Celosía (grupo)

Conjunto periódico de puntos.

Una red en el plano euclidiano

En geometría y teoría de grupos , una red en el espacio de coordenadas real es un conjunto infinito de puntos en este espacio con las propiedades de que la suma o resta de dos puntos en la red produce otro punto de la red, que todos los puntos de la red están separados. por una distancia mínima, y ​​que cada punto en el espacio está dentro de una distancia máxima de un punto de la red. El cierre bajo suma y resta significa que una red debe ser un subgrupo del grupo aditivo de los puntos en el espacio, y los requisitos de distancia mínima y máxima se pueden resumir diciendo que una red es un conjunto de Delone . De manera más abstracta, una red puede describirse como un grupo abeliano libre de dimensiones que abarca el espacio vectorial . Para cualquier base de , el subgrupo de todas las combinaciones lineales con coeficientes enteros de los vectores base forma una red, y cada red se puede formar a partir de una base de esta manera. Una celosía puede verse como un mosaico regular de un espacio mediante una celda primitiva . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Las celosías tienen muchas aplicaciones importantes en matemáticas puras, particularmente en conexión con las álgebras de Lie , la teoría de números y la teoría de grupos . También surgen en matemáticas aplicadas en relación con la teoría de la codificación , en la teoría de la percolación para estudiar la conectividad que surge de interacciones a pequeña escala, en la criptografía debido a la supuesta dureza computacional de varios problemas de red y se utilizan de diversas maneras en las ciencias físicas. Por ejemplo, en ciencia de materiales y física del estado sólido , una red es sinónimo de la estructura de una estructura cristalina , una matriz tridimensional de puntos regularmente espaciados que coinciden en casos especiales con las posiciones de los átomos o moléculas en un cristal . De manera más general, los modelos reticulares se estudian en física , a menudo mediante técnicas de física computacional .

Consideraciones y ejemplos de simetría.

Una red es el grupo de simetría de simetría traslacional discreta en n direcciones. Un patrón con esta red de simetría traslacional no puede tener más, pero puede tener menos simetría que la red misma. ^[1] Como grupo (eliminando su estructura geométrica), una red es un grupo abeliano libre generado finitamente y, por lo tanto, isomorfo a . ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

Una red en el sentido de una matriz tridimensional de puntos regularmente espaciados que coinciden, por ejemplo, con las posiciones de los átomos o moléculas en un cristal , o más generalmente, la órbita de la acción de un grupo bajo simetría traslacional, es una traducción de la red de traslación: coset, que no necesita contener el origen y, por lo tanto, no necesita ser una red en el sentido anterior.

Un ejemplo simple de celosía es el subgrupo . Ejemplos más complicados incluyen la red E8 , que es una red en , y la red Leech en . El período reticular es central para el estudio de las funciones elípticas , desarrollado en las matemáticas del siglo XIX; se generaliza a dimensiones superiores en la teoría de funciones abelianas . Las celosías llamadas celosías de raíces son importantes en la teoría de álgebras de Lie simples ; por ejemplo, la red E8 está relacionada con un álgebra de Lie que lleva el mismo nombre. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{24}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Dividir el espacio según una celosía.

Por lo tanto , una red típica tiene la forma ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \Lambda ={\biggl \{}\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\mathbin {\bigg \vert } a_{i}\in \mathbb {Z} {\biggr \}},}$

donde { v ₁ , ..., v _n } es una base para . Diferentes bases pueden generar la misma red, pero el valor absoluto del determinante de los vectores v _i está determinado únicamente por Λ y denotado por d(Λ). Si uno piensa que una red divide el conjunto en poliedros iguales (copias de un paralelepípedo de n dimensiones , conocido como la región fundamental de la red), entonces d(Λ) es igual al volumen de n dimensiones de este poliedro. Es por eso que a d(Λ) a veces se le llama covolumen de la red. Si esto es igual a 1, la red se llama unimodular . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Puntos de red en conjuntos convexos

El teorema de Minkowski relaciona el número d(Λ) y el volumen de un conjunto simétrico convexo S con el número de puntos de la red contenidos en S. El número de puntos de la red contenidos en un politopo , todos cuyos vértices son elementos de la red, se describe mediante el polinomio de Ehrhart del politopo . Las fórmulas para algunos de los coeficientes de este polinomio también involucran a d(Λ).

