Red de sanguijuelas

Patrón repetitivo de puntos de 24 dimensiones

En matemáticas , la red de Leech es una red unimodular par Λ _{24 en} un espacio euclidiano de 24 dimensiones , que es uno de los mejores modelos para el problema del número de beso . Fue descubierta por John Leech  (1967). También es posible que la descubriera (pero no publicara) Ernst Witt en 1940.

Caracterización

La red Leech Λ _{24 es la única red en} el espacio euclidiano de 24 dimensiones , E ²⁴ , con la siguiente lista de propiedades:

• Es unimodular , es decir, puede generarse por las columnas de una determinada matriz de 24×24 con determinante  1.
• Es par; es decir, el cuadrado de la longitud de cada vector en Λ ₂₄ es un entero par.
• La longitud de cada vector distinto de cero en Λ ₂₄ es al menos 2.

La última condición es equivalente a la condición de que las bolas unitarias centradas en los puntos de Λ ₂₄ no se superpongan. Cada una es tangente a 196.560 vecinas, y se sabe que este es el mayor número de bolas unitarias de 24 dimensiones no superpuestas que pueden tocar simultáneamente una sola bola unitaria . Esta disposición de 196.560 bolas unitarias centradas en otra bola unitaria es tan eficiente que no hay espacio para mover ninguna de las bolas; esta configuración, junto con su imagen especular, es la única disposición de 24 dimensiones en la que 196.560 bolas unitarias tocan a otra simultáneamente. Esta propiedad también es verdadera en 1, 2 y 8 dimensiones, con 2, 6 y 240 bolas unitarias, respectivamente, basadas en la red entera , el mosaico hexagonal y la red E 8 , respectivamente.

No tiene sistema de raíces y de hecho es la primera red unimodular sin raíces (vectores de norma menores que 4), y por lo tanto tiene una densidad central de 1. Al multiplicar este valor por el volumen de una bola unitaria en 24 dimensiones, , se puede derivar su densidad absoluta. ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}}$

Conway (1983) demostró que la red Leech es isométrica al conjunto de raíces simples (o diagrama de Dynkin ) del grupo de reflexión de la red unimodular lorentziana par de 26 dimensiones II _25,1 . En comparación, los diagramas de Dynkin de II _9,1 y II _17,1 son finitos.

Aplicaciones

El código binario Golay , desarrollado de forma independiente en 1949, es una aplicación en la teoría de la codificación . Más concretamente, se trata de un código corrector de errores capaz de corregir hasta tres errores en cada palabra de 24 bits, y detectar hasta cuatro. Se utilizó para comunicarse con las sondas Voyager , ya que es mucho más compacto que el código Hadamard utilizado anteriormente .

Los cuantificadores , o convertidores analógico-digitales , pueden utilizar redes para minimizar el error cuadrático medio promedio. La mayoría de los cuantificadores se basan en la red entera unidimensional , pero el uso de redes multidimensionales reduce el error cuadrático medio. La red Leech es una buena solución para este problema, ya que las celdas de Voronoi tienen un segundo momento bajo .

El álgebra de vértices de la teoría de campos conforme bidimensional que describe la teoría de cuerdas bosónica , compactada en el toro cociente de 24 dimensiones R ²⁴ /Λ ₂₄ y orbiplegada por un grupo de reflexión de dos elementos, proporciona una construcción explícita del álgebra de Griess que tiene al grupo monstruo como su grupo de automorfismos. Esta álgebra de vértices monstruosa también se utilizó para demostrar las monstruosas conjeturas de la luz de la luna.

Construcciones

La red Leech se puede construir de diversas maneras. Como todas las redes, se puede construir tomando la amplitud integral de las columnas de su matriz generadora , una matriz de 24×24 con determinante 1.

Matriz generadora de sanguijuelas

Un generador de 24x24 (en convención de filas) para la red Leech se da mediante la siguiente matriz dividida por : ${\displaystyle {\sqrt {8}}}$

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 2 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0−3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

^[1]

Usando el código binario Golay

La red Leech se puede construir explícitamente como el conjunto de vectores de la forma 2 ^−3/2 ( a ₁ , a ₂ , ..., a ₂₄ ) donde los a _i son números enteros tales que

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{24}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{24}{\pmod {8}}}$

y para cada clase de residuo fijo módulo 4, la palabra de 24 bits, cuyos 1 corresponden a las coordenadas i tales que a _i pertenece a esta clase de residuo, es una palabra en el código binario de Golay . El código de Golay, junto con el diseño de Witt relacionado, se incluye en una construcción para los 196560 vectores mínimos en la red Leech.

