inmersión ya que contiene casquetes cruzados . ${\displaystyle N=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle RP^{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n=2m}$ ${\displaystyle RP^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Una incrustación es adecuada si se comporta bien con respecto a los límites : se requiere que el mapa sea tal que ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

• ${\displaystyle f(\partial X)=f(X)\cap \partial Y}$, y
• ${\displaystyle f(X)}$es transversal a en cualquier punto de . ${\displaystyle \partial Y}$ ${\displaystyle f(\partial X)}$

La primera condición equivale a tener y . La segunda condición, en términos generales, dice que no es tangente al límite de . ${\displaystyle f(\partial X)\subseteq \partial Y}$ ${\displaystyle f(X\setminus \partial X)\subseteq Y\setminus \partial Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$

Geometría riemanniana y pseudoriemanniana

En geometría riemanniana y geometría pseudoriemanniana: sean y variedades riemannianas o, más generalmente, variedades pseudoriemannianas . Una incrustación isométrica es una incrustación suave que preserva la (pseudo) métrica en el sentido de que es igual al retroceso de by , es decir . Explícitamente, para dos vectores tangentes cualesquiera tenemos ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle (N,h)}$ ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g=f^{*}h}$ ${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$

${\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w)).}$

De manera análoga, la inmersión isométrica es una inmersión entre variedades (pseudo)-riemannianas que preserva las métricas (pseudo)-riemannianas.

De manera equivalente, en la geometría de Riemann, una incrustación isométrica (inmersión) es una incrustación suave (inmersión) que preserva la longitud de las curvas (cf. teorema de incrustación de Nash ). ^[6]

Álgebra

En general, para una categoría algebraica , una incrustación entre dos estructuras algebraicas es un morfismo inyectivo. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle e:X\rightarrow Y}$

teoría de campo

En teoría de campos , la incorporación de un campo en otro campo es un homomorfismo de anillo . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \sigma :E\rightarrow F}$

El núcleo de es un ideal de , que no puede ser el campo completo , debido a la condición . Además, cualquier campo tiene como ideales sólo el ideal cero y todo el campo mismo (porque si hay algún elemento de campo distinto de cero en un ideal, es invertible, lo que demuestra que el ideal es todo el campo). Por lo tanto, el núcleo es , por lo que cualquier incorporación de campos es un monomorfismo . Por tanto, es isomorfo al subcampo de . Esto justifica el nombre de incrustación para un homomorfismo arbitrario de campos. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle 1=\sigma (1)=1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma (E)}$ ${\displaystyle F}$

Álgebra universal y teoría de modelos.

Si es una firma y son -estructuras (también llamadas -álgebras en álgebra universal o modelos en teoría de modelos ) , entonces un mapa es una -incrustación exactamente si se cumple todo lo siguiente: ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle h:A\to B}$ ${\displaystyle \sigma }$

• ${\displaystyle h}$es inyectivo,
• para cada símbolo de función -aria y tenemos , ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f\in \sigma }$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$ ${\displaystyle h(f^{A}(a_{1},\ldots ,a_{n}))=f^{B}(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n}))}$
• para cada símbolo de relación -aria y tenemos iff ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle R\in \sigma }$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A^{n},}$ ${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle B\models R(h(a_{1}),\ldots ,h(a_{n})).}$

Aquí hay un modelo de notación teórica equivalente a . En la teoría de modelos también existe una noción más fuerte de incrustación elemental . ${\displaystyle A\models R(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in R^{A}}$

Teoría del orden y teoría del dominio.

En teoría del orden , una incrustación de conjuntos parcialmente ordenados es una función entre conjuntos parcialmente ordenados y tal que ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\leq x_{2}\iff F(x_{1})\leq F(x_{2}).}$

La inyectividad de se desprende rápidamente de esta definición. En la teoría de dominios , un requisito adicional es que ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \forall y\in Y:\{x\mid F(x)\leq y\}}$está dirigido .

Espacios métricos

Un mapeo de espacios métricos se llama incrustación (con distorsión ) si ${\displaystyle \phi :X\to Y}$ ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle Ld_{X}(x,y)\leq d_{Y}(\phi (x),\phi (y))\leq CLd_{X}(x,y)}$

para todos y algunas constantes . ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle L>0}$

Espacios normados

Un caso especial importante es el de los espacios normados ; en este caso es natural considerar incrustaciones lineales.

Una de las preguntas básicas que se pueden hacer acerca de un espacio normado de dimensión finita es: ¿cuál es la dimensión máxima tal que el espacio de Hilbert pueda incrustarse linealmente con una distorsión constante? ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell _{2}^{k}}$ ${\displaystyle X}$

La respuesta la da el teorema de Dvoretzky .

Teoría de categorías

En la teoría de categorías , no existe una definición satisfactoria y generalmente aceptada de incrustaciones que sea aplicable en todas las categorías. Uno esperaría que todos los isomorfismos y todas las composiciones de incrustaciones sean incrustaciones, y que todas las incrustaciones sean monomorfismos. Otros requisitos típicos son: cualquier monomorfismo extremo es una incrustación y las incrustaciones son estables bajo retrocesos .

