En matemáticas , el espacio de coordenadas real o espacio de coordenadas real n , de dimensión n , denotado Rn o , es el conjunto de todas las n-tuplas ordenadas de números reales , es decir, el conjunto de todas las secuencias de n números reales, también conocidas como vectores de coordenadas . Los casos especiales se denominan línea real R 1 , plano de coordenadas real R 2 y espacio tridimensional de coordenadas reales R 3 . Con la suma de componentes y la multiplicación escalar, es un espacio vectorial real .
Las coordenadas sobre cualquier base de los elementos de un espacio vectorial real forman un espacio de coordenadas real de la misma dimensión que el del espacio vectorial. De manera similar, las coordenadas cartesianas de los puntos de un espacio euclidiano de dimensión n , E n ( línea euclidiana , E ; plano euclidiano , E 2 ; espacio tridimensional euclidiano , E 3 ) forman un espacio de coordenadas real de dimensión n .
Estas correspondencias uno a uno entre vectores, puntos y vectores de coordenadas explican los nombres de espacio de coordenadas y vector de coordenadas . Permite utilizar términos y métodos geométricos para estudiar espacios de coordenadas reales y, a la inversa, utilizar métodos de cálculo en geometría. Este enfoque de la geometría fue introducido por René Descartes en el siglo XVII. Es muy utilizado, ya que permite localizar puntos en espacios euclidianos y calcular con ellos.
Para cualquier número natural n , el conjunto R n consta de todas las n - tuplas de números reales ( R ). Se llama " espacio real de n dimensiones" o "espacio real de n ".
Un elemento de R n es, por tanto, una n -tupla y se escribe
El espacio n real tiene varias propiedades más, en particular:
Estas propiedades y estructuras de R n lo hacen fundamental en casi todas las áreas de las matemáticas y sus dominios de aplicación, como la estadística , la teoría de la probabilidad y muchas partes de la física .
Cualquier función f ( x 1 , x 2 , ..., x n ) de n variables reales puede considerarse como una función sobre R n (es decir, con R n como su dominio ). El uso del espacio n real , en lugar de varias variables consideradas por separado, puede simplificar la notación y sugerir definiciones razonables. Considere, para n = 2 , una composición de función de la siguiente forma:
entonces F no es necesariamente continua. La continuidad es una condición más fuerte: la continuidad de f en la topología natural R 2 (que se analiza más adelante), también llamada continuidad multivariable , que es suficiente para la continuidad de la composición F.
El espacio de coordenadas R n forma un espacio vectorial de n dimensiones sobre el campo de números reales con la adición de la estructura de linealidad y, a menudo, todavía se denota como R n . Las operaciones en R n como espacio vectorial normalmente se definen por
Esta estructura es importante porque cualquier espacio vectorial real de n dimensiones es isomorfo al espacio vectorial R n .
En notación matricial estándar , cada elemento de R n normalmente se escribe como un vector columna
El espacio de coordenadas R n puede entonces interpretarse como el espacio de todos los vectores columna n × 1 , o todos los vectores fila 1 × n con las operaciones matriciales ordinarias de suma y multiplicación escalar .
Las transformaciones lineales de R n a R m pueden entonces escribirse como matrices m × n que actúan sobre los elementos de R n mediante multiplicación por la izquierda (cuando los elementos de R n son vectores columna) y sobre elementos de R m mediante multiplicación por la derecha (cuando son vectores fila). La fórmula para la multiplicación por la izquierda, un caso especial de multiplicación de matrices , es:
Cualquier transformación lineal es una función continua (ver más abajo). Además, una matriz define un mapa abierto de R n a R m si y sólo si el rango de la matriz es igual a m .
El espacio de coordenadas R n viene de forma estándar:
Para ver que esto es una base, observe que un vector arbitrario en R n puede escribirse únicamente en la forma
El hecho de que los números reales , a diferencia de muchos otros campos , constituyan un campo ordenado produce una estructura de orientación en R n . Cualquier aplicación lineal de rango completo de R n consigo mismo conserva o invierte la orientación del espacio dependiendo del signo del determinante de su matriz. Si se permutan coordenadas (o, en otras palabras, elementos de la base), la orientación resultante dependerá de la paridad de la permutación .
