Número complejo dividido

Los reales con raíz cuadrada extra de +1 contiguos

En álgebra , un número complejo dividido (o número hiperbólico , también número perplejo , número doble ) se basa en una unidad hiperbólica j que satisface Un número complejo dividido tiene dos componentes de números reales x e y , y se escribe El conjugado de z es Dado el producto de un número z por su conjugado es una forma cuadrática isotrópica . ${\displaystyle j^{2}=1.}$ ${\displaystyle z=x+yj.}$ ${\displaystyle z^{*}=x-yj.}$ ${\displaystyle j^{2}=1,}$ ${\displaystyle N(z):=zz^{*}=x^{2}-y^{2},}$

La colección D de todos los números complejos divididos forma un álgebra sobre el cuerpo de los números reales . Dos números complejos divididos w y z tienen un producto wz que satisface Esta composición de N sobre el producto de álgebra hace que ( D , +, ×, *) sea un álgebra de composición . ${\displaystyle z=x+yj}$ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N(wz)=N(w)N(z).}$

Un álgebra similar basada en operaciones de suma y multiplicación por componentes, donde xy es la forma cuadrática , también forma un espacio cuadrático . El isomorfismo del anillo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},+,\times ,xy),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}D&\to \mathbb {R} ^{2}\\x+yj&\mapsto (x-y,x+y)\end{aligned}}}$$

relaciona formas cuadráticas proporcionales, pero el mapeo no es una isometría ya que la identidad multiplicativa (1, 1) de está a una distancia de 0, lo cual está normalizado en D . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Los números complejos divididos tienen muchos otros nombres; ver § Sinónimos a continuación. Consulte el artículo Variable motora para funciones de un número complejo dividido.

Definición

Un número complejo dividido es un par ordenado de números reales, escrito en la forma

$${\displaystyle z=x+jy}$$

donde x e y son números reales y la unidad hiperbólica ^[1] j satisface

$${\displaystyle j^{2}=+1}$$

En el campo de los números complejos la unidad imaginaria i satisface. El cambio de signo distingue los números complejos divididos de los complejos ordinarios. La unidad hiperbólica j no es un número real sino una cantidad independiente. ${\displaystyle i^{2}=-1.}$

La colección de todos esos z se llama plano complejo dividido . La suma y multiplicación de números complejos divididos se definen por

$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+jy)+(u+jv)&=(x+u)+j(y+v)\\(x+jy)(u+jv)&=(xu+yv)+j(xv+yu).\end{aligned}}}$$

Esta multiplicación es conmutativa , asociativa y se distribuye sobre la suma.

Forma conjugada, módulo y bilineal.

Al igual que con los números complejos, se puede definir la noción de conjugado complejo dividido . Si

$${\displaystyle z=x+jy~,}$$

entonces el conjugado de z se define como

$${\displaystyle z^{*}=x-jy~.}$$

El conjugado es una involución que satisface propiedades similares al conjugado complejo . A saber,

$${\displaystyle {\begin{aligned}(z+w)^{*}&=z^{*}+w^{*}\\(zw)^{*}&=z^{*}w^{*}\\\left(z^{*}\right)^{*}&=z.\end{aligned}}}$$

El módulo cuadrático de un número complejo dividido viene dado por la forma cuadrática isotrópica ${\displaystyle z=x+jy}$

$${\displaystyle \lVert z\rVert ^{2}=zz^{*}=z^{*}z=x^{2}-y^{2}~.}$$

Tiene la propiedad del álgebra de composición :

$${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert ~.}$$

Sin embargo, esta forma cuadrática no es definida positiva sino que tiene firma (1, −1) , por lo que el módulo no es una norma .

La forma bilineal asociada está dada por

$${\displaystyle \langle z,w\rangle =\operatorname {\mathrm {Re} } \left(zw^{*}\right)=\operatorname {\mathrm {Re} } \left(z^{*}w\right)=xu-yv~,}$$

donde y Aquí, la parte real está definida por . Otra expresión para el módulo cuadrático es entonces ${\displaystyle z=x+jy}$ ${\displaystyle w=u+jv.}$ ${\displaystyle \operatorname {\mathrm {Re} } (z)={\tfrac {1}{2}}(z+z^{*})=x}$

$${\displaystyle \lVert z\rVert ^{2}=\langle z,z\rangle ~.}$$

Como no es definida positiva, esta forma bilineal no es un producto interno ; sin embargo, la forma bilineal se denomina frecuentemente producto interno indefinido . Un abuso similar del lenguaje se refiere al módulo como norma.