La red de sanguijuelas (L mod 8) se puede construir directamente mediante la combinación de los 3 conjuntos siguientes:

${\displaystyle L~=~~(4B+C)\otimes {1_{2^{12}}}~~+~~~{1_{2^{24}}}\otimes 2G~~~}$, ( es un vector de unos de tamaño n), ${\displaystyle {1_{n}}}$

• G - Código Golay de 24 bits
• B - Secuencia de números enteros binarios
• C - Secuencia de Thue-Morse o suma de paridad de bits enteros (que da la quiralidad de la red)

Golay de 24 bits [ 2 ^ 12 códigos ] Entero de 24 bits [ 2 ^ 24 códigos ] Red Leech de paridad [ 2 ^ 36 códigos ] G = B = C = L = ( 4 B + C ) ⊕ 2 G 00000000 0000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 0 00000000 00000000 00000000 11111111 00000000 0000000 10000000 00000000 00000000 1 22222222 00000000 00000000 11110000 11110000 00000000 01000000 00000000 00000000 1 22220000 22220000 00000000 00001111 11110000 00000000 11000000 00000 00000000 0 ... 11001100 11001100 00000000 00100000 00000000 00000000 1 51111111 11111111 11111111 00110011 11001100 00000000 10100000 00000000 00000000 0 73333333 11111111 11111111 00111100 00111100 00000000 01100000 00000000 00000000 0 ... 11000011 00111100 00000000 11100000 00000000 00000000 1 15111111 11111111 11111111 10101010 10101010 00000000 00010000 00000000 00000000 1 37333333 11111111 11111111 01010101 10101010 00000000 10010000 00000000 00000000 0 ... 01011010 01011010 00000000 01010000 00000000 00000000 0 44000000 00000000 00000000 10100101 01011010 00000000 11010000 00000000 00000000 1 66222222 00000000 00000000                                                                                                                             ... ... ... ... 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 11111111 0 66666666 66666666 66666666            

Utilizando la red lorentziana II25,1

La red Leech también se puede construir como donde w es el vector de Weyl: ${\displaystyle w^{\perp }/w}$

${\displaystyle (0,1,2,3,\dots ,22,23,24;70)}$

en la red unimodular lorentziana par de 26 dimensiones II _25,1 . La existencia de un vector integral de norma lorentziana cero se basa en el hecho de que 1 ² + 2 ² + ... + 24 ² es un cuadrado perfecto (de hecho 70 ² ); el número 24 es el único entero mayor que 1 con esta propiedad (véase el problema de la bala de cañón ). Esto fue conjeturado por Édouard Lucas , pero la prueba llegó mucho después, basada en funciones elípticas .

El vector en esta construcción es realmente el vector de Weyl de la subred par D ₂₄ de la red unimodular impar I ²⁵ . De manera más general, si L es cualquier red unimodular definida positiva de dimensión 25 con al menos 4 vectores de norma 1, entonces el vector de Weyl de sus raíces de norma 2 tiene longitud integral, y existe una construcción similar de la red Leech que utiliza L y este vector de Weyl. ${\displaystyle (0,1,2,3,\dots ,22,23,24)}$

Basado en otras redes

Conway y Sloane (1982) describieron otras 23 construcciones para la red Leech, cada una basada en una red Niemeier . También se puede construir utilizando tres copias de la red E8 , de la misma manera que el código binario Golay se puede construir utilizando tres copias del código Hamming extendido , H8 _. Esta construcción se conoce como la construcción de Turyn de la red Leech.

Como una red laminada

Partiendo de un único punto, Λ ₀ , se pueden apilar copias de la red Λ _n para formar una  red de ( n + 1) dimensiones, Λ _{n +1} , sin reducir la distancia mínima entre puntos. Λ ₁ corresponde a la red entera , Λ ₂ a la red hexagonal y Λ ₃ es el empaquetamiento cúbico centrado en las caras . Conway y Sloane (1982b) demostraron que la red Leech es la única red laminada en 24 dimensiones.