Los difeomorfismos de R n o dominios en él , por su virtud de evitar el jacobiano cero , también se clasifican en preservación de la orientación y inversión de la orientación. Tiene importantes consecuencias para la teoría de las formas diferenciales , cuyas aplicaciones incluyen la electrodinámica .
Otra manifestación de esta estructura es que el punto de reflexión en R n tiene diferentes propiedades dependiendo de la uniformidad de n . Para n par conserva la orientación, mientras que para n impar se invierte (ver también rotación impropia ).
R n entendido como espacio afín es el mismo espacio, donde R n como espacio vectorial actúa por traslaciones . Por el contrario, un vector debe entenderse como una " diferencia entre dos puntos", generalmente ilustrada por un segmento de línea dirigido que conecta dos puntos. La distinción dice que no existe una elección canónica de dónde debe ir el origen en un espacio n afín, porque puede traducirse a cualquier lugar.
En un espacio vectorial real, como R n , se puede definir un cono convexo , que contiene todas las combinaciones lineales no negativas de sus vectores. El concepto correspondiente en un espacio afín es un conjunto convexo , que solo permite combinaciones convexas (combinaciones lineales no negativas que suman 1).
En el lenguaje del álgebra universal , un espacio vectorial es un álgebra sobre el espacio vectorial universal R ∞ de secuencias finitas de coeficientes, correspondientes a sumas finitas de vectores, mientras que un espacio afín es un álgebra sobre el hiperplano afín universal en este espacio (de secuencias finitas que suman 1), un cono es un álgebra sobre el ortante universal (de secuencias finitas de números no negativos), y un conjunto convexo es un álgebra sobre el simplex universal (de secuencias finitas de números no negativos que suman 1). Esto geometriza los axiomas en términos de "sumas con (posibles) restricciones en las coordenadas".
Otro concepto del análisis convexo es una función convexa de R n a números reales, que se define a través de una desigualdad entre su valor en una combinación convexa de puntos y la suma de valores en aquellos puntos con los mismos coeficientes.
En cuanto a la estructura del espacio vectorial, generalmente se supone que el producto escalar y la distancia euclidiana existen en R n sin explicaciones especiales. Sin embargo, el espacio n real y el espacio n euclidiano son objetos distintos, estrictamente hablando. Cualquier espacio n euclidiano tiene un sistema de coordenadas donde el producto escalar y la distancia euclidiana tienen la forma que se muestra arriba, llamada cartesiana . Pero hay muchos sistemas de coordenadas cartesianas en un espacio euclidiano.
Por el contrario, la fórmula anterior para la métrica euclidiana define la estructura euclidiana estándar en R n , pero no es la única posible. En realidad, cualquier forma cuadrática definida positiva q define su propia "distancia" √ q ( x − y ) , pero no es muy diferente de la euclidiana en el sentido de que
La equivalencia de funciones métricas antes mencionada sigue siendo válida si √ q ( x − y ) se reemplaza con M ( x − y ) , donde M es cualquier función homogénea positiva convexa de grado 1, es decir, una norma vectorial (ver distancia de Minkowski para ejemplos útiles) . Debido a este hecho de que cualquier métrica "natural" en R n no es especialmente diferente de la métrica euclidiana, R n no siempre se distingue de un espacio n euclidiano incluso en trabajos matemáticos profesionales.
Aunque la definición de variedad no requiere que su espacio modelo sea R n , esta elección es la más común y casi exclusiva en geometría diferencial .
Por otro lado, los teoremas de incrustación de Whitney establecen que cualquier variedad real diferenciable de dimensiones m se puede incrustar en R 2 m .
Otras estructuras consideradas en R n incluyen la de un espacio pseudoeuclidiano , la estructura simpléctica ( n par ) y la estructura de contacto ( n impar ). Todas estas estructuras, aunque pueden definirse sin necesidad de coordenadas, admiten formas estándar (y razonablemente simples) en coordenadas.
