Entero gaussiano

En teoría de números , un entero gaussiano es un número complejo cuyas partes reales e imaginarias son ambas enteras . Los enteros gaussianos, con la suma y multiplicación ordinarias de números complejos , forman un dominio integral , que suele escribirse como o ^[1] $\mathbf {Z} [i]$ $\mathbb {Z} [i].$

Los números enteros gaussianos comparten muchas propiedades con los números enteros: forman un dominio euclidiano y, por lo tanto, tienen una división euclidiana y un algoritmo euclidiano ; esto implica una factorización única y muchas propiedades relacionadas. Sin embargo, los números enteros gaussianos no tienen un ordenamiento total que respete la aritmética.

Los números enteros gaussianos son números enteros algebraicos y forman el anillo más simple de números enteros cuadráticos .

Los números enteros gaussianos reciben su nombre del matemático alemán Carl Friedrich Gauss .

Definiciones básicas

Los números enteros gaussianos son el conjunto ^[1]

\mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbf {Z} \},\qquad {\text{ donde }}i^{2}=-1.

En otras palabras, un entero gaussiano es un número complejo tal que sus partes reales e imaginarias son ambas enteras . Como los enteros gaussianos son cerrados respecto de la suma y la multiplicación, forman un anillo conmutativo , que es un subanillo del cuerpo de los números complejos. Por lo tanto, es un dominio integral .

Cuando se consideran dentro del plano complejo , los números enteros gaussianos constituyen la red entera $bidimensional$ .

El conjugado de un entero gaussiano $a + bi$ es el entero gaussiano $a - bi$ .

La norma de un entero gaussiano es su producto por su conjugado.

N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}.

La norma de un entero gaussiano es, por tanto, el cuadrado de su valor absoluto como número complejo. La norma de un entero gaussiano es un entero no negativo, que es la suma de dos cuadrados . Por tanto, una norma no puede tener la forma $4 k + 3$ , con $k$ entero .

La norma es multiplicativa , es decir, se tiene ^[2]

N(zw)=N(z)N(w),

para cada par de números enteros gaussianos $z, w$ . Esto se puede demostrar directamente o utilizando la propiedad multiplicativa del módulo de números complejos.

Las unidades del anillo de números enteros gaussianos (es decir, los números enteros gaussianos cuyo inverso multiplicativo es también un número entero gaussiano) son precisamente los números enteros gaussianos con norma 1, es decir, 1, –1, $i$ y $- i$ . ^[3]

División euclidiana

Visualización de la distancia máxima a algún entero gaussiano

Los números enteros gaussianos tienen una división euclidiana (división con resto) similar a la de los números enteros y polinomios . Esto hace que los números enteros gaussianos sean un dominio euclidiano e implica que los números enteros gaussianos comparten con los números enteros y polinomios muchas propiedades importantes, como la existencia de un algoritmo euclidiano para calcular el máximo común divisor , la identidad de Bézout , la propiedad del ideal principal , el lema de Euclides , el teorema de factorización única y el teorema del resto chino , todos los cuales pueden demostrarse utilizando solo la división euclidiana.

Un algoritmo de división euclidiana toma, en el anillo de números enteros gaussianos, un dividendo $a$ y un divisor $b \neq 0$ , y produce un cociente $q$ y un resto $r$ tales que

a=bq+r\quad {\text{y}}\quad N(r)<N(b).

De hecho, se puede hacer que el resto sea más pequeño:

a=bq+r\quad {\text{y}}\quad N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}.

Incluso con esta mejor desigualdad, el cociente y el resto no son necesariamente únicos, pero se puede refinar la elección para asegurar la unicidad.

