Cono

Forma geometrica

Un cono circular recto y un cono circular oblicuo.

Un cono doble (no mostrado infinitamente extendido)

modelo 3D de un cono

Un cono es una forma geométrica tridimensional que se estrecha suavemente desde una base plana (frecuentemente, aunque no necesariamente, circular) hasta un punto llamado ápice o vértice .

Un cono está formado por un conjunto de segmentos de recta , medias rectas o rectas que conectan un punto común, el vértice, con todos los puntos de una base que se encuentra en un plano que no contiene el vértice. Dependiendo del autor, la base puede restringirse a ser un círculo , cualquier forma cuadrática unidimensional en el plano, cualquier figura unidimensional cerrada o cualquiera de las anteriores más todos los puntos encerrados. Si los puntos encerrados están incluidos en la base, el cono es un objeto sólido ; de lo contrario, es un objeto bidimensional en un espacio tridimensional. En el caso de un objeto sólido, la frontera formada por estas líneas o líneas parciales se llama superficie lateral ; si la superficie lateral no está limitada, es una superficie cónica .

En el caso de los segmentos de línea, el cono no se extiende más allá de la base, mientras que en el caso de las medias líneas, se extiende infinitamente. En el caso de las líneas, el cono se extiende infinitamente en ambas direcciones desde el vértice, en cuyo caso a veces se le llama cono doble.. Cualquier mitad de un cono doble en un lado del ápice se llama nuca .

El eje de un cono es la línea recta (si la hay), que pasa por el vértice, alrededor del cual la base (y todo el cono) tiene una simetría circular .

En el uso común en geometría elemental , se supone que los conos son circulares rectos , donde circular significa que la base es un círculo y recto significa que el eje pasa por el centro de la base en ángulo recto con su plano. ^[1] Si el cono es circular recto la intersección de un plano con la superficie lateral es una sección cónica . Sin embargo, en general, la base puede tener cualquier forma ^[2] y el vértice puede estar en cualquier lugar (aunque generalmente se supone que la base está limitada y, por lo tanto, tiene un área finita , y que el vértice se encuentra fuera del plano de la base). A diferencia de los conos derechos, se encuentran los conos oblicuos, en los que el eje pasa por el centro de la base de forma no perpendicular. ^[3]

Torre de control del tráfico aéreo en forma de cono, aeropuerto de Sharjah.

Un cono con base poligonal se llama pirámide .

Dependiendo del contexto, "cono" también puede significar específicamente un cono convexo o un cono proyectivo .

Los conos también se pueden generalizar a dimensiones superiores .

Terminología adicional

El perímetro de la base de un cono se llama "directriz", y cada uno de los segmentos de línea entre la directriz y el ápice es una "generatriz" o "línea generadora" de la superficie lateral. (Para conocer la conexión entre este sentido del término "directriz" y la directriz de una sección cónica, consulte Esferas de diente de león ).

El "radio de la base" de un cono circular es el radio de su base; A menudo esto se llama simplemente radio del cono. La apertura de un cono circular recto es el ángulo máximo entre dos líneas generatrices; si la generatriz forma un ángulo θ con el eje, la apertura es 2 θ . En óptica , el ángulo θ se llamamedio ángulo del cono, para distinguirlo de la apertura.

Ilustración de Problemata mathematica... publicada en Acta Eruditorum , 1734

Un cono truncado por un plano inclinado.

Un cono con una región que incluye su vértice cortada por un plano se llama cono truncado ; si el plano de truncamiento es paralelo a la base del cono, se llama tronco de cono . ^[1] Un cono elíptico es un cono con una base elíptica . ^[1] Un cono generalizado es la superficie creada por el conjunto de líneas que pasan por un vértice y cada punto en un límite (ver también casco visual ).

Medidas y ecuaciones

Volumen

El volumen de cualquier sólido cónico es un tercio del producto del área de la base por la altura ^[4] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A_{B}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{B}h.}$

En las matemáticas modernas, esta fórmula se puede calcular fácilmente mediante el cálculo: es, hasta el escalamiento, la integral

$${\displaystyle \int x^{2}\,dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}}$$

principio de Cavalierimétodo de agotamientotercer problema de Hilbertcongruentes en forma de tijeras^[5]

Centro de masa

El centro de masa de un sólido cónico de densidad uniforme se encuentra a un cuarto del camino desde el centro de la base hasta el vértice, en la línea recta que los une.