R n es también un subespacio vectorial real de C n que es invariante a la conjugación compleja ; ver también complejización .
Hay tres familias de politopos que tienen representaciones simples en R n espacios, para cualquier n , y pueden usarse para visualizar cualquier sistema de coordenadas afín en un espacio n real . Los vértices de un hipercubo tienen coordenadas ( x 1 , x 2 , ..., x n ) donde cada x k toma uno de solo dos valores, típicamente 0 o 1. Sin embargo, se pueden elegir dos números cualesquiera en lugar de 0 y 1. , por ejemplo −1 y 1. Un n -hipercubo puede considerarse como el producto cartesiano de n intervalos idénticos (como el intervalo unitario [0,1] ) en la recta real. Como subconjunto n -dimensional, se puede describir con un sistema de 2 n desigualdades :
Cada vértice del politopo cruzado tiene, para algunos k , la coordenada xk igual a ±1 y todas las demás coordenadas iguales a 0 (de modo que es el k -ésimo vector de base estándar hasta el signo ). Este es un politopo dual de hipercubo. Como subconjunto n -dimensional, se puede describir con una única desigualdad que utiliza la operación de valor absoluto :
El tercer politopo con coordenadas simplemente enumerables es el simplex estándar , cuyos vértices son n vectores base estándar y el origen (0, 0,..., 0) . Como n -subconjunto dimensional se describe con un sistema de n + 1 desigualdades lineales:
La estructura topológica de R n (llamada topología estándar , topología euclidiana o topología habitual ) se puede obtener no solo a partir del producto cartesiano. También es idéntica a la topología natural inducida por la métrica euclidiana analizada anteriormente: un conjunto es abierto en la topología euclidiana si y sólo si contiene una bola abierta alrededor de cada uno de sus puntos. Además, R n es un espacio topológico lineal (ver continuidad de mapas lineales arriba), y solo hay una topología posible (no trivial) compatible con su estructura lineal. Como hay muchos mapas lineales abiertos desde R n hacia sí mismo que no son isometrías , puede haber muchas estructuras euclidianas en R n que correspondan a la misma topología. En realidad, no depende mucho ni siquiera de la estructura lineal: hay muchos difeomorfismos no lineales (y otros homeomorfismos) de R n sobre sí mismo, o sus partes, como una bola abierta euclidiana o el interior de un hipercubo).
R n tiene la dimensión topológica n .
Un resultado importante sobre la topología de R n , que está lejos de ser superficial, es la invariancia de dominio de Brouwer . Cualquier subconjunto de R n (con su topología subespacial ) que sea homeomorfo a otro subconjunto abierto de R n es en sí mismo abierto. Una consecuencia inmediata de esto es que R m no es homeomorfo a R n si m ≠ n – un resultado intuitivamente "obvio" que, sin embargo, es difícil de probar.
A pesar de la diferencia en la dimensión topológica, y contrariamente a una percepción ingenua, es posible mapear un espacio real [ se necesita aclaración ] de menor dimensión de manera continua y sobreyectiva sobre R n . Es posible una curva continua (aunque no suave) que llene el espacio (una imagen de R 1 ). [ se necesita aclaración ]
Los casos de 0 ≤ n ≤ 1 no ofrecen nada nuevo: R 1 es la recta real , mientras que R 0 (el espacio que contiene el vector columna vacío) es un singleton , entendido como un espacio vectorial cero . Sin embargo, es útil incluirlos como casos triviales de teorías que describen diferentes n .
El caso de ( x ,y ) donde xey son números reales se ha desarrollado como el plano cartesiano P. Se ha adjuntado una estructura adicional con vectores euclidianos que representan segmentos de línea dirigidos en P. El plano también se ha desarrollado como extensión del campo añadiendo raíces de X 2 + 1 = 0 al campo real. La raíz i actúa sobre P como un cuarto de vuelta con orientación en sentido antihorario. Esta raíz genera el grupo . Cuando ( x,y ) se escribe x + y i es un número complejo .
