Tronco

Porción de un sólido que se encuentra entre dos planos paralelos que cortan este sólido.

En geometría , un frustum ( en latín, 'bocado'); ^[a] ( pl.: frusta o frustums ) es la porción de un sólido (normalmente una pirámide o un cono ) que se encuentra entre dos planos paralelos que cortan el sólido. En el caso de una pirámide, las caras de la base son poligonales y las caras laterales son trapezoidales . Un tronco recto es una pirámide recta o un cono recto truncado perpendicularmente a su eje; ^[3] de lo contrario, es un tronco oblicuo . En un cono truncado o una pirámide truncada , el plano de truncamiento no es necesariamente paralelo a la base del cono, como en un tronco de cono. Si se fuerza a que todas sus aristas tengan la misma longitud, entonces un tronco se convierte en un prisma (posiblemente oblicuo y/o con bases irregulares).

Elementos, casos especiales y conceptos relacionados.

tronco cuadrado

Un octaedro regular se puede aumentar en 3 caras para crear un tronco triangular.

El eje de un tronco es el del cono o pirámide original. Un tronco es circular si tiene bases circulares; es recto si el eje es perpendicular a ambas bases y oblicuo en caso contrario.

La altura de un tronco de tronco es la distancia perpendicular entre los planos de las dos bases.

Los conos y las pirámides pueden verse como casos degenerados de frusta, donde uno de los planos cortantes pasa por el vértice (de modo que la base correspondiente se reduce a una punta). Los frusta piramidales son una subclase de prismatoides .

Dos troncos con dos bases congruentes unidas en estas bases congruentes forman un bifrutustum .

Fórmulas

Volumen

La fórmula para el volumen de un tronco piramidal cuadrado fue introducida por las matemáticas del antiguo Egipto en lo que se llama el Papiro Matemático de Moscú , escrito en la XIII dinastía ( c.  1850 a. C. ):

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(a^{2}+ab+b^{2}\right),}$

donde a y b son las longitudes de la base y del lado superior, y h es la altura.

Los egipcios conocían la fórmula correcta para el volumen de una pirámide cuadrada truncada, pero en el papiro de Moscú no se da ninguna prueba de esta ecuación.

El volumen de un tronco cónico o piramidal es el volumen del sólido antes de cortar su "ápice", menos el volumen de este "ápice":

${\displaystyle V={\frac {h_{1}B_{1}-h_{2}B_{2}}{3}},}$

donde B ₁ y B ₂ son las áreas base y superior, y h ₁ y h ₂ son las alturas perpendiculares desde el vértice hasta los planos base y superior.

Teniendo en cuenta que

${\displaystyle {\frac {B_{1}}{h_{1}^{2}}}={\frac {B_{2}}{h_{2}^{2}}}={\frac {\sqrt {B_{1}B_{2}}}{h_{1}h_{2}}}=\alpha ,}$

la fórmula del volumen se puede expresar como el tercio del producto de esta proporcionalidad, , y de la diferencia de los cubos de las alturas h ₁ y h ₂ únicamente: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle V={\frac {h_{1}\alpha h_{1}^{2}-h_{2}\alpha h_{2}^{2}}{3}}=\alpha {\frac {h_{1}^{3}-h_{2}^{3}}{3}}.}$

Al usar la identidad a ³ − b ³ = ( a − b )( a ² + ab + b ² ) , se obtiene:

${\displaystyle V=(h_{1}-h_{2})\alpha {\frac {h_{1}^{2}+h_{1}h_{2}+h_{2}^{2}}{3}},}$

donde h ₁ − h ₂ = h es la altura del tronco.

Distribuyendo y sustituyendo a partir de su definición, se obtiene la media heroniana de las áreas B ₁ y B _{2 :} ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\frac {B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}}{3}};}$

la fórmula alternativa es por lo tanto:

${\displaystyle V={\frac {h}{3}}\left(B_{1}+{\sqrt {B_{1}B_{2}}}+B_{2}\right).}$

Garza de Alejandría se destaca por deducir esta fórmula y, con ella, encontrar la unidad imaginaria : la raíz cuadrada de menos uno. ^[4]

En particular:

• El volumen de un cono truncado circular es:

${\displaystyle V={\frac {\pi h}{3}}\left(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}\right),}$

donde r ₁ y r ₂ son los radios base y superior .

• El volumen de un tronco piramidal cuyas bases son n -gonos regulares es:

${\displaystyle V={\frac {nh}{12}}\left(a_{1}^{2}+a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}},}$

donde a ₁ y a ₂ son las longitudes de la base y del lado superior.

tronco piramidal

Área de superficie

tronco cónico

Modelo 3D de un tronco cónico.