Cono circular recto

Volumen

Para un cono circular con radio r y altura h , la base es un círculo de área , por lo que la fórmula para el volumen es ^[6] ${\displaystyle \pi r^{2}}$

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h.}$

Altura inclinada

La altura inclinada de un cono circular recto es la distancia desde cualquier punto del círculo de su base hasta el vértice a través de un segmento de línea a lo largo de la superficie del cono. Está dado por , donde es el radio de la base y es la altura. Esto se puede demostrar mediante el teorema de Pitágoras . ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$

Área de superficie

The lateral surface area of a right circular cone is ${\displaystyle LSA=\pi r\ell }$ where ${\displaystyle r}$ is the radius of the circle at the bottom of the cone and ${\displaystyle \ell }$ is the slant height of the cone.^[4] The surface area of the bottom circle of a cone is the same as for any circle, ${\displaystyle \pi r^{2}}$. Thus, the total surface area of a right circular cone can be expressed as each of the following:

• Radius and height

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

(the area of the base plus the area of the lateral surface; the term ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ is the slant height)

${\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)}$

where ${\displaystyle r}$ is the radius and ${\displaystyle h}$ is the height.

• Radius and slant height

${\displaystyle \pi r^{2}+\pi r\ell }$

${\displaystyle \pi r(r+\ell )}$

where ${\displaystyle r}$ is the radius and ${\displaystyle \ell }$ is the slant height.

• Circumference and slant height

${\displaystyle {\frac {c^{2}}{4\pi }}+{\frac {c\ell }{2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {c}{2}}\right)\left({\frac {c}{2\pi }}+\ell \right)}$

where ${\displaystyle c}$ is the circumference and ${\displaystyle \ell }$ is the slant height.

• Apex angle and height

${\displaystyle \pi h^{2}\tan {\frac {\theta }{2}}\left(\tan {\frac {\theta }{2}}+\sec {\frac {\theta }{2}}\right)}$

${\displaystyle -{\frac {\pi h^{2}\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta }{2}}-1}}}$

where ${\displaystyle \theta }$ is the apex angle and ${\displaystyle h}$ is the height.

Circular sector

The circular sector is obtained by unfolding the surface of one nappe of the cone:

• radius R

${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

• arc length L

${\displaystyle L=c=2\pi r}$

• central angle φ in radians

${\displaystyle \varphi ={\frac {L}{R}}={\frac {2\pi r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}}$

Equation form

The surface of a cone can be parameterized as

${\displaystyle f(\theta ,h)=(h\cos \theta ,h\sin \theta ,h),}$

where ${\displaystyle \theta \in [0,2\pi )}$ is the angle "around" the cone, and ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$ is the "height" along the cone.

A right solid circular cone with height ${\displaystyle h}$ and aperture ${\displaystyle 2\theta }$, whose axis is the ${\displaystyle z}$ coordinate axis and whose apex is the origin, is described parametrically as

${\displaystyle F(s,t,u)=\left(u\tan s\cos t,u\tan s\sin t,u\right)}$

where ${\displaystyle s,t,u}$ range over ${\displaystyle [0,\theta )}$, ${\displaystyle [0,2\pi )}$, and ${\displaystyle [0,h]}$, respectively.

In implicit form, the same solid is defined by the inequalities

${\displaystyle \{F(x,y,z)\leq 0,z\geq 0,z\leq h\},}$

where

${\displaystyle F(x,y,z)=(x^{2}+y^{2})(\cos \theta )^{2}-z^{2}(\sin \theta )^{2}.\,}$

More generally, a right circular cone with vertex at the origin, axis parallel to the vector ${\displaystyle d}$, and aperture ${\displaystyle 2\theta }$, is given by the implicit vector equation ${\displaystyle F(u)=0}$ where

${\displaystyle F(u)=(u\cdot d)^{2}-(d\cdot d)(u\cdot u)(\cos \theta )^{2}}$   or   ${\displaystyle F(u)=u\cdot d-|d||u|\cos \theta }$

where ${\displaystyle u=(x,y,z)}$, and ${\displaystyle u\cdot d}$ denotes the dot product.