Un número complejo dividido es invertible si y sólo si su módulo es distinto de cero ( ), ${\displaystyle \lVert z\rVert \neq 0}$ por lo tanto, los números de la forma x ± jx no tienen inverso. El inverso multiplicativo de un elemento invertible viene dado por

$${\displaystyle z^{-1}={\frac {z^{*}}{{\lVert z\rVert }^{2}}}~.}$$

Los números complejos divididos que no son invertibles se denominan vectores nulos . Todos estos son de la forma ( a ± ja ) para algún número real a .

La base diagonal

Hay dos elementos idempotentes no triviales dados por y Recuerde que idempotente significa que y Ambos elementos son nulos: ${\displaystyle e={\tfrac {1}{2}}(1-j)}$ ${\displaystyle e^{*}={\tfrac {1}{2}}(1+j).}$ ${\displaystyle ee=e}$ ${\displaystyle e^{*}e^{*}=e^{*}.}$

$${\displaystyle \lVert e\rVert =\lVert e^{*}\rVert =e^{*}e=0~.}$$

A menudo es conveniente utilizar e y e ^∗ como base alternativa para el plano complejo dividido. Esta base se llama base diagonal o base nula . El número complejo dividido z se puede escribir en base nula como

$${\displaystyle z=x+jy=(x-y)e+(x+y)e^{*}~.}$$

Si denotamos el número de los números reales a y b por ( a , b ) , entonces la multiplicación dividida compleja viene dada por ${\displaystyle z=ae+be^{*}}$

$${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}a_{2},b_{1}b_{2}\right)~.}$$

El conjugado complejo dividido en la base diagonal viene dado por

$${\displaystyle (a,b)^{*}=(b,a)}$$

$${\displaystyle \lVert (a,b)\rVert ^{2}=ab.}$$

isomorfismo

Este diagrama conmutativo relaciona la acción del versor hiperbólico en D para apretar el mapeo σ aplicado a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Sobre la base {e, e*} queda claro que los números complejos divididos son isomorfos en anillo a la suma directa con la suma y la multiplicación definidas por pares. ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$

La base diagonal para el plano de números complejos divididos se puede invocar usando un par ordenado ( x , y ) para y haciendo el mapeo ${\displaystyle z=x+jy}$

$${\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=(x,y)S~.}$$

Ahora la forma cuadrática es Además, ${\displaystyle uv=(x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}~.}$

$${\displaystyle (\cosh a,\sinh a){\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}=\left(e^{a},e^{-a}\right)}$$

entonces las dos hipérbolas parametrizadas se ponen en correspondencia con S .

La acción del versor hiperbólico corresponde entonces, bajo esta transformación lineal, a un mapeo de compresión. ${\displaystyle e^{bj}\!}$

$${\displaystyle \sigma :(u,v)\mapsto \left(ru,{\frac {v}{r}}\right),\quad r=e^{b}~.}$$

Aunque se encuentran en la misma clase de isomorfismo en la categoría de anillos , el plano complejo dividido y la suma directa de dos rectas reales difieren en su disposición en el plano cartesiano . El isomorfismo, como mapeo plano, consiste en una rotación en sentido antihorario de 45° y una dilatación de √ 2 . La dilatación, en particular, ha causado a veces confusión en relación con zonas de un sector hiperbólico . De hecho, el ángulo hiperbólico corresponde al área de un sector en el plano con su "círculo unitario" dado por La hipérbola unitaria contraída del plano complejo dividido tiene sólo la mitad del área en el lapso de un sector hiperbólico correspondiente. Tal confusión puede perpetuarse cuando la geometría del plano complejo dividido no se distingue de la de . ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \{(a,b)\in \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} :ab=1\}.}$ ${\displaystyle \{\cosh a+j\sinh a:a\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$

Geometría

  Hipérbola unitaria: ‖ z ‖ = 1

  Hipérbola conjugada: ‖ z ‖ = −1

  Asíntotas: ‖ z ‖ = 0

Un espacio vectorial real bidimensional con el producto interno de Minkowski se llama espacio de Minkowski (1 + 1) -dimensional , a menudo denotado. Así como gran parte de la geometría del plano euclidiano puede describirse con números complejos, la geometría del plano de Minkowski puede describirse con números complejos. describirse con números complejos divididos. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,1}}$