Como una red compleja

La red Leech es también una red de 12 dimensiones sobre los números enteros de Eisenstein . Esto se conoce como la red Leech compleja , y es isomorfa a la red Leech real de 24 dimensiones. En la construcción compleja de la red Leech, el código binario de Golay se reemplaza con el código ternario de Golay , y el grupo Mathieu M ₂₄ se reemplaza con el grupo Mathieu M _12. La red E ₆ , la red E ₈ y la red Coxeter-Todd también tienen construcciones como redes complejas, ya sea sobre los números enteros de Eisenstein o Gaussianos .

Usando el anillo icosiano

La red Leech también se puede construir utilizando el anillo de icosianos . El anillo de icosianos es isomorfo de manera abstracta a la red E8 , tres copias de la cual se pueden utilizar para construir la red Leech utilizando la construcción de Turyn.

La construcción de Witt

En 1972 Witt dio la siguiente construcción, que dijo haber encontrado en 1940, el 28 de enero. Supóngase que H es una matriz de Hadamard de n por n , donde n = 4 ab . Entonces la matriz define una forma bilineal en 2 n dimensiones, cuyo núcleo tiene n dimensiones. El cociente por este núcleo es una forma bilineal no singular que toma valores en (1/2) Z . Tiene 3 subredes de índice 2 que son formas bilineales integrales. Witt obtuvo la red Leech como una de estas tres subredes tomando a = 2, b = 3 y tomando H como la matriz de 24 por 24 (indexada por Z /23 Z ∪ ∞) con entradas Χ( m + n ) donde Χ(∞)=1, Χ(0)=−1, Χ( n )=es el símbolo del residuo cuadrático mod 23 para n distinto de cero . Esta matriz H es una matriz de Paley con algunos cambios de signo insignificantes. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}Ia&H/2\\H/2&Ib\end{pmatrix}}}$

Utilizando una matriz de Paley

Chapman (2001) describió una construcción utilizando una matriz Hadamard oblicua de tipo Paley . La red de Niemeier con sistema de raíces se puede convertir en un módulo para el anillo de números enteros del cuerpo . Al multiplicar esta red de Niemeier por un ideal no principal del anillo de números enteros se obtiene la red Leech. ${\displaystyle D_{24}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$

Uso de códigos de residuos de mayor potencia

Raji (2005) construyó la red Leech utilizando códigos de residuos de mayor potencia sobre el anillo . Se utiliza una construcción similar para construir algunas de las otras redes de rango 24. ${\displaystyle Z_{4}}$

Usando octoniones

Si L es el conjunto de octoniones con coordenadas en la red , entonces la red Leech es el conjunto de tripletes tales que ${\displaystyle E_{8}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle x,y,z\in L}$

${\displaystyle x+y,y+z,x+z\in L{\bar {s}}}$

${\displaystyle x+y+z\in Ls}$

donde . Esta construcción se debe a (Wilson 2009). ${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})}$

Simetrías

La red Leech es altamente simétrica. Su grupo de automorfismo es el grupo de Conway Co ₀ , que es de orden 8 315 553 613 086 720 000. El centro de Co ₀ tiene dos elementos, y el cociente de Co ₀ por este centro es el grupo de Conway Co ₁ , un grupo simple finito. Muchos otros grupos esporádicos , como los grupos de Conway restantes y los grupos de Mathieu , pueden construirse como estabilizadores de varias configuraciones de vectores en la red Leech.

A pesar de tener un grupo de simetría rotacional tan alto , la red de Leech no posee ningún hiperplano de simetría de reflexión. En otras palabras, la red de Leech es quiral . También tiene muchas menos simetrías que el hipercubo y el símplex de 24 dimensiones, o incluso el producto cartesiano de tres copias de la red E8 .

El grupo de automorfismos fue descrito por primera vez por John Conway . Los 398034000 vectores de norma 8 se dividen en 8292375 'cruces' de 48 vectores. Cada cruz contiene 24 vectores mutuamente ortogonales y sus negativos, y por lo tanto describe los vértices de un ortoplex de 24 dimensiones . Cada una de estas cruces puede tomarse como el sistema de coordenadas de la red, y tiene la misma simetría del código de Golay , es decir, 2 ¹² × |M ₂₄ |. Por lo tanto, el grupo de automorfismos completo de la red de Leech tiene orden 8292375 × 4096 × 244823040, o 8 315 553 613 086 720 000.