Para demostrarlo, se puede considerar el cociente de números complejos $x + iy = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠a/b⁠$ . Hay números enteros únicos $m$ y $n$ tales que $- ⁠ 1 / 2 ⁠ < x - m \leq ⁠ 1 / 2 ⁠$ y $- ⁠ 1 / 2 ⁠ < y - n \leq ⁠ 1 / 2 ⁠$ , y por lo tanto $N (x - m + i (y - n)) \leq ⁠ 1 / 2 ⁠$ . Tomando $q = m + in$ , se tiene

a=bq+r,

con

r=b{\bigl (}x-m+i(yn){\bigr )},

N(r)\leq {\frac {N(b)}{2}}.

La elección de $x - m e$ y $- n$ en un intervalo semiabierto es necesaria para la unicidad. Esta definición de división euclidiana puede interpretarse geométricamente en el plano complejo (véase la figura), observando que la distancia desde un número complejo $ξ hasta$ $el$ entero gaussiano más cercano es como máximo $⁠$ $\sqrt 2 / 2 ⁠$ .^[4]

Ideales principales

Como el anillo $G$ de los números enteros de Gauss es un dominio euclidiano, $G$ es un dominio ideal principal , lo que significa que todo ideal de $G$ es principal . Explícitamente, un ideal $I$ es un subconjunto de un anillo $R$ tal que toda suma de elementos de $I$ y todo producto de un elemento de $I$ por un elemento de $R$ pertenecen a $I.$ Un ideal es principal si consta de todos los múltiplos de un único elemento $g$ , es decir, tiene la forma

\{gx\mid x\in G\}.

En este caso se dice que el ideal es generado por $g$ o que $g$ es un generador del ideal.

Todo ideal $I$ en el anillo de los enteros gaussianos es principal, porque, si se elige en $I$ un elemento $g$ distinto de cero de norma mínima, para cada elemento $x$ de $I$ , el resto de la división euclidiana de $x$ por $g$ pertenece también a $I$ y tiene una norma menor que la de $g$ ; debido a la elección de $g$ , esta norma es cero, y por lo tanto el resto también es cero. Es decir, se tiene $x = qg$ , donde $q$ es el cociente.

Para cualquier $g$ , el ideal generado por $g$ también lo es por cualquier asociado de $g$ , es decir, $g, gi, - g, - gi$ ; ningún otro elemento genera el mismo ideal. Como todos los generadores de un ideal tienen la misma norma, la norma de un ideal es la norma de cualquiera de sus generadores.

En algunas circunstancias, es útil elegir, de una vez por todas, un generador para cada ideal. Hay dos formas clásicas de hacerlo, ambas considerando primero los ideales de norma impar. Si $g = a + bi$ tiene una norma impar $a 2 + b 2$ , entonces uno de $a$ y $b$ es impar, y el otro es par. Por lo tanto, $g$ tiene exactamente un asociado con una parte real $a$ que es impar y positiva. En su artículo original, Gauss hizo otra elección, al elegir el único asociado tal que el resto de su división por $2 + 2 i$ sea uno. De hecho, como $N (2 + 2 i) = 8$ , la norma del resto no es mayor que 4. Como esta norma es impar, y 3 no es la norma de un entero gaussiano, la norma del resto es uno, es decir, el resto es una unidad. Multiplicando $g$ por el inverso de esta unidad, se encuentra un asociado que tiene uno como resto, cuando se divide por $2 + 2 i$ .

Si la norma de $g$ es par, entonces $g = 2 k h$ o $g = 2 k h (1 + i)$ , donde $k$ es un entero positivo y $N (h)$ es impar. Por lo tanto, se elige el asociado de $g$ para obtener un $h$ que se ajuste a la elección de los asociados para los elementos de norma impar.

Primos gaussianos

Como los números enteros gaussianos forman un dominio de ideales principales, también forman un dominio de factorización única . Esto implica que un número entero gaussiano es irreducible (es decir, no es el producto de dos números no unitarios ) si y solo si es primo (es decir, genera un ideal primo ).