El conjunto de puntos

$${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert ^{2}=a^{2}\right\}}$$

es una hipérbola para cada a distinto de cero en La hipérbola consta de una rama derecha e izquierda que pasa por ( a , 0) y (− a , 0) . El caso a = 1 se llama hipérbola unitaria . La hipérbola conjugada viene dada por ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

$${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert ^{2}=-a^{2}\right\}}$$

con una rama superior e inferior que pasa por (0, a ) y (0, − a ) . La hipérbola y la hipérbola conjugada están separadas por dos asíntotas diagonales que forman el conjunto de elementos nulos:

$${\displaystyle \left\{z:\lVert z\rVert =0\right\}.}$$

Estas dos líneas (a veces llamadas cono nulo ) son perpendiculares y tienen pendientes ±1. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Se dice que los números complejos divididos z y w son hiperbólicos-ortogonales si ⟨ z , w ⟩ = 0 . Si bien es análoga a la ortogonalidad ordinaria, particularmente como se la conoce en la aritmética ordinaria de números complejos, esta condición es más sutil. Constituye la base del concepto de hiperplano simultáneo en el espacio-tiempo.

El análogo de la fórmula de Euler para los números complejos divididos es

$${\displaystyle \exp(j\theta )=\cosh(\theta )+j\sinh(\theta ).}$$

Esta fórmula se puede derivar de una expansión de series de potencias utilizando el hecho de que cosh solo tiene potencias pares mientras que sinh tiene potencias impares. ^[2] Para todos los valores reales del ángulo hiperbólico θ , el número complejo dividido λ = exp( jθ ) tiene norma 1 y se encuentra en la rama derecha de la hipérbola unitaria. Números como λ han sido llamados versores hiperbólicos .

Dado que λ tiene módulo 1, multiplicar cualquier número complejo dividido z por λ conserva el módulo de z y representa una rotación hiperbólica (también llamada impulso de Lorentz o mapeo de compresión ). Multiplicar por λ preserva la estructura geométrica, tomando las hipérbolas consigo mismas y el cono nulo consigo mismo.

El conjunto de todas las transformaciones del plano complejo dividido que preservan el módulo (o equivalentemente, el producto interno) forma un grupo llamado grupo ortogonal generalizado O(1, 1) . Este grupo consta de rotaciones hiperbólicas, que forman un subgrupo denominado SO ⁺ (1, 1) , combinado con cuatro reflexiones discretas dadas por

$${\displaystyle z\mapsto \pm z}$$

${\displaystyle z\mapsto \pm z^{*}.}$

El mapa exponencial

$${\displaystyle \exp \colon (\mathbb {R} ,+)\to \mathrm {SO} ^{+}(1,1)}$$

enviar θ a la rotación por exp( jθ ) es un isomorfismo de grupo ya que se aplica la fórmula exponencial habitual:

$${\displaystyle e^{j(\theta +\phi )}=e^{j\theta }e^{j\phi }.}$$

Si un número complejo dividido z no se encuentra en una de las diagonales, entonces z tiene una descomposición polar .

Propiedades algebraicas

En términos de álgebra abstracta , los números complejos divididos se pueden describir como el cociente del anillo polinómico por el ideal generado por el polinomio. ${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$ ${\displaystyle x^{2}-1,}$

$${\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}-1).}$$

La imagen de x en el cociente es la unidad "imaginaria" j . Con esta descripción, queda claro que los números complejos divididos forman un álgebra conmutativa sobre los números reales. El álgebra no es un campo ya que los elementos nulos no son invertibles. Todos los elementos nulos distintos de cero son divisores de cero .

Dado que la suma y la multiplicación son operaciones continuas con respecto a la topología habitual del plano, los números complejos divididos forman un anillo topológico .

El álgebra de números complejos divididos forma un álgebra de composición ya que

$${\displaystyle \lVert zw\rVert =\lVert z\rVert \lVert w\rVert ~}$$

para cualquier número z y w .

De la definición se desprende que el anillo de números complejos divididos es isomorfo al anillo del grupo cíclico C ₂ sobre los números reales. ${\displaystyle \mathbb {R} [C_{2}]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Representaciones matriciales

Se pueden representar fácilmente números complejos divididos mediante matrices . El número complejo dividido se puede representar mediante la matriz ${\displaystyle z=x+jy}$ ${\displaystyle z\mapsto {\begin{pmatrix}x&y\\y&x\end{pmatrix}}.}$

La suma y multiplicación de números complejos divididos se obtienen mediante suma y multiplicación de matrices. El módulo de z viene dado por el determinante de la matriz correspondiente.