Geometría

Conway, Parker y Sloane (1982) demostraron que el radio de cobertura de la red de Leech es ; en otras palabras, si ponemos una bola cerrada de este radio alrededor de cada punto de la red, entonces estos simplemente cubren el espacio euclidiano. Los puntos a una distancia al menos de todos los puntos de la red se denominan agujeros profundos de la red de Leech. Hay 23 órbitas de ellos bajo el grupo de automorfismos de la red de Leech, y estas órbitas corresponden a las 23 redes de Niemeier distintas de la red de Leech: el conjunto de vértices del agujero profundo es isométrico al diagrama de Dynkin afín de la red de Niemeier correspondiente. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

La red Leech tiene una densidad de . Cohn y Kumar (2009) demostraron que da el empaquetamiento reticular más denso de bolas en un espacio de 24 dimensiones. Henry Cohn, Abhinav Kumar y Stephen D. Miller et al. (2017) mejoraron esto al demostrar que es el empaquetamiento de esferas más denso, incluso entre los empaquetamientos no reticulares. ${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\approx 0.001930}$

Los 196560 vectores mínimos son de tres variedades diferentes, conocidas como formas :

• ${\displaystyle 1104={\binom {24}{2}}\cdot 2^{2}}$vectores de forma (4 ² ,0 ²² ), para todas las permutaciones y opciones de signo;
• ${\displaystyle 97152=759\cdot 2^{8}\cdot {\frac {1}{2}}}$vectores de forma (2 ⁸ ,0 ¹⁶ ), donde los '2' corresponden a una octava en el código Golay, y hay cualquier número par de signos menos;
• ${\displaystyle 98304=2^{12}\cdot 24}$vectores de forma (∓3,±1 ²³ ), donde el signo inferior se utiliza para los '1' de cualquier palabra de código del código Golay, y el '∓3' puede aparecer en cualquier posición.

El código Golay ternario , el código Golay binario y la red Leech dan códigos esféricos de 24 dimensiones muy eficientes de 729, 4096 y 196560 puntos, respectivamente. Los códigos esféricos son análogos de dimensiones superiores del problema de Tammes , que surgió como un intento de explicar la distribución de los poros en los granos de polen. Estos se distribuyen de manera que se maximice el ángulo mínimo entre ellos. En dos dimensiones, el problema es trivial, pero en tres dimensiones y superiores no lo es. Un ejemplo de un código esférico en tres dimensiones es el conjunto de los 12 vértices del icosaedro regular.

Serie theta

Se puede asociar a cualquier red (positiva-definida) Λ una función theta dada por

${\displaystyle \Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \operatorname {Im} \tau >0.}$

La función theta de una red es entonces una función holomorfa en el semiplano superior . Además, la función theta de una red unimodular par de rango n es en realidad una forma modular de peso n /2 para el grupo modular completo PSL(2, Z ). La función theta de una red integral se escribe a menudo como una serie de potencias en de modo que el coeficiente de q ⁿ da el número de vectores de la red de norma al cuadrado 2 n . En la red de Leech, hay 196560 vectores de norma al cuadrado 4, 16773120 vectores de norma al cuadrado 6, 398034000 vectores de norma al cuadrado 8 y así sucesivamente. La serie theta de la red de Leech es ${\displaystyle q=e^{2i\pi \tau }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{\Lambda _{24}}(\tau )&=E_{12}(\tau )-{\frac {65520}{691}}\Delta (\tau )\\[5pt]&=1+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {65520}{691}}\left(\sigma _{11}(m)-\tau (m)\right)q^{m}\\[5pt]&=1+196560q^{2}[phone]q^{3}[phone]q^{4}+\cdots ,\end{aligned}}}$

donde es la serie de Eisenstein normalizada de peso 12, es el discriminante modular , es la función divisora ​​para el exponente 11, y es la función tau de Ramanujan . De ello se deduce que para m ≥1 el número de vectores de norma al cuadrado 2 m es ${\displaystyle E_{12}(\tau )}$ ${\displaystyle \Delta (\tau )}$ ${\displaystyle \sigma _{11}(n)}$ ${\displaystyle \tau (n)}$