Los elementos primos de $Z [i]$ también se conocen como primos gaussianos . Un asociado de un primo gaussiano también es un primo gaussiano. El conjugado de un primo gaussiano también es un primo gaussiano (esto implica que los primos gaussianos son simétricos respecto de los ejes real e imaginario).

Un entero positivo es un primo gaussiano si y solo si es un número primo congruente con 3 módulo 4 (es decir, puede escribirse $4 n + 3$ , siendo $n$ un entero no negativo) (secuencia A002145 en la OEIS ). Los demás números primos no son primos gaussianos, sino que cada uno es el producto de dos primos gaussianos conjugados.

Un entero gaussiano $a + bi$ es un primo gaussiano si y solo si:

uno de $a, b$ es cero y el valor absoluto del otro es un número primo de la forma $4 n + 3$ (siendo $n$ un entero no negativo), o
ambos son distintos de cero y $a 2 + b 2$ es un número primo (que no tendrá la forma $4 n + 3$ ).

En otras palabras, un entero gaussiano $m$ es un primo gaussiano si y solo si su norma es un número primo o $m$ es el producto de una unidad ( $\pm1, \pm i$ ) y un número primo de la forma $4 n + 3$ .

De ello se deduce que existen tres casos para la factorización de un número natural primo $p$ en los enteros gaussianos:

Si $p$ es congruente con 3 módulo 4, entonces es un primo gaussiano; en el lenguaje de la teoría de números algebraicos , se dice que $p$ es inerte en los enteros gaussianos.
Si $p$ es congruente con 1 módulo 4, entonces es el producto de un primo gaussiano por su conjugado, siendo ambos primos gaussianos no asociados (ninguno es el producto del otro por una unidad); se dice que $p$ es un primo descompuesto en los enteros gaussianos. Por ejemplo, $5 = (2 + i)(2 - i)$ y $13 = (3 + 2 i)(3 - 2 i)$ .
Si $p = 2$ , tenemos $2 = (1 + i)(1 - i) = i (1 - i) 2$ ; es decir, 2 es el producto del cuadrado de un primo gaussiano por una unidad; es el único primo ramificado en los enteros gaussianos.

Factorización única

Al igual que para cada dominio de factorización único , cada entero gaussiano puede factorizarse como un producto de una unidad y primos gaussianos, y esta factorización es única hasta el orden de los factores y el reemplazo de cualquier primo por cualquiera de sus asociados (junto con un cambio correspondiente del factor unidad).

Si se elige, de una vez por todas, un número primo gaussiano fijo para cada clase de equivalencia de primos asociados, y se toman sólo estos primos seleccionados en la factorización, se obtiene una factorización prima que es única hasta el orden de los factores. Con las elecciones descritas anteriormente, la factorización única resultante tiene la forma

u(1+i)^{e_{0}}{p_{1}}^{e_{1}}\cdots {p_{k}}^{e_{k}},

donde $u$ es una unidad (es decir, $u \in {1, -1, i, - i}$ ), $e 0$ y $k$ son números enteros no negativos, $e 1, \dots, e k$ son números enteros positivos y $p 1, \dots, p k$ son primos gaussianos distintos tales que, dependiendo de la elección de los asociados seleccionados,

o bien $p k = a k + ib k$ con $a$ impar y positivo, y $b$ par,
o el resto de la división euclidiana de $p k$ por $2 + 2 i$ es igual a 1 (esta es la elección original de Gauss ^[5] ).

Una ventaja de la segunda opción es que los asociados seleccionados se comportan bien bajo productos para números enteros gaussianos de norma impar. Por otra parte, el asociado seleccionado para los primos gaussianos reales son números enteros negativos. Por ejemplo, la factorización de 231 en los números enteros, y con la primera opción de asociados es 3 × 7 × 11 , mientras que es (–1) × (–3) × (–7) × (–11) con la segunda opción.

Racionales gaussianos

El cuerpo de los racionales gaussianos es el cuerpo de las fracciones del anillo de los enteros gaussianos. Está formado por los números complejos cuya parte real e imaginaria son ambas racionales .