De hecho, hay muchas representaciones del plano complejo dividido en el anillo de cuatro dimensiones de matrices reales de 2x2. Los múltiplos reales de la matriz identidad forman una línea real en el anillo de la matriz M(2,R). Cualquier unidad hiperbólica m proporciona un elemento base con el cual extender la línea real al plano complejo dividido. las matrices

$${\displaystyle m={\begin{pmatrix}a&c\\b&-a\end{pmatrix}}}$$

qué cuadrado de la matriz identidad satisface. Por ejemplo, cuando a = 0, entonces ( b,c ) es un punto en la hipérbola estándar. De manera más general, hay una hipersuperficie en M(2,R) de unidades hiperbólicas, cualquiera de las cuales sirve como base para representar los números complejos divididos como un subanillo de M(2,R). ^{[3] [ se necesita una mejor fuente ]} ${\displaystyle a^{2}+bc=1.}$

El número se puede representar mediante la matriz.   ${\displaystyle z=x+jy}$ ${\displaystyle x\ I+y\ m.}$

Historia

El uso de números complejos divididos se remonta a 1848, cuando James Cockle reveló sus tesarinos . ^[4] William Kingdon Clifford utilizó números complejos divididos para representar sumas de giros. Clifford introdujo el uso de números complejos divididos como coeficientes en un álgebra de cuaterniones ahora llamada bicuaterniones divididos . Llamó a sus elementos "motores", término paralelo a la acción "rotor" de un número complejo ordinario tomado del grupo circular . Ampliando la analogía, las funciones de una variable motora contrastan con las funciones de una variable compleja ordinaria .

Desde finales del siglo XX, la multiplicación por complejos divididos se ha visto comúnmente como un impulso de Lorentz de un plano espacio-temporal . ^{[5] [6] [7] [8] [9] [10]} En ese modelo, el número z = x + y j representa un evento en un plano espacio-temporal, donde x se mide en nanosegundos e y en Mermin. pies . El futuro corresponde al cuadrante de eventos { z  : | y | < x } , que tiene la descomposición polar compleja dividida . El modelo dice que se puede alcanzar z desde el origen ingresando a un marco de referencia de rapidez a y esperando ρ nanosegundos. La ecuación dividida compleja ${\displaystyle z=\rho e^{aj}\!}$

$${\displaystyle e^{aj}\ e^{bj}=e^{(a+b)j}}$$

expresar productos en la hipérbola unitaria ilustra la aditividad de rapidezes para velocidades colineales. La simultaneidad de los acontecimientos depende de la rapidez a ;

$${\displaystyle \{z=\sigma je^{aj}:\sigma \in \mathbb {R} \}}$$

es la línea de eventos simultánea con el origen en el marco de referencia con rapidez a .

Dos eventos z y w son ortogonales hiperbólicos cuando los eventos canónicos exp( aj ) y j exp( aj ) son ortogonales hiperbólicos y se encuentran en los ejes de un sistema de referencia en el que los eventos simultáneos con el origen son proporcionales a j exp( aj ) . ${\displaystyle z^{*}w+zw^{*}=0.}$

En 1933, Max Zorn estaba utilizando los octoniones divididos y observó la propiedad del álgebra de composición . Se dio cuenta de que la construcción de Cayley-Dickson , utilizada para generar álgebras de división, podía modificarse (con un factor gamma, γ ) para construir otras álgebras de composición, incluidas las octoniones divididas. Su innovación fue perpetuada por Adrian Albert , Richard D. Schafer y otros. ^[11] El factor gamma, con R como campo base, construye números complejos divididos como un álgebra de composición. Al revisar a Albert para Mathematical Reviews , NH McCoy escribió que hubo una "introducción de algunas álgebras nuevas de orden 2 ^e sobre F que generalizan las álgebras de Cayley-Dickson". ^[12] Tomando F = R y e = 1 corresponde al álgebra de este artículo.