Idealmente, la clase de todos los subobjetos incrustados de un objeto dado, hasta el isomorfismo, también debería ser pequeña y, por tanto, un conjunto ordenado . En este caso, se dice que la categoría está bien potenciada con respecto a la clase de incrustaciones. Esto permite definir nuevas estructuras locales en la categoría (como un operador de cierre ).

En una categoría concreta , una incrustación es un morfismo que es una función inyectiva del conjunto subyacente de al conjunto subyacente de y también es un morfismo inicial en el siguiente sentido: If es una función del conjunto subyacente de un objeto al subyacente conjunto de , y si su composición con es un morfismo , entonces él mismo es un morfismo. ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle fg:C\rightarrow B}$ ${\displaystyle g}$

Un sistema de factorización para una categoría también da lugar a una noción de incrustación. Si es un sistema de factorización, entonces los morfismos en pueden considerarse incrustaciones, especialmente cuando la categoría tiene buena potencia con respecto a . Las teorías concretas suelen tener un sistema de factorización en el que consisten las incrustaciones en el sentido anterior. Este es el caso de la mayoría de los ejemplos dados en este artículo. ${\displaystyle (E,M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Como es habitual en la teoría de categorías, existe un concepto dual , conocido como cociente. Todas las propiedades anteriores se pueden dualizar.

Una incrustación también puede referirse a un funtor de incrustación .

Ver también

• Espacio ambiental
• inmersión cerrada
• Cubrir
• Reducción de dimensiones
• Plano (geometría)
• Inmersión
• Lema de Johnson-Lindenstrauss
• subcolector
• Subespacio
• espacio universal

Notas

1. Spivak 1999, pág. 49 sugiere que "los ingleses" (es decir, los británicos) utilizan "incrustación" en lugar de "incrustación".
2. "Flechas - Unicode" (PDF) . Consultado el 7 de febrero de 2017 .
3. Hocking y Young 1988, pág. 73. Sharpe 1997, pág. dieciséis.
4. Obispo y Crittenden 1964, pág. 21. Obispo y Goldberg 1968, pág. 40. Crampin y Pirani 1994, pág. 243. do Carmo 1994, p. 11. Flandes 1989, pág. 53. Gallot, Hulin y Lafontaine 2004, pág. 12. Kobayashi y Nomizu 1963, pág. 9. Kosinski 2007, pág. 27. Lang 1999, pág. 27. Lee 1997, pág. 15. Spivak 1999, pág. 49. Warner 1983, pág. 22.
5. Whitney H., variedades diferenciables, Ann. de Matemáticas. (2), 37 (1936), págs. 645–680
6. Nash J., El problema de incrustación de variedades de Riemann, Ann. de Matemáticas. (2), 63 (1956), 20–63.

Referencias

• Obispo, Richard Lawrence ; Crittenden, Richard J. (1964). Geometría de variedades . Nueva York: Academic Press. ISBN 978-0-8218-2923-3.
• Obispo, Richard Lawrence ; Goldberg, Samuel Irving (1968). Análisis tensorial en variedades (Primera edición de Dover, 1980). La Compañía Macmillan. ISBN 0-486-64039-6.
• Crampín, Michael; Pirani, Félix Arnold Edward (1994). Geometría diferencial aplicable . Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23190-9.
• do Carmo, Manfredo Perdigao (1994). Geometría Riemanniana . Birkhäuser Boston. ISBN 978-0-8176-3490-2.
• Flandes, Harley (1989). Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas . Dover. ISBN 978-0-486-66169-8.
• Gallot, Sylvestre ; Hulin, Dominique ; Lafontaine, Jacques (2004). Geometría de Riemann (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-20493-0.
• Hocking, John Gilbert; Joven, Gail Sellers (1988) [1961]. Topología. Dover. ISBN 0-486-65676-4.
• Kosinski, Antoni Albert (2007) [1993]. Colectores diferenciales . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-46244-8.
• Lang, Serge (1999). Fundamentos de Geometría Diferencial . Textos de Posgrado en Matemáticas. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-98593-0.
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1963). Fundamentos de la Geometría Diferencial, Volumen 1 . Nueva York: Wiley-Interscience.
• Lee, John Marshall (1997). Variedades de Riemann . Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
• Sharpe, RW (1997). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-94732-9..
• Spivak, Michael (1999) [1970]. Una introducción completa a la geometría diferencial (Volumen 1) . Publicar o perecer. ISBN 0-914098-70-5.
• Warner, Frank Wilson (1983). Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de mentiras . Springer-Verlag, Nueva York. ISBN 0-387-90894-3..

enlaces externos

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George Strecker (2006). Categorías abstractas y concretas (La alegría de los gatos).
• Incrustación de colectores en el Manifold Atlas