${\displaystyle {\frac {65520}{691}}\left(\sigma _{11}(m)-\tau (m)\right).}$

Historia

Muchas de las secciones transversales de la red de Leech, incluidas la red de Coxeter-Todd y la red de Barnes-Wall , en 12 y 16 dimensiones, se encontraron mucho antes que la red de Leech. O'Connor y Pall (1944) descubrieron una red unimodular impar relacionada en 24 dimensiones, ahora llamada red de Leech impar , uno de cuyos dos vecinos pares es la red de Leech. La red de Leech fue descubierta en 1965 por John Leech  (1967, 2.31, p. 262), al mejorar algunos empaquetamientos de esferas anteriores que encontró (Leech 1964).

Conway  (1968) calculó el orden del grupo de automorfismos de la red Leech y, trabajando con John G. Thompson , descubrió tres nuevos grupos esporádicos como subproducto: los grupos de Conway , Co ₁ , Co ₂ , Co ₃ . También demostraron que otros cuatro grupos esporádicos (en ese entonces) anunciados recientemente, a saber, Higman-Sims , Suzuki , McLaughlin y el grupo Janko J ₂ se podían encontrar dentro de los grupos de Conway utilizando la geometría de la red Leech. (Ronan, p. 155)

Bei dem Versuch, eine Form aus einer solchen Klasse wirklich anzugeben, fand ich mehr als 10 verschiedene Klassen in Γ ₂₄

Witt (1941, pág. 324)

Witt (1941, p. 324), tiene una única frase bastante críptica en la que menciona que encontró más de 10 redes unimodulares en 24 dimensiones sin dar más detalles. Witt (1998, p. 328-329) afirmó que había encontrado 9 de estas redes antes en 1938, y encontró dos más, la red de Niemeier con A²⁴
₁sistema de raíces y la red Leech (y también la extraña red Leech), en 1940.

Véase también

• Empaquetado de esferas
• E ₈ celosía

Referencias

1. Conway, JH ; Sloane, NJA (1999), Empaquetamientos, celosías y grupos de esferas , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290, con contribuciones de Bannai, E.; Borcherds, RE; Sanguijuela, J.; Norton, SP; Odlyzko, AM; Parker, RA; Reina, L.; Venkov, BB (Tercera ed.), Nueva York, NY: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5, MR  0662447, Zbl  0915.52003

• Chapman, Robin (2001), "Matrices de conferencia y redes unimodulares", European Journal of Combinatorics , 22 (8): 1033–1045, arXiv : math.NT/0007116 , doi :10.1006/eujc.2001.0539, ISSN  0195-6698, MR  1861046, S2CID  744078, Zbl  0993.05036
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• Cohn, Henry; Kumar, Abhinav (2009), "Optimalidad y unicidad de la red Leech entre redes", Annals of Mathematics , 170 (3): 1003–1050, arXiv : math.MG/0403263 , doi :10.4007/annals.2009.170.1003, ISSN  1939-8980, MR  2600869, S2CID  10696627, Zbl  1213.11144
• Cohn, Henry; Kumar, Abhinav (2004), "La red más densa en veinticuatro dimensiones", Anuncios electrónicos de investigación de la American Mathematical Society , 10 (7): 58–67, arXiv : math.MG/0408174 , Bibcode :2004math......8174C, doi :10.1090/S1079-6762-04-00130-1, ISSN  1079-6762, MR  2075897, S2CID  15874595
• Cohn, Henry; Kumar, Abhinav; Miller, Stephen D.; Radchenko, Danylo; Viazovska, Maryna (2017), "El problema del empaquetamiento de esferas en dimensión 24", Annals of Mathematics , 185 (3): 1017–1033, arXiv : 1603.06518 , Bibcode :2016arXiv160306518C, doi :10.4007/annals.2017.185.3.8, S2CID  119281758
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Enlaces externos

• Red de sanguijuelas (CP4space)
• Weisstein, Eric W. "Enrejado de sanguijuela". MundoMatemático .
• The Leech Lattice, Universidad de Illinois en Chicago, sitio web de Mark Ronan
• Documentos de RE Borcherds