El anillo de números enteros gaussianos es el cierre integral de los números enteros en los racionales gaussianos.

Esto implica que los números enteros gaussianos son números enteros cuadráticos y que un racional gaussiano es un número entero gaussiano, si y solo si es una solución de una ecuación.

x^{2}+cx+d=0,

con $c$ y $d$ enteros. De hecho, $a + bi$ es la solución de la ecuación

x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2},

y esta ecuación tiene coeficientes enteros si y sólo si $a$ y $b$ son ambos enteros.

Máximo común divisor

En cuanto a cualquier dominio de factorización único , un máximo común divisor (mcd) de dos enteros gaussianos $a, b$ es un entero gaussiano $d$ que es un divisor común de $a$ y $b$ , que tiene todos los divisores comunes de $a$ y $b$ como divisores. Es decir (donde $|$ denota la relación de divisibilidad ),

$d | a$ y $d | b$ , y
$c | a$ y $c | b$ implica $c | d$ .

Por lo tanto, el mayor se entiende en relación con la relación de divisibilidad, y no con un ordenamiento del anillo (para los números enteros, ambos significados de mayor coinciden).

Más técnicamente, un máximo común divisor de $a$ y $b$ es un generador del ideal generado por $a$ y $b$ (esta caracterización es válida para dominios de ideales principales , pero no, en general, para dominios de factorización única).

El máximo común divisor de dos números enteros gaussianos no es único, sino que se define hasta la multiplicación por una unidad . Es decir, dado un máximo común divisor $d$ de $a$ y $b$ , los máximos comunes divisores de $a$ y $b$ son $d, - d, id$ y $- id$ .

Existen varias formas de calcular el máximo común divisor de dos números enteros gaussianos $a$ y $b$ . Cuando se conocen las factorizaciones primas de $a$ y $b$ ,

a=i^{k}\prod _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}},\quad b=i^{n}\prod _{m}{p_{m}}^{\mu _{m}},

donde los primos $p m$ no están asociados por pares y los exponentes $μ m$ no están asociados, el máximo común divisor es

\prod_{m}{p_{m}}^{\lambda_{m}},

con

\lambda _ {m}=\min(\nu _ {m},\mu _ {m}).

Desafortunadamente, excepto en casos simples, la factorización prima es difícil de calcular, y el algoritmo euclidiano conduce a un cálculo mucho más fácil (y rápido). Este algoritmo consiste en reemplazar la entrada $(a, b)$ por $(b, r)$ , donde $r$ es el resto de la división euclidiana de $a$ por $b$ , y repetir esta operación hasta obtener un resto cero, es decir un par $(d, 0)$ . Este proceso termina, porque, en cada paso, la norma del segundo entero gaussiano disminuye. El $d$ resultante es un máximo común divisor, porque (en cada paso) $b$ y $r = a - bq$ tienen los mismos divisores que $a$ y $b$ , y por lo tanto el mismo máximo común divisor.

Este método de cálculo funciona siempre, pero no es tan sencillo como para los números enteros porque la división euclidiana es más complicada. Por lo tanto, a menudo se prefiere un tercer método para los cálculos escritos a mano. Consiste en observar que la norma $N (d)$ del máximo común divisor de $a$ y $b$ es un divisor común de $N (a)$ , $N (b)$ y $N (a + b)$ . Cuando el máximo común divisor $D$ de estos tres números enteros tiene pocos factores, entonces es fácil probar, para el divisor común, todos los números enteros gaussianos con una norma que divida $a D$ .

Por ejemplo, si $a = 5 + 3 i$ , y $b = 2 - 8 i$ , se tiene $N (a) = 34$ , $N (b) = 68$ , y $N (a + b) = 74$ . Como el máximo común divisor de las tres normas es 2, el máximo común divisor de $a$ y $b$ tiene 1 o 2 como norma. Como un entero gaussiano de norma 2 está necesariamente asociado a $1 + i$ , y como $1 + i$ divide $a$ y $b$ , entonces el máximo común divisor es $1 + i$ .