Elliptic cone

An elliptical cone quadric surface

In the Cartesian coordinate system, an elliptic cone is the locus of an equation of the form^[7]

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=z^{2}.}$

It is an affine image of the right-circular unit cone with equation ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\ .}$ From the fact, that the affine image of a conic section is a conic section of the same type (ellipse, parabola,...), one gets:

• Any plane section of an elliptic cone is a conic section.

Obviously, any right circular cone contains circles. This is also true, but less obvious, in the general case (see circular section).

The intersection of an elliptic cone with a concentric sphere is a spherical conic.

Geometría proyectiva

En geometría proyectiva , un cilindro es simplemente un cono cuyo vértice está en el infinito, lo que corresponde visualmente a un cilindro en perspectiva apareciendo como un cono hacia el cielo.

En geometría proyectiva , un cilindro es simplemente un cono cuyo vértice está en el infinito. ^[8] Intuitivamente, si se mantiene fija la base y se toma el límite cuando el vértice va al infinito, se obtiene un cilindro, cuyo ángulo del lado aumenta como arctan , formando en el límite un ángulo recto . Esto es útil en la definición de cónicas degeneradas , que requieren considerar las cónicas cilíndricas.

Según GB Halsted , un cono se genera de manera similar a una cónica de Steiner solo que con proyectividad y lápices axiales (no en perspectiva) en lugar de los rangos proyectivos utilizados para la cónica de Steiner:

"Si dos lápices axiales copuntuales no rectos son proyectivos pero no perspectiva, los encuentros de planos correlacionados forman una 'superficie cónica de segundo orden', o 'cono'". ^[9]

Generalizaciones

La definición de cono puede ampliarse a dimensiones superiores; ver cono convexo . En este caso, se dice que un conjunto convexo C en el espacio vectorial real es un cono (con vértice en el origen) si para cada vector x en C y cada número real no negativo a , el vector ax está en C. ^[2] En este contexto, los análogos de los conos circulares no suelen ser especiales; de hecho, a menudo nos interesan los conos poliédricos . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Un concepto aún más general es el de cono topológico , que se define en espacios topológicos arbitrarios.

Ver también

• bicono
• Cono (álgebra lineal)
• Cilindro (geometría)
• Demócrito
• cónica generalizada
• hiperboloide
• Lista de formas
• cono pirométrico
• cuadrico
• Rotación de ejes
• Superficie reglada
• Traducción de ejes

Notas

1. James, RC ; James, Glenn (31 de julio de 1992). El diccionario de matemáticas. Medios de ciencia y negocios de Springer. págs. 74–75. ISBN 9780412990410.
2. Grünbaum, Politopos convexos , segunda edición, p. 23.
3. Weisstein, Eric W. "Cono". MundoMatemático .
4. Alejandro, Daniel C.; Koeberlein, Geralyn M. (1 de enero de 2014). Geometría elemental para estudiantes universitarios. Aprendizaje Cengage. ISBN 9781285965901.
5. Hartshorne, Robin (11 de noviembre de 2013). Geometría: Euclides y más allá. Medios de ciencia y negocios de Springer. Capítulo 27. ISBN 9780387226767.
6. En blanco, Brian E.; Krantz, Steven George (1 de enero de 2006). Cálculo: Variable única. Medios de ciencia y negocios de Springer. Capítulo 8. ISBN 9781931914598.
7. Protter y Morrey (1970, pág.583)
8. Dowling, Linneo Wayland (1 de enero de 1917). Geometría proyectiva. Compañía de libros McGraw-Hill, incorporada.
9. GB Halsted (1906) Geometría proyectiva sintética , página 20

Referencias

• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1970), Cálculo universitario con geometría analítica (2ª ed.), Lectura: Addison-Wesley , LCCN  76087042

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Cono". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Doble cono". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Cono generalizado". MundoMatemático .
• Un cono giratorio interactivo de Maths Is Fun
• Cono modelo de papel
• Área de superficie lateral de un cono oblicuo
• Cortar un cono Una demostración interactiva de la intersección de un cono con un plano.