Para un tronco cónico circular recto ^{[5] [6]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Lateral surface area}}&=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right)s\\&=\pi \left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Total surface area}}&=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right)s+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\\&=\pi \left(\left(r_{1}+r_{2}\right){\sqrt {\left(r_{1}-r_{2}\right)^{2}+h^{2}}}+r_{1}^{2}+r_{2}^{2}\right)\end{aligned}}}$

donde r ₁ y r ₂ son los radios base y superior respectivamente, y s es la altura inclinada del tronco.

El área de superficie de un tronco de tronco recto cuyas bases son polígonos regulares similares de n lados es

${\displaystyle A={\frac {n}{4}}\left[\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}\right)\cot {\frac {\pi }{n}}+{\sqrt {\left(a_{1}^{2}-a_{2}^{2}\right)^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{n}}+4h^{2}\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}}}\right]}$

donde un ₁ y un ₂ son los lados de las dos bases.

Ejemplos

Los chocolates de la marca Rolo se aproximan a un tronco cónico circular recto, aunque no son planos en la parte superior.

• En el reverso (el reverso) de un billete de un dólar estadounidense , aparece un tronco piramidal en el reverso del Gran Sello de los Estados Unidos , coronado por el Ojo de la Providencia .
• Zigurats , pirámides escalonadas y ciertos montículos antiguos de nativos americanos también forman el tronco de una o más pirámides, con características adicionales como escaleras agregadas.
• Pirámides chinas .
• El Centro John Hancock en Chicago , Illinois , es un tronco cuyas bases son rectángulos.
• El Monumento a Washington es un estrecho tronco piramidal de base cuadrada coronado por una pequeña pirámide.
• El tronco de visualización en gráficos por computadora en 3D es el campo de visión utilizable de una cámara fotográfica o de video virtual modelado como un tronco piramidal.
• En la traducción al inglés de la colección de cuentos de Stanislaw Lem The Cyberiad , el poema Amor y álgebra tensorial afirma que "todo frustum anhela ser un cono".
• Los cubos y las típicas pantallas de lámparas son ejemplos cotidianos de troncos cónicos.
• Vasos para beber y algunas cápsulas espaciales también son algunos ejemplos.

• 

  Garsų Gaudyklė, Neringa, Lituania

  Estructura o estatua de madera de Garsų Gaudyklė en Lituania.
• queso valenciay
• caramelos rolo

Ver también

• tronco esférico

Notas

1. El término frustum proviene del latín frustum , que significa "trozo" o "bocado". La palabra inglesa a menudo se escribe mal como frustrum , una palabra latina diferente relacionada con la palabra inglesa "frustrate". ^[1] La confusión entre estas dos palabras es muy antiguos: se puede encontrar una advertencia sobre ellos en el Apéndice Probi , y las obras de Plauto incluyen un juego de palabras con ellos. ^[2]

Referencias

1. Clark, John Spencer (1895). Manual del profesor: Libros I a VIII. Para el curso completo de Prang sobre estudio de formas y dibujo, libros 7–8. Compañía Educativa Prang. pag. 49.
2. Fontaine, Michael (2010). Palabras divertidas en la comedia plautina. Prensa de la Universidad de Oxford . págs.117, 154. ISBN 9780195341447.
3. Kern, William F.; Suave, James R. (1938). Medición de Sólidos con Pruebas . pag. 67.
4. Nahin, Paul. Un cuento imaginario: la historia de √ −1 . Prensa de la Universidad de Princeton. 1998
5. "Mathwords.com: Frustum" . Consultado el 17 de julio de 2011 .
6. Al-Sammarraie, Ahmed T.; Vafai, Kambiz (2017). "Aumento de la transferencia de calor mediante ángulos de convergencia en una tubería". Transferencia de calor numérica, parte A: aplicaciones . 72 (3): 197-214. Código Bib : 2017NHTA...72..197A. doi :10.1080/10407782.2017.1372670. S2CID  125509773.

enlaces externos

• Derivación de la fórmula para el volumen de los troncos de pirámide y cono (Mathalino.com)
• Weisstein, Eric W. "Frustum piramidal". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Frustum cónico". MundoMatemático .
• Modelos en papel de frustums (pirámides truncadas)
• Modelo de papel de frustum (cono truncado)
• Diseño de modelos en papel de tronco cónico (conos truncados)