Si $b$ se reemplaza por su conjugado $b = 2 + 8 i$ , entonces el máximo común divisor de las tres normas es 34, la norma de $a$ , por lo que se puede suponer que el máximo común divisor es $a$ , es decir, que $a | b$ . De hecho, se tiene $2 + 8 i = (5 + 3 i)(1 + i)$ .

Congruencias y clases de residuos

Dado un entero gaussiano $z 0$ , llamado módulo , dos enteros gaussianos $z 1, z 2$ son congruentes módulo $z 0$ , si su diferencia es un múltiplo de $z 0$ , es decir si existe un entero gaussiano $q$ tal que $z 1 - z 2 = qz 0$ . En otras palabras, dos enteros gaussianos son congruentes módulo $z 0$ , si su diferencia pertenece al ideal generado por $z 0$ . Esto se denota como $z 1 \equiv z 2 (mod z 0)$ .

La congruencia módulo $z 0$ es una relación de equivalencia (también llamada relación de congruencia ), que define una partición de los números enteros gaussianos en clases de equivalencia , llamadas aquí clases de congruencia o clases de residuo . El conjunto de las clases de residuo se denota habitualmente como $Z [i]/ z 0 Z [i]$ , o $Z [i]/ ⟨ z 0 ⟩$ , o simplemente $Z [i]/ z 0$ .

La clase de residuo de un entero gaussiano $a$ es el conjunto

{\bar {a}}:=\left\{z\in \mathbf {Z} [i]\mid z\equiv a{\pmod {z_{0}}}\right\}

de todos los números enteros gaussianos que son congruentes con $a$ . De ello se deduce que $a = b$ si y solo si $a \equiv b (mod z 0)$ .

La suma y la multiplicación son compatibles con las congruencias. Esto significa que $a 1 \equiv b 1 (mod z 0)$ y $a 2 \equiv b 2 (mod z 0)$ implican $a 1 + a 2 \equiv b 1 + b 2 (mod z 0)$ y $a 1 a 2 \equiv b 1 b 2 (mod z 0) . Esto define$ operaciones bien definidas (que son independientes de la elección de representantes) sobre las clases de residuos:

{\bar {a}}+{\bar {b}}:={\overline {a+b}}\quad {\text{y}}\quad {\bar {a}}\cdot {\bar {b}}:={\overline {ab}}.

Con estas operaciones, las clases de residuos forman un anillo conmutativo , el anillo cociente de los enteros gaussianos por el ideal generado por $z 0$ , que también se llama tradicionalmente anillo de clases de residuos módulo $z 0$ (para más detalles, véase Anillo cociente ).

Ejemplos

Existen exactamente dos clases de residuos para el módulo $1 + i$ , a saber $0 = {0, \pm2, \pm4,\dots,\pm1 \pm i, \pm3 \pm i,\dots}$ (todos múltiplos de $1 + i$ ), y $1 = {\pm1, \pm3, \pm5,\dots, \pm i, \pm2 \pm i,\dots}$ , que forman un patrón de tablero de ajedrez en el plano complejo. Estas dos clases forman así un anillo con dos elementos, que es, de hecho, un cuerpo , el único (salvo un isomorfismo) cuerpo con dos elementos, y puede así identificarse con los números enteros módulo 2 . Estas dos clases pueden considerarse como una generalización de la partición de los números enteros en números enteros pares e impares. Así, se puede hablar de números enteros gaussianos pares e impares (Gauss dividió a su vez los números enteros gaussianos pares en pares , que son divisibles por 2, y semi-pares ).
Para el módulo 2 hay cuatro clases de residuos, a saber $0, 1, i, 1 + i$ . Estas forman un anillo con cuatro elementos, en el que $x = - x$ para cada $x$ . Por lo tanto, este anillo no es isomorfo con el anillo de números enteros módulo 4, otro anillo con cuatro elementos. Se tiene $1 + i 2 = 0$ , y por lo tanto este anillo no es el cuerpo finito con cuatro elementos, ni el producto directo de dos copias del anillo de números enteros módulo 2.
Para el módulo $2 + 2i = (i - 1) 3$ hay ocho clases de residuos, a saber, $0, \pm1, \pm i, 1 \pm i, 2$ , de las cuales cuatro contienen solo números enteros gaussianos pares y cuatro contienen solo números enteros gaussianos impares.