Problemas de red computacional

Los problemas de redes computacionales tienen muchas aplicaciones en informática. Por ejemplo, el algoritmo de reducción de la base de red (LLL) de Lenstra-Lenstra-Lovász se ha utilizado en el criptoanálisis de muchos esquemas de cifrado de clave pública , ^[2] y se sabe que muchos esquemas criptográficos basados ​​en red son seguros bajo el supuesto de que ciertos Los problemas de red son computacionalmente difíciles . ^[3]

Retículos en dos dimensiones: discusión detallada.

Cinco celosías en el plano euclidiano

Hay cinco tipos de redes 2D según lo indicado por el teorema de restricción cristalográfica . A continuación, el grupo de papel tapiz de la red se proporciona en notación IUCr , notación Orbifold y notación Coxeter , junto con un diagrama de papel tapiz que muestra los dominios de simetría. Tenga en cuenta que un patrón con esta red de simetría traslacional no puede tener más, pero puede tener menos simetría que la red misma. Una lista completa de subgrupos está disponible. Por ejemplo, debajo de la red hexagonal/triangular se muestra dos veces, con una simetría reflexiva completa de 6 veces y media de 3 veces. Si el grupo de simetría de un patrón contiene una rotación de n veces, entonces la red tiene simetría de n veces para n pares y 2 n veces para n impares .

Para la clasificación de una red determinada, comience con un punto y tome el segundo punto más cercano. Para el tercer punto, que no está en la misma recta, considere sus distancias a ambos puntos. Entre los puntos para los cuales la menor de estas dos distancias es menor, elija un punto para el cual la mayor de las dos sea menor. (No es lógicamente equivalente , pero en el caso de celosías que dan el mismo resultado es simplemente "Elija un punto para el cual el mayor de los dos sea el menor".)

Los cinco casos corresponden a que el triángulo sea equilátero, isósceles recto, recto, isósceles y escaleno. En una red rómbica, la distancia más corta puede ser una diagonal o un lado del rombo, es decir, el segmento de línea que conecta los dos primeros puntos puede ser o no uno de los lados iguales del triángulo isósceles. Esto depende de que el ángulo menor del rombo sea inferior a 60° o entre 60° y 90°.

El caso general se conoce como celosía de período . Si los vectores p y q generan la red, en lugar de p y q también podemos tomar p y p - q , etc. En general en 2D, podemos tomar a p + b q y c p + d q para enteros a , b , cyd tales que ad-bc es 1 o -1. Esto asegura que p y q sean combinaciones lineales enteras de los otros dos vectores. Cada par p , q define un paralelogramo, todos con la misma área, la magnitud del producto vectorial . Un paralelogramo define completamente todo el objeto. Sin mayor simetría, este paralelogramo es un paralelogramo fundamental .

El dominio fundamental de la red del período .

Los vectores pyq se pueden representar mediante números complejos . Hasta el tamaño y la orientación, un par se puede representar por su cociente. Expresado geométricamente: si dos puntos de la red son 0 y 1, consideramos la posición de un tercer punto de la red. La equivalencia en el sentido de generar la misma red está representada por el grupo modular : representa elegir un tercer punto diferente en la misma red, representa elegir un lado diferente del triángulo como lado de referencia 0–1, lo que en general implica cambiar la escala de la celosía y girándola. Cada "triángulo curvo" en la imagen contiene para cada forma de red 2D un número complejo, el área gris es una representación canónica, correspondiente a la clasificación anterior, con 0 y 1 dos puntos de red que están más cerca uno del otro; La duplicación se evita incluyendo sólo la mitad del límite. Las redes rómbicas están representadas por los puntos en su límite, con la red hexagonal como vértice y i para la red cuadrada. Las redes rectangulares están en el eje imaginario, y el área restante representa las redes paralelogramáticas, con la imagen especular de un paralelogramo representada por la imagen especular en el eje imaginario. ${\displaystyle T:z\mapsto z+1}$ ${\displaystyle S:z\mapsto -1/z}$

Celosías en tres dimensiones.

Los 14 tipos de celosías en 3D se denominan celosías de Bravais . Se caracterizan por su grupo espacial . Los patrones 3D con simetría traslacional de un tipo particular no pueden tener más, pero pueden tener menos simetría que la propia red.

