Sección circular

Elipsoide triaxial con sección circular.

En geometría, una sección circular es un círculo sobre una superficie cuadrática (como un elipsoide o un hiperboloide ). Es una sección plana especial de la cuadrática, ya que este círculo es la intersección con la cuadrática del plano que contiene al círculo.

Toda sección plana de una esfera es una sección circular, si contiene al menos 2 puntos. Toda cuádrica de revolución contiene círculos como secciones con planos ortogonales a su eje; no contiene ningún otro círculo, si no es una esfera. Más ocultos son los círculos en otras cuádrica, como elipsoides triaxiales, cilindros elípticos, etc. Sin embargo, es cierto que:

• Cualquier superficie cuadrática que contenga elipses también contiene círculos.

De manera equivalente, todas las superficies cuádricas contienen círculos excepto los cilindros parabólicos e hiperbólicos y los paraboloides hiperbólicos .

Si una cuádrica contiene un círculo, entonces toda intersección de la cuádrica con un plano paralelo a este círculo también es un círculo, siempre que contenga al menos dos puntos. A excepción de las esferas, los círculos contenidos en una cuádrica, si los hay, son todos paralelos a uno de los dos planos fijos (que son iguales en el caso de una cuádrica de revolución).

Las secciones circulares se utilizan en cristalografía . ^{[1] [2] [3]}

Utilizando geometría proyectiva

Las secciones circulares de una cuadrática pueden calcularse a partir de la ecuación implícita de la cuadrática, como se hace en las secciones siguientes. También pueden caracterizarse y estudiarse mediante el uso de la geometría proyectiva sintética .

Sea C la intersección de una superficie cuádrica Q y un plano P . En esta sección, Q y C son superficies en el espacio euclidiano tridimensional , que se extienden al espacio proyectivo sobre los números complejos . Bajo estas hipótesis, la curva C es un círculo si y solo si su intersección con el plano en el infinito está incluida en la ómbila (la curva en el infinito de la ecuación ). ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

El primer caso que se debe considerar es cuando la intersección de Q con el plano en el infinito está formada por una o dos rectas reales, es decir, cuando Q es un paraboloide hiperbólico , un cilindro parabólico o un cilindro hiperbólico . En este caso, los puntos en el infinito de C son reales (intersección de un plano real con rectas reales). Por lo tanto, las secciones planas de Q no pueden ser círculos (ni elipses ).

Si Q es una esfera , su intersección con el plano en el infinito es el ombílico y todas las secciones del plano son círculos.

Si Q es una superficie de revolución , su intersección con la ómbica está formada por un par de puntos complejos conjugados (que son puntos dobles ). Un plano real contiene estos dos puntos si y sólo si es perpendicular al eje de revolución. Por tanto, las secciones circulares son las secciones planas por un plano perpendicular al eje, que tienen al menos dos puntos reales.

En los demás casos, la intersección de Q con el ómbico está formada por dos pares diferentes de puntos complejos conjugados. Como C es una curva de grado dos, su intersección con el plano del infinito está formada por dos puntos, posiblemente iguales. La curva C es, pues, un círculo, si estos dos puntos son uno de estos dos pares de puntos complejos conjugados sobre el ómbico. Cada uno de estos pares define una recta real (que pasa por los puntos), que es la intersección de P con el plano del infinito. Así, se tiene una sección circular si y sólo C tiene al menos dos puntos reales y P contiene una de estas rectas en el infinito (es decir, si P es paralela a una de las dos direcciones definidas por estas rectas en el infinito).

Determinación de secciones circulares de una cuádrica

Para encontrar los planos que contienen secciones circulares de una cuádrica dada, se utilizan las siguientes afirmaciones:

(S:) Si los puntos comunes de una cuádrica con una esfera están contenidos en un par de planos, entonces la curva de intersección consta de dos círculos.

(P:) Si la intersección de un plano y una cuádrica es un círculo, entonces cualquier plano paralelo, que contenga al menos dos puntos de la cuádrica, también interseca la cuádrica en un círculo.

Por tanto la estrategia para la detección de secciones circulares es:

1) Encuentra una esfera que interseca la cuádrica en un par de planos y

2) Los planos paralelos a los detectados entregan las secciones circulares restantes.

Elipsoide triaxial

Elipsoide triaxial con secciones circulares (azul y verde) y la esfera auxiliar (roja), que intersecta la cuadrática en los círculos azules.