Descripción de clases de residuos

Las 13 clases de residuos con sus residuos mínimos (puntos azules) en el cuadrado $Q 00$ (fondo verde claro) para el módulo $z 0 = 3 + 2 i$ . Una clase de residuo con $z = 2 - 4 i \equiv - i (mod z 0)$ está resaltada con puntos amarillos/naranjas.

Dado un módulo $z 0$ , todos los elementos de una clase de residuo tienen el mismo residuo para la división euclidiana por $z 0$ , siempre que se utilice la división con cociente y residuo únicos, que se describe anteriormente. Por lo tanto, enumerar las clases de residuo es equivalente a enumerar los residuos posibles. Esto se puede hacer geométricamente de la siguiente manera.

En el plano complejo , se puede considerar una cuadrícula , cuyos cuadrados están delimitados por las dos líneas

{\begin{aligned}V_{s}&=\left\{\left.z_{0}\left(s-{\tfrac {1}{2}}+ix\right)\right\vert x\in \mathbf {R} \right\}\quad {\text{and}}\\H_{t}&=\left\{\left.z_{0}\left(x+i\left(t-{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\right\vert x\in \mathbf {R} \right\},\end{aligned}}

con números enteros $s$ y $t$ (líneas azules en la figura). Estas dividen el plano en cuadrados semiabiertos (donde $m$ y $n$ son números enteros)

Q_{mn}=\left\{(s+it)z_{0}\left\vert s\in \left[m-{\tfrac {1}{2}},m+{\tfrac {1}{2}}\right),t\in \left[n-{\tfrac {1}{2}},n+{\tfrac {1}{2}}\right)\right.\right\}.

Los intervalos semiabiertos que se dan en la definición de $Q mn$ se han elegido de manera que cada número complejo pertenezca exactamente a un cuadrado; es decir, los cuadrados $Q mn$ forman una partición del plano complejo. Se tiene

Q_{mn}=(m+in)z_{0}+Q_{00}=\left\{(m+in)z_{0}+z\mid z\in Q_{00}\right\}.

Esto implica que cada entero gaussiano es congruente módulo $z 0$ con un entero gaussiano único en $Q 00$ (el cuadrado verde en la figura), que es su residuo para la división por $z 0$ . En otras palabras, cada clase de residuo contiene exactamente un elemento en $Q 00$ .

Los enteros gaussianos en $Q 00$ (o en su límite ) a veces se denominan residuos mínimos porque su norma no es mayor que la norma de cualquier otro entero gaussiano en la misma clase de residuo (Gauss los llamó residuos absolutamente más pequeños ).

De esto se puede deducir por consideraciones geométricas que el número de clases de residuos módulo un entero gaussiano $z 0 = a + bi$ es igual a su norma $N (z 0) = a 2 + b 2$ (véase más abajo una prueba; de manera similar, para los enteros, el número de clases de residuos módulo $n$ es su valor absoluto $| n |$ ).

Prueba

La relación $Q mn = (m + in) z 0 + Q 00$ significa que todos $los Q mn$ se obtienen a partir de $Q 00$ al traducirlo por un entero gaussiano. Esto implica que todos $los Q mn$ tienen la misma área $N = N (z 0)$ , y contienen la misma cantidad $n g$ de enteros gaussianos.

