Función completamente multiplicativa

función aritmética

En teoría de números , las funciones de números enteros positivos que respetan productos son importantes y se denominan funciones completamente multiplicativas o funciones totalmente multiplicativas . También es importante una condición más débil, que respete únicamente los productos de números coprimos , y dichas funciones se denominan funciones multiplicativas . Fuera de la teoría de números, el término "función multiplicativa" a menudo se considera sinónimo de "función completamente multiplicativa" como se define en este artículo.

Definición

Una función completamente multiplicativa (o función totalmente multiplicativa) es una función aritmética (es decir, una función cuyo dominio son los números naturales ), tal que f (1) = 1 y f ( ab )= f ( a ) f ( b ) es válido para todos los números enteros positivos a y b . ^[1]

En notación lógica: y . ${\displaystyle f(1)=1}$ ${\displaystyle \forall a,b\in {\text{domain}}(f),f(ab)=f(a)(b)}$

Sin el requisito de que f (1) = 1, todavía se podría tener f (1) = 0, pero entonces f ( a ) = 0 para todos los enteros positivos a , por lo que esta no es una restricción muy fuerte. Si no se arregló , se puede ver que ambos y son posibilidades para el valor de de la siguiente manera: ${\displaystyle f(1)=1}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(1)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(1)=f(1\cdot 1)&\iff f(1)=f(1)f(1)\\&\iff f(1)=f(1)^{2}\\&\iff f(1)^{2}-f(1)=0\\&\iff f(1)\left(f(1)-1\right)=0\\&\iff f(1)=0\lor f(1)=1.\end{aligned}}}$$

La definición anterior se puede reformular usando el lenguaje del álgebra: una función completamente multiplicativa es un homomorfismo del monoide (es decir, los números enteros positivos multiplicados) a algún otro monoide. ${\displaystyle (\mathbb {Z} ^{+},\cdot )}$

Ejemplos

El ejemplo más sencillo de una función completamente multiplicativa es un monomio con coeficiente principal 1: para cualquier entero positivo particular n , defina f ( a ) = a ⁿ . Entonces f ( bc ) = ( bc ) ⁿ = b ⁿ c ⁿ = f ( b ) f ( c ), y f (1) = 1 ⁿ = 1.

La función de Liouville es un ejemplo no trivial de función completamente multiplicativa como lo son los caracteres de Dirichlet , el símbolo de Jacobi y el símbolo de Legendre .

Propiedades

Una función completamente multiplicativa está completamente determinada por sus valores en los números primos, consecuencia del teorema fundamental de la aritmética . Por lo tanto, si n es un producto de potencias de primos distintos, digamos n = p ^a q ^b ..., entonces f ( n ) = f ( p ) ^a f ( q ) ^b ...

Si bien la convolución de Dirichlet de dos funciones multiplicativas es multiplicativa, la convolución de Dirichlet de dos funciones completamente multiplicativas no necesita ser completamente multiplicativa.

Hay una variedad de afirmaciones sobre una función que equivalen a que sea completamente multiplicativa. Por ejemplo, si una función f es multiplicativa entonces es completamente multiplicativa si y sólo si su inversa de Dirichlet es donde está la función de Möbius . ^[2] ${\displaystyle \mu \cdot f}$ ${\displaystyle \mu }$

Las funciones completamente multiplicativas también satisfacen una ley distributiva. Si f es completamente multiplicativa entonces

${\displaystyle f\cdot (g*h)=(f\cdot g)*(f\cdot h)}$

donde * representa el producto de Dirichlet y representa la multiplicación puntual . ^[3] Una consecuencia de esto es que para cualquier función f completamente multiplicativa se tiene ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle f*f=\tau \cdot f}$

lo cual se puede deducir de lo anterior poniendo ambos , donde está la función constante . Aquí está la función divisoria . ${\displaystyle g=h=1}$ ${\displaystyle 1(n)=1}$ ${\displaystyle \tau }$

Prueba de propiedad distributiva

${\displaystyle {\begin{aligned}f\cdot \left(g*h\right)(n)&=f(n)\cdot \sum _{d|n}g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)=\\&=\sum _{d|n}f(n)\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right))=\\&=\sum _{d|n}(f(d)f\left({\frac {n}{d}}\right))\cdot (g(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)){\text{ (since }}f{\text{ is completely multiplicative) }}=\\&=\sum _{d|n}(f(d)g(d))\cdot (f\left({\frac {n}{d}}\right)h\left({\frac {n}{d}}\right))\\&=(f\cdot g)*(f\cdot h).\end{aligned}}}$

serie dirichlet

La función L de la serie de Dirichlet completamente (o totalmente) multiplicativa satisface ${\displaystyle a(n)}$

${\displaystyle L(s,a)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}=\prod _{p}{\biggl (}1-{\frac {a(p)}{p^{s}}}{\biggr )}^{-1},}$

lo que significa que la suma de todos los números naturales es igual al producto de todos los números primos.

Ver también

• función aritmética
• Función L de Dirichlet
• serie dirichlet
• función multiplicativa

Referencias

1. Apóstol, Tom (1976). Introducción a la teoría analítica de números . Saltador. págs.30. ISBN 0-387-90163-9.
2. Apóstol, pag. 36
3. Apóstol pág. 49