Elipsoide intersectado por esferas: ${\displaystyle c<{\color {seagreen}r_{1}}<{\color {blue}b}<{\color {purple}r_{2}}<a}$

Para el elipsoide con ecuación

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}$

y los semiejes se utiliza una esfera auxiliar con ecuación ${\displaystyle a>b>c>0}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ .}$

El radio de la esfera debe elegirse de modo que la intersección con el elipsoide esté contenida en dos planos que pasan por el origen. La multiplicación de la ecuación del elipsoide por la ecuación de la esfera y su resta da como resultado: ${\displaystyle r^{2}}$

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}+\left({\frac {r^{2}}{c^{2}}}-1\right)\;z^{2}=0\ .}$

Esta ecuación describe un par de planos, si uno de los 3 coeficientes es cero. En caso de o la ecuación solo se cumple en el eje x o en el eje z. Solo en caso de uno se obtiene un par de planos con ecuación ${\displaystyle \ r=a\ }$ ${\displaystyle \ r=c\ }$ ${\displaystyle \ r=b\ }$

• ${\displaystyle \left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {b^{2}}{c^{2}}}-1\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\tfrac {c}{a}}{\sqrt {\tfrac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}-c^{2}}}}\;x\ ,}$

porque solo en este caso los coeficientes restantes tienen signos diferentes (debido a: ). ${\displaystyle a>b>c}$

El diagrama da una idea de las intersecciones más comunes entre una esfera y un elipsoide y resalta el caso circular excepcional (azul).

Si los valores de los semiejes se aproximan, los dos lápices de planos (y círculos) se aproximan a cualquiera de ellos, ya que todos los planos son ortogonales al eje z (eje de rotación). ${\displaystyle a=b}$

Prueba de propiedad (P)

Al girar el elipsoide alrededor del eje y de modo que uno de los dos círculos (azul) se encuentre en el plano xy, se obtiene una nueva ecuación del elipsoide:

${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+D{\color {red}xz}=E}$

Para uno se obtiene , que tiene que ser la ecuación de un círculo. Esto solo es cierto si . La intersección del elipsoide con un plano con ecuación , (paralelo al plano xy) tiene la ecuación ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle Ax^{2}+By^{2}=E}$ ${\displaystyle A=B\neq 0,\ E>0}$ ${\displaystyle z=z_{0}}$

${\displaystyle A(x^{2}+y^{2})+Dz_{0}x=E-Cz_{0}^{2}}$.

Esta ecuación describe un círculo , un punto o el conjunto vacío. El centro y el radio del círculo se pueden encontrar completando el cuadrado .

Hiperboloide elíptico de una lámina

hiperboloide de una hoja

Para el hiperboloide de una lámina con ecuación

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,c>0}$

Análogamente se obtiene para la intersección con la esfera la ecuación ${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ }$

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-\left({\frac {r^{2}}{c^{2}}}+1\right)\;z^{2}=0\ .}$

Sólo para uno se consigue un par de aviones: ${\displaystyle \ r=a\ }$

${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-\left({\frac {a^{2}}{c^{2}}}+1\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {c}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+c^{2}}}}\;y\ ,\ }$

Cilindro elíptico

cilindro elíptico

Para el cilindro elíptico con ecuación

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,}$

Se obtiene la ecuación

${\displaystyle \left({\frac {r^{2}}{a^{2}}}-1\right)\;x^{2}+\left({\frac {r^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\ .}$

Sólo para uno se consigue un par de aviones: ${\displaystyle \ r=a\ }$

${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{b}}\;y\ .\ }$

Paraboloide elíptico

paraboloide elíptico

Para el paraboloide elíptico con ecuación

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}-z=0\ ,\quad a{\color {red}{<}}b\ ,}$

Se elige una esfera que contiene el vértice (origen) y con centro en el eje (eje z):

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-r)^{2}=r^{2}\quad \leftrightarrow \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-2rz=0\ .}$

Después de eliminar las partes lineales se obtiene la ecuación

${\displaystyle (2ra-1)\;x^{2}+(2rb-1)\;y^{2}-z^{2}=0\ .}$

Sólo uno consigue un par de aviones: ${\displaystyle r={\tfrac {1}{2a}}}$

${\displaystyle \left({\frac {b}{a}}-1\right)\;y^{2}-z^{2}=0\quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\sqrt {\frac {b-a}{a}}}\;y\ .\ }$

Hiperboloide elíptico de dos láminas

Hiperboloide elíptico de dos láminas.