Generalmente, el número de puntos de la cuadrícula (aquí los enteros gaussianos) en un cuadrado arbitrario con el área $A$ es $A + Θ (\sqrt A)$ (ver Big theta para la notación). Si uno considera un cuadrado grande que consiste en $k \times k$ cuadrados $Q mn$ , entonces contiene $k 2 N + O (k \sqrt N)$ puntos de la cuadrícula. De ello se deduce que $k 2 n g = k 2 N + Θ (k \sqrt N)$ , y por lo tanto $n g = N + Θ (⁠ \sqrtN / a ⁠)$ , después de una división por $k 2$ . Tomando el límite cuando $k$ tiende al infinito se obtiene $n g = N = N (z 0)$ .

Campos de clase de residuos

El anillo de clase de residuo módulo un entero gaussiano $z 0$ es un cuerpo si y sólo si es un primo gaussiano. $z_{0}$

Si $z 0$ es un primo descompuesto o el primo ramificado $1 + i$ (es decir, si su norma $N (z 0)$ es un número primo, que es 2 o un primo congruente con 1 módulo 4), entonces el cuerpo de la clase residuo tiene un número primo de elementos (es decir, $N (z 0)$ ). Por lo tanto, es isomorfo al cuerpo de los números enteros módulo $N (z 0)$ .

Si, por otra parte, $z 0$ es un primo inerte (es decir, $N (z 0) = p 2$ es el cuadrado de un número primo, que es congruente con 3 módulo 4), entonces el cuerpo de la clase residuo tiene $p 2$ elementos, y es una extensión de grado 2 (única, hasta un isomorfismo) del cuerpo primo con $p$ elementos (los enteros módulo $p$ ).

Grupo de clases de residuos primitivos y función totiente de Euler

Muchos teoremas (y sus demostraciones) para módulos de números enteros pueden ser transferidos directamente a módulos de números enteros gaussianos, si uno reemplaza el valor absoluto del módulo por la norma. Esto es válido especialmente para el grupo de clases de residuos primitivos (también llamado grupo multiplicativo de números enteros módulo $n$ ) y la función totiente de Euler . El grupo de clases de residuos primitivos de un módulo $z$ se define como el subconjunto de sus clases de residuos, que contiene todas las clases de residuos $a$ que son coprimos con $z$ , es decir $(a, z) = 1$ . Obviamente, este sistema construye un grupo multiplicativo . El número de sus elementos se denotará por $ϕ (z)$ (de manera análoga a la función totiente de Euler $φ (n)$ para números enteros $n$ ).

Para los primos gaussianos se sigue inmediatamente que $ϕ (p) = | p | 2 - 1$ y para números enteros gaussianos compuestos arbitrarios

z=i^{k}\prod _{m}{p_{m}}^{\nu _{m}}

La fórmula del producto de Euler se puede derivar como

\phi (z)=\prod _{m\,(\nu _{m}>0)}{\bigl |}{p_{m}}^{\nu _{m}}{\bigr |}^{2}\left(1-{\frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}\right)=|z|^{2}\prod _{p_{m}|z}\left(1-{\frac {1}{|p_{m}|{}^{2}}}\right)

donde el producto se construye sobre todos los divisores primos $p m$ de $z$ (con $ν m > 0$ ). También se puede transferir directamente el importante teorema de Euler :

Para todo

a

con

(a, z) = 1

, se cumple que

a ϕ (z) \equiv 1 (mod z)

Antecedentes históricos

El anillo de los números enteros gaussianos fue introducido por Carl Friedrich Gauss en su segunda monografía sobre reciprocidad cuártica (1832). ^[6] El teorema de reciprocidad cuadrática (que había logrado demostrar por primera vez en 1796) relaciona la solubilidad de la congruencia $x 2 \equiv q (mod p)$ con la de $x 2 \equiv p (mod q)$ . De manera similar, la reciprocidad cúbica relaciona la solubilidad de $x 3 \equiv q (mod p)$ con la de $x 3 \equiv p (mod q)$ , y la reciprocidad bicuadrática (o cuártica) es una relación entre $x 4 \equiv q (mod p)$ y $x 4 \equiv p (mod q)$ . Gauss descubrió que la ley de reciprocidad bicuadrática y sus suplementos se enunciaban y demostraban más fácilmente como enunciados sobre "números complejos enteros" (es decir, los enteros gaussianos) que como enunciados sobre números enteros ordinarios (es decir, los enteros).