En 1935 JC Vignaux y A. Durañona y Vedia desarrollaron el álgebra geométrica compleja dividida y la teoría de funciones en cuatro artículos en Contribución a las Ciencias Físicas y Matemáticas , Universidad Nacional de La Plata , República Argentina (en español). Estos ensayos expositivos y pedagógicos presentaron el tema para una amplia apreciación. ^[13]

En 1941, EF Allen utilizó la aritmética geométrica dividida en complejos para establecer la hipérbola de nueve puntos de un triángulo inscrito en  zz ^∗ = 1 . ^[14]

En 1956, Mieczyslaw Warmus publicó "Cálculo de aproximaciones" en el Bulletin de l'Académie polonaise des sciences (ver enlace en Referencias). Desarrolló dos sistemas algebraicos, a cada uno de los cuales llamó "números aproximados", el segundo de los cuales forma un álgebra real. ^[15] DH Lehmer revisó el artículo en Mathematical Reviews y observó que este segundo sistema era isomorfo a los números "complejos hiperbólicos", el tema de este artículo.

En 1961 Warmus continuó su exposición, refiriéndose a los componentes de un número aproximado como el punto medio y el radio del intervalo indicado.

Sinónimos

Diferentes autores han utilizado una gran variedad de nombres para los números complejos divididos. Algunos de estos incluyen:

• Tesarinos ( reales ) , James Cockle (1848)
• Motores ( algebraicos ) , WK Clifford (1882)
• Números complejos hiperbólicos , JC Vignaux (1935), G. Cree (1949) ^[16]
• números birreales , U. Bencivenga (1946)
• números hiperbólicos reales , N. Smith (1949) ^[17]
• números aproximados , Warmus (1956), para uso en análisis de intervalos
• números dobles , IM Yaglom (1968), Kantor y Solodovnikov (1989), Hazewinkel (1990), Rooney (2014)
• números hiperbólicos , W. Miller y R. Boehning (1968), ^[18] G. Sobczyk (1995)
• números complejos anormales , W. Benz (1973)
• números perplejos , P. Fjelstad (1986) y Poodiack & LeClair (2009)
• contracomplejo o hiperbólico , Carmody (1988)
• Números de Lorentz , FR Harvey (1990)
• números semicomplejos , F. Antonuccio (1994)
• números paracomplejos , Cruceanu, Fortuny y Gadea (1996)
• números complejos divididos , B. Rosenfeld (1997) ^[19]
• números de espacio-tiempo , N. Borota (2000)
• Números de estudio , P. Lounesto (2001)
• dos números complejos , S. Olariu (2002)
• binarios divididos , K. McCrimmon (2004)

Ver también

• espacio de minkowski
• cuaternión dividido
• Número hipercomplejo

Referencias

1. Vladimir V. Kisil (2012) Geometría de las transformaciones de Mobius: acciones elípticas, parabólicas e hiperbólicas de SL (2, R) , páginas 2, 161, Imperial College Press ISBN  978-1-84816-858-9
2. James Cockle (1848) Sobre un nuevo imaginario en álgebra, Revista Filosófica 33:438
3. Álgebra abstracta / matrices reales 2x2 en Wikilibros
4. James Cockle (1849) Sobre un nuevo imaginario en álgebra 34:37–47, Revista filosófica Londres-Edimburgo-Dublín (3) 33 :435–9, enlace de Biodiversity Heritage Library .
5. Francesco Antonuccio (1994) Análisis semicomplejo y física matemática
6. F. Catoni, D. Boccaletti, R. Cannata, V. Catoni, E. Nichelatti, P. Zampetti. (2008) Las matemáticas del espacio-tiempo de Minkowski , Birkhäuser Verlag , Basilea. Capítulo 4: Trigonometría en el plano de Minkowski. ISBN 978-3-7643-8613-9 . 
7. Francesco Catoni; Dino Boccaletti; Roberto Cannata; Vincenzo Catoni; Paolo Zampetti (2011). "Capítulo 2: Números hiperbólicos". Geometría del Espacio-Tiempo de Minkowski . Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-642-17977-8.
8. Fjelstad, Paul (1986), "Ampliación de la relatividad especial a través de números perplejos", American Journal of Physics , 54 (5): 416–422, Bibcode :1986AmJPh..54..416F, doi :10.1119/1.14605
9. Louis Kauffman (1985) "Transformaciones en la relatividad especial", Revista Internacional de Física Teórica 24:223–36.
10. Sobczyk, G.(1995) Hyperbolic Number Plane, también publicado en College Mathematics Journal 26:268–80.
11. Robert B. Brown (1967) Sobre álgebras generalizadas de Cayley-Dickson, Pacific Journal of Mathematics 20(3):415–22, enlace del Proyecto Euclid .
12. NH McCoy (1942) Revisión de "Formas cuadráticas que permiten la composición" por AA Albert, Mathematical Reviews #0006140
13. Vignaux, J.(1935) "Sobre el numero complejo hiperbolico y su relacion con la geometria de Borel", Contribución al Estudio de las Ciencias Físicas y Matemáticas , Universidad Nacional de la Plata, República Argentina
14. Allen, EF (1941) "Sobre un triángulo inscrito en una hipérbola rectangular", American Mathematical Monthly 48(10): 675–681
15. M. Warmus (1956) "Cálculo de aproximaciones", Bulletin de l'Académie polonaise des sciences , vol. 4, núm. 5, págs. 253–257, SEÑOR 0081372
16. Cree, George C. (1949). La teoría de números de un sistema de números complejos hiperbólicos (tesis de maestría). Universidad McGill.
17. Smith, Norman E. (1949). Introducción a la teoría de números hiperbólicos (tesis de maestría). Universidad McGill.
18. Molinero, William; Boehning, Rochelle (1968). "Números gaussianos, parabólicos e hiperbólicos". El profesor de matemáticas . 61 (4): 377–382. doi :10.5951/MT.61.4.0377. JSTOR  27957849.
19. Rosenfeld, B. (1997) Geometría de grupos de mentiras , página 30, Kluwer Academic Publishers ISBN 0-7923-4390-5 