Celosías en espacio complejo

Una red es un subgrupo discreto del cual se extiende como un espacio vectorial real. Como la dimensión de un espacio vectorial real es igual a , una red en será un grupo abeliano libre de rango . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle 2n}$

Por ejemplo, los enteros gaussianos forman una red en , como es una base de más . ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]=\mathbb {Z} +i\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {C} ^{1}}$ ${\displaystyle (1,i)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

En grupos de mentiras

De manera más general, una red Γ en un grupo de Lie G es un subgrupo discreto , tal que el cociente G /Γ es de medida finita, ya que la medida heredada de la medida de Haar en G (invariante a la izquierda o invariante a la derecha; la la definición es independiente de esa elección). Ciertamente ese será el caso cuando G /Γ sea compacto , pero esa condición suficiente no es necesaria, como lo muestra el caso del grupo modular en SL ₂ ( R ) , que es una red pero donde el cociente no es compacto. (tiene cúspides ). Hay resultados generales que afirman la existencia de redes en grupos de Lie.

Se dice que una red es uniforme o cocompacta si G /Γ es compacto; de lo contrario, la red se llama no uniforme .

Celosías en espacios vectoriales generales.

Si bien normalmente consideramos redes, este concepto se puede generalizar a cualquier espacio vectorial de dimensión finita sobre cualquier campo . Esto puede hacerse de la siguiente manera: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Sea K un campo , sea V un espacio vectorial K n - dimensional , sea una base K para V y sea R un anillo contenido dentro de K. Entonces la red R en V generada por B viene dada por: ${\displaystyle B=\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\biggl \{}\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}\mathbin {\bigg \vert } a_{i}\in R{\biggr \}}.}$

En general, diferentes bases B generarán diferentes redes. Sin embargo, si la matriz de transición T entre las bases está en - el grupo lineal general de R (en términos simples esto significa que todas las entradas de T están en R y todas las entradas de están en R - lo que equivale a decir que la determinante de T está en - el grupo unitario de elementos en R con inversos multiplicativos), entonces las redes generadas por estas bases serán isomorfas ya que T induce un isomorfismo entre las dos redes. ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(R)}$ ${\displaystyle T^{-1}}$ ${\displaystyle R^{*}}$

Casos importantes de tales redes ocurren en teoría de números con K un campo p -ádico y R los enteros p -ádicos .

Para un espacio vectorial que también es un espacio producto interno , la red dual puede describirse concretamente mediante el conjunto

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}=\{\mathbf {v} \in V\mid \langle \mathbf {v} ,\mathbf {x} \rangle \in R\,{\text{ for all }}\,\mathbf {x} \in {\mathcal {L}}\},}$

o equivalente como

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{*}=\{\mathbf {v} \in V\mid \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{i}\rangle \in R,\ i=1,...,n\}.}$

Nociones relacionadas

• Un elemento primitivo de una red es un elemento que no es un múltiplo entero positivo de otro elemento en la red. ^{[ cita necesaria ]}

Ver también

• Celosía (orden)
• Celosía (módulo)
• celosía recíproca
• celosía unimodular
• sistema de cristal
• Teorema de compacidad de Mahler
• Gráfico de celosía
• Criptografía basada en celosía
• constante de hermita

Notas

1. "Notas de simetría en cristalografía". xrayweb.chem.ou.edu . Consultado el 6 de noviembre de 2022 .
2. Nguyen, Phong; Stern, Jacques (2001). "Las dos caras de las celosías en criptología". Criptografía y celosías . Apuntes de conferencias sobre informática. vol. 2146, págs. 146–180. doi :10.1007/3-540-44670-2_12. ISBN 978-3-540-42488-8.
3. Regev, Oded (1 de enero de 2005). "Sobre celosías, aprendizaje con errores, códigos lineales aleatorios y criptografía". Actas del trigésimo séptimo simposio anual de ACM sobre teoría de la informática . STOC '05. Nueva York, NY, Estados Unidos: ACM. págs. 84–93. CiteSeerX 10.1.1.110.4776 . doi :10.1145/1060590.1060603. ISBN  978-1581139600. S2CID  53223958.

Referencias

• Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), Empaquetamientos, celosías y grupos de esferas , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290 (3.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5, señor  0920369

enlaces externos

• Catálogo de celosías (por Nebe y Sloane)