En una nota a pie de página señala que los números enteros de Eisenstein son el dominio natural para enunciar y probar resultados sobre reciprocidad cúbica e indica que extensiones similares de los números enteros son los dominios apropiados para estudiar leyes de reciprocidad superiores.

Este artículo no sólo presentó los números enteros gaussianos y demostró que son un dominio de factorización único, sino que también introdujo los términos norma, unidad, primario y asociado, que ahora son estándar en la teoría de números algebraicos.

Problemas sin resolver

La distribución de los pequeños primos gaussianos en el plano complejo

La mayoría de los problemas no resueltos están relacionados con la distribución de primos gaussianos en el plano.

El problema del círculo de Gauss no se ocupa de los números enteros gaussianos en sí, sino que busca el número de puntos de la red dentro de un círculo de un radio dado centrado en el origen. Esto es equivalente a determinar el número de números enteros gaussianos con una norma menor que un valor dado.

También existen conjeturas y problemas no resueltos sobre los números primos gaussianos. Dos de ellos son:

Los ejes real e imaginario tienen el conjunto infinito de primos gaussianos 3, 7, 11, 19, ... y sus asociados. ¿Existen otras líneas que tengan infinitos primos gaussianos sobre ellas? En particular, ¿existen infinitos primos gaussianos de la forma $1 + ki$ ? ^[7]
¿Es posible caminar hasta el infinito utilizando los números primos gaussianos como peldaños y dando pasos de longitud uniformemente acotada? Esto se conoce como el problema del foso gaussiano ; fue planteado en 1962 por Basil Gordon y sigue sin resolverse. ^[8]^[9]

Véase también

Número entero algebraico
Campo ciclotómico
Número entero de Eisenstein
El primo de Eisenstein
Cuaternión de Hurwitz
Demostraciones del teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados
Pruebas de reciprocidad cuadrática
Entero cuadrático
La división de ideales primos en extensiones de Galois describe la estructura de los ideales primos en los números enteros gaussianos.
Tabla de factorizaciones de números enteros gaussianos

Notas

^ de Fraleigh (1976, pág. 286)
^ Fraleigh (1976, pág. 289)
^ Fraleigh (1976, pág. 288)
^ Fraleigh (1976, pág. 287)
^ Gauss (1831, pág. 546)
^ Kleiner (1998)
^ Ribenboim, Cap.III.4.D Cap. 6.II, Cap. 6.IV (Conjeturas E y F de Hardy y Littlewood)
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Referencias

Gauss, CF (1831), "Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda.", Comm. Soc. Reg. Ciencia. Gotinga , 7 : 89-148; reimpreso en Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, págs. 93-148. Una traducción al alemán de este artículo está disponible en línea en ″H. Maser (ed.): Arithmetische Untersuchungen über höhere Arithmetik de Carl Friedrich Gauss. Springer, Berlín 1889, págs. 534″.
Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2.ª ed.), Lectura: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
Kleiner, Israel (1998). "De los números a los anillos: la historia temprana de la teoría de anillos". Matemáticas elementales. 53 (1): 18–35. doi : 10.1007/s000170050029 . Zbl 0908.16001.
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Enlaces externos

Texto del compendio de la OMI sobre extensiones cuadráticas y números enteros gaussianos en la resolución de problemas
Keith Conrad, Los enteros gaussianos.