Otras lecturas

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• Walter Benz (1973) Vorlesungen úber Geometrie der Algebren , Springer
• NA Borota, E. Flores y TJ Osler (2000) "Los números del espacio-tiempo de forma fácil", Matemáticas y educación informática 34: 159–168.
• NA Borota y TJ Osler (2002) "Funciones de una variable espacio-temporal", Matemáticas y educación informática 36: 231–239.
• K. Carmody, (1988) "Cuaterniones, octoniones y sedeniones circulares e hiperbólicos", Appl. Matemáticas. Computadora. 28:47–72.
• K. Carmody, (1997) "Cuaterniones, octoniones y sedeniones circulares e hiperbólicos: resultados adicionales", Appl. Matemáticas. Computadora. 84:27–48.
• William Kingdon Clifford (1882) Mathematical Works , editor de AW Tucker, página 392, "Notas adicionales sobre bicuaterniones"
• V.Cruceanu, P. Fortuny y PM Gadea (1996) Una encuesta sobre geometría paracompleja, Rocky Mountain Journal of Mathematics 26(1): 83–115, enlace del Proyecto Euclid .
• De Boer, R. (1987) "También conocida como lista de números confusos", American Journal of Physics 55(4):296.
• Anthony A. Harkin y Joseph B. Harkin (2004) Geometría de números complejos generalizados, Revista de Matemáticas 77(2):118–29.
• F. Reese Harvey. Espinores y calibraciones. Prensa académica, San Diego. 1990. ISBN 0-12-329650-1 . Contiene una descripción de álgebras normadas con firma indefinida, incluidos los números de Lorentz. 
• Hazewinkle, M. (1994) "Números dobles y duales", Enciclopedia de Matemáticas , Soviético/AMS/Kluwer, Dordrect.
• Kevin McCrimmon (2004) Un sabor de las álgebras de Jordan , págs. 66, 157, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 SEÑOR 2014924 
• C. Musès, "Hipernúmeros aplicados: conceptos computacionales", Appl. Matemáticas. Computadora. 3 (1977) 211–226.
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• Olariu, Silviu (2002) Números complejos en N dimensiones , Capítulo 1: Números complejos hiperbólicos en dos dimensiones, páginas 1–16, Estudios de matemáticas de Holanda Septentrional #190, Elsevier ISBN 0-444-51123-7 . 
• Poodiack, Robert D. y Kevin J. LeClair (2009) "Teoremas fundamentales del álgebra para los perplejos", The College Mathematics Journal 40(5):322–35.
• Isaak Yaglom (1968) Números complejos en geometría , traducido por E. Primrose del original ruso de 1963, Academic Press , págs.
• J. Rooney (2014). "Números complejos generalizados en mecánica". En Marco Ceccarelli y Victor A. Glazunov (ed.). Avances en la teoría y práctica de robots y manipuladores: Actas de Romansy 2014 XX Simposio CISM-IFToMM sobre teoría y práctica de robots y manipuladores . Mecanismos y ciencia de las máquinas. vol. 22. Saltador. págs. 55–62. doi :10.1007/978-3-319-07058-2_7. ISBN 978-3-319-07058-2.