El hiperboloide de dos láminas con ecuación

${\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ ,\quad a>b\ ,\ c>0\ ,}$

se desplaza primero de modo que un vértice es el origen (véase diagrama):

${\displaystyle -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(z+c)^{2}}{c^{2}}}=1\quad \leftrightarrow \quad \ -{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}+{\frac {2z}{c}}=0\ .}$

De manera análoga al caso del paraboloide se elige una esfera que contiene el origen con centro en el eje z:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+(z-r)^{2}=r^{2}\quad \leftrightarrow \quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-2zr=0\ .}$

Después de eliminar las partes lineales se obtiene la ecuación

${\displaystyle \left(-{\frac {r}{a^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;x^{2}+\left(-{\frac {r}{b^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;y^{2}+\left({\frac {r}{c^{2}}}+{\frac {1}{c}}\right)z^{2}=0\ .}$

Sólo por uno se consigue un par de aviones: ${\displaystyle r={\tfrac {a^{2}}{c}}}$

${\displaystyle \left(-{\frac {a^{2}}{b^{2}c}}+{\frac {1}{c}}\right)\;y^{2}+\left({\frac {a^{2}}{c^{3}}}+{\frac {1}{c}}\right)\;z^{2}=0\ \quad \leftrightarrow \quad z=\pm {\frac {c}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+c^{2}}}}\;y\ .}$

Cono elíptico

cono elíptico

El cono elíptico con ecuación

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z^{2}=0\ ,\quad a>b\ ,}$

se desplaza de manera que el vértice no es el origen (ver diagrama):

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-(z-1)^{2}=0\quad \leftrightarrow \quad {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-z^{2}+2z=1.}$

Ahora es adecuada una esfera con centro en el origen:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}\ .}$

Eliminación de rendimientos: ${\displaystyle x^{2}}$

${\displaystyle \left({\frac {a^{2}}{b^{2}}}-1\right)\;y^{2}-(1+a^{2})\;z^{2}+2a^{2}z=a^{2}-r^{2}\ .}$

En este caso completando el cuadrado obtenemos:

${\displaystyle {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\;y^{2}-(1+a^{2})\left(z-{\frac {a^{2}}{1+a^{2}}}\right)^{2}=a^{2}-{\frac {a^{4}}{1+a^{2}}}-r^{2}\ .}$

Para obtener la ecuación de un par de planos, la parte derecha de la ecuación debe ser cero, lo cual es cierto para La solución para z da: ${\displaystyle r={\tfrac {a}{\sqrt {1+a^{2}}}}\ .}$

${\displaystyle z={\frac {a^{2}}{1+a^{2}}}\pm {\frac {1}{b}}{\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{1+a^{2}}}}\;y\ .}$

Referencias

• HF Baker: Principios de geometría, Volumen 3 , Cambridge University Press, 2010, ISBN  978-1-108-01779-4 .
• DMY Sommerville: Geometría analítica de tres dimensiones , Cambridge University Press, 1959, ISBN 978-1-316-60190-7 , pág. 204. 
• KP Grotemeyer: Geometría analítica. Göschen-Verlag, 1962, pág. 143.
• H. Scheid, W. Schwarz: Elementos del álgebra lineal y del análisis. Spektrum, Heidelberg, 2009, ISBN 978-3-8274-1971-2 , pág. 132. 

1. WH Westphal: Physikalisches Wörterbuch: Zwei Teile in Einem Band. Springer-Verlag, 1952, ISBN 978-3-662-12707-0 , pág. 350. 
2. H. Tertsch: Die Festigkeitserscheinungen der Kristalle. Springer-Verlag, Viena, 1949, ISBN 978-3-211-80120-8 , pág. 87. 
3. G. Masing: Lehrbuch der Allgemeinen Metallkunde. Springer-Verlag, Berlín, 1950, ISBN 978-3-642-52-993-1 , pág. 355. 

Enlaces externos

• H. Wiener, P. Treutlein: Modelos de un elipsoide triaxial y un paraboloide elíptico utilizando secciones circulares (ver p. 15) [1] (PDF).