Otra acción grupal de , donde el actor ha sido expresado como j, usa la recta y = x para la involución de voltear el plano ( x,y ) ↦ ( y,x ), un intercambio de coordenadas. En este caso, los puntos de P se escriben x + y j y se denominan números complejos divididos . Estos números, con la suma y multiplicación coordinada según jj =+1, forman un anillo que no es un campo.
Otra estructura de anillo en P usa una e nilpotente para escribir x + y e para ( x,y ). La acción de e sobre P reduce el plano a una línea: se puede descomponer en la proyección en la coordenada x, luego girando un cuarto el resultado hacia el eje y: e ( x + y e) = x e ya que e 2 = 0. Un número x + y e es un número dual . Los números duales forman un anillo, pero como e no tiene inverso multiplicativo, no genera un grupo, por lo que la acción no es una acción de grupo.
Excluir (0,0) de P crea [ x : y ] coordenadas proyectivas que describen la línea proyectiva real, un espacio unidimensional. Dado que se excluye el origen, existe al menos una de las razones x / y e y / x . Entonces [ x : y ] = [ x / y : 1] o [ x : y ] = [1 : y / x ]. La línea proyectiva P 1 ( R ) es una variedad topológica cubierta por dos mapas de coordenadas , [ z :1] → z o [1: z ] → z , que forman un atlas . Para los puntos cubiertos por ambos gráficos, la función de transición es una inversión multiplicativa en una vecindad abierta del punto, lo que proporciona un homeomorfismo como se requiere en una variedad. Una aplicación de la línea proyectiva real se encuentra en la geometría métrica de Cayley-Klein .
R 4 se puede imaginar usando el hecho de que 16 puntos ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) , donde cada x k es 0 o 1, son vértices de un teseracto (en la foto), el hipercubo de 4 (ver arriba).
El primer uso importante de R 4 es un modelo espacio-temporal : tres coordenadas espaciales más una temporal . Esto suele asociarse con la teoría de la relatividad , aunque desde Galilei se utilizaron cuatro dimensiones para tales modelos . Sin embargo, la elección de la teoría conduce a una estructura diferente: en la relatividad galileana la coordenada t es privilegiada, pero en la relatividad einsteiniana no lo es. La relatividad especial está ambientada en el espacio de Minkowski . La relatividad general utiliza espacios curvos, que pueden considerarse como R 4 con una métrica curva para la mayoría de los fines prácticos. Ninguna de estas estructuras proporciona una métrica (positiva-definida) sobre R 4 .
El euclidiano R 4 también atrae la atención de los matemáticos, por ejemplo, debido a su relación con los cuaterniones , un álgebra real de 4 dimensiones . Consulte rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones para obtener información.
En geometría diferencial, n = 4 es el único caso donde R n admite una estructura diferencial no estándar : ver exótico R 4 .
Se podrían definir muchas normas en el espacio vectorial R n . Algunos ejemplos comunes son
Un resultado realmente sorprendente y útil es que toda norma definida en R n es equivalente . Esto significa que para dos normas arbitrarias y en R n siempre se pueden encontrar números reales positivos , tales que
Esto define una relación de equivalencia en el conjunto de todas las normas en R n . Con este resultado se puede comprobar que una sucesión de vectores en R n converge con si y sólo si converge con .
Aquí hay un bosquejo de cómo podría verse una prueba de este resultado:
Debido a la relación de equivalencia, basta con demostrar que toda norma sobre R n es equivalente a la norma euclidiana . Sea una norma arbitraria sobre R n . La demostración se divide en dos pasos:
![{\textstyle \|\mathbf {x} \|_{p}:={\sqrt[{p}]{\sum _ {i=1}^{n}|x_{i}|^{p}} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bf35f8f8bd1290edf59ab62204c0dffefa08e3f)
![{\textstyle \|\mathbf {x} \|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }{\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}| x_ {i}|^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372b0f141ab63d3195ba2eb91c83f792729b74ff)
