Personaje de Dirichlet

Función aritmética de valor complejo

En la teoría analítica de números y ramas relacionadas de las matemáticas, una función aritmética de valor complejo es un carácter de Dirichlet de módulo (donde es un entero positivo) si para todos los números enteros y : ^[1] ${\displaystyle \chi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

1. ${\displaystyle \chi (ab)=\chi (a)\chi (b);}$es decir, es completamente multiplicativa . ${\displaystyle \chi }$
2. ${\displaystyle \chi (a){\begin{cases}=0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\neq 0&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}}$ (mcd es el máximo común divisor )
3. ${\displaystyle \chi (a+m)=\chi (a)}$; es decir, es periódica con período . ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle m}$

El carácter más simple posible, llamado carácter principal , generalmente denotado como , (ver Notación a continuación) existe para todos los módulos: ^[2] ${\displaystyle \chi _{0}}$

${\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}}$

El matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet —de quien toma el nombre el personaje— introdujo estas funciones en su artículo de 1837 sobre los números primos en progresiones aritméticas . ^{[3] [4]}

Notación

${\displaystyle \phi (n)}$es la función totiente de Euler .

${\displaystyle \zeta _{n}}$es una raíz n-ésima primitiva compleja de la unidad :

${\displaystyle \zeta _{n}^{n}=1,}$pero ${\displaystyle \zeta _{n}\neq 1,\zeta _{n}^{2}\neq 1,...\zeta _{n}^{n-1}\neq 1.}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$es el grupo de unidades mod ${\displaystyle m}$ . Tiene orden ${\displaystyle \phi (m).}$

${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}$es el grupo de personajes de Dirichlet mod . ${\displaystyle m}$

${\displaystyle p,p_{k},}$etc. son números primos .

${\displaystyle (m,n)}$es una abreviatura estándar ^{[5] [6]} para ${\displaystyle \gcd(m,n)}$

${\displaystyle \chi (a),\chi '(a),\chi _{r}(a),}$etc. son caracteres de Dirichlet. (la letra griega minúscula chi significa "carácter")

No existe una notación estándar para los caracteres de Dirichlet que incluya el módulo. En muchos contextos (como en la prueba del teorema de Dirichlet), el módulo es fijo. En otros contextos, como en este artículo, aparecen caracteres con módulos diferentes. Cuando corresponde, este artículo emplea una variación del etiquetado de Conrey (introducido por Brian Conrey y utilizado por la LMFDB).

En este etiquetado, los caracteres para el módulo se indican donde el índice se describe en la sección del grupo de caracteres que aparece a continuación. En este etiquetado, denota un carácter no especificado y denota el carácter principal mod . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \chi _{m,t}(a)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \chi _{m,\_}(a)}$ ${\displaystyle \chi _{m,1}(a)}$ ${\displaystyle m}$

Relación con los personajes del grupo

La palabra " carácter " se utiliza de varias formas en matemáticas. En esta sección se refiere a un homomorfismo de un grupo (escrito multiplicativamente) al grupo multiplicativo del cuerpo de números complejos: ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \eta :G\rightarrow \mathbb {C} ^{\times },\;\;\eta (gh)=\eta (g)\eta (h),\;\;\eta (g^{-1})=\eta (g)^{-1}.}$

El conjunto de caracteres se denota Si el producto de dos caracteres se define por multiplicación puntual, la identidad por el carácter trivial y la inversa por inversión compleja , entonces se convierte en un grupo abeliano. ^[7] ${\displaystyle {\widehat {G}}.}$ ${\displaystyle \eta \theta (a)=\eta (a)\theta (a),}$ ${\displaystyle \eta _{0}(a)=1}$ ${\displaystyle \eta ^{-1}(a)=\eta (a)^{-1}}$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Si es un grupo abeliano finito entonces ^[8] existe un isomorfismo y las relaciones de ortogonalidad: ^[9] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\cong {\widehat {A}}}$

${\displaystyle \sum _{a\in A}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ if }}\eta =\eta _{0}\\0&{\text{ if }}\eta \neq \eta _{0}\end{cases}}}$     y     ${\displaystyle \sum _{\eta \in {\widehat {A}}}\eta (a)={\begin{cases}|A|&{\text{ if }}a=1\\0&{\text{ if }}a\neq 1.\end{cases}}}$

Los elementos del grupo abeliano finito son las clases de residuos donde ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle [a]=\{x:x\equiv a{\pmod {m}}\}}$ ${\displaystyle (a,m)=1.}$

Un carácter de grupo se puede extender a un carácter de Dirichlet definiendo ${\displaystyle \rho :(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C} ^{\times }}$ ${\displaystyle \chi :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \chi (a)={\begin{cases}0&{\text{if }}[a]\not \in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{i.e. }}(a,m)>1\\\rho ([a])&{\text{if }}[a]\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }&{\text{i.e. }}(a,m)=1,\end{cases}}}$

y a la inversa, un mod de personaje de Dirichlet define un personaje de grupo en ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Parafraseando a Davenport ^[10], los caracteres de Dirichlet pueden considerarse un caso particular de caracteres de grupo abeliano. Pero este artículo sigue a Dirichlet al ofrecer una explicación directa y constructiva de ellos. Esto se debe en parte a razones históricas, ya que el trabajo de Dirichlet precedió en varias décadas al desarrollo de la teoría de grupos, y en parte a una razón matemática, a saber, que el grupo en cuestión tiene una estructura simple e interesante que se oscurece si se lo trata como se trata al grupo abeliano general.

Datos elementales

4) Como lo dice la propiedad 2) , se puede cancelar desde ambos lados de : ${\displaystyle \gcd(1,m)=1,}$ ${\displaystyle \chi (1)\neq 0}$ ${\displaystyle \chi (1)\chi (1)=\chi (1\times 1)=\chi (1)}$

${\displaystyle \chi (1)=1.}$^[11]

5) La propiedad 3) es equivalente a

Si   entonces ${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$ ${\displaystyle \chi (a)=\chi (b).}$

6) La propiedad 1) implica que, para cualquier entero positivo ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \chi (a^{n})=\chi (a)^{n}.}$

7) El teorema de Euler establece que si entonces Por lo tanto, ${\displaystyle (a,m)=1}$ ${\displaystyle a^{\phi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}.}$

${\displaystyle \chi (a)^{\phi (m)}=\chi (a^{\phi (m)})=\chi (1)=1.}$

Es decir, los valores distintos de cero de son las raíces -ésimas de la unidad : ${\displaystyle \chi (a)}$ ${\displaystyle \phi (m)}$

${\displaystyle \chi (a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\zeta _{\phi (m)}^{r}&{\text{if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}}$

para algún entero que depende de y . Esto implica que solo hay un número finito de caracteres para un módulo dado. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \chi ,\zeta ,}$ ${\displaystyle a}$

8) Si y son dos caracteres para el mismo módulo, entonces su producto está definido por la multiplicación puntual: ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi '}$ ${\displaystyle \chi \chi ',}$

${\displaystyle \chi \chi '(a)=\chi (a)\chi '(a)}$   ( obviamente satisface 1-3). ^[12] ${\displaystyle \chi \chi '}$

El personaje principal es una identidad:

${\displaystyle \chi \chi _{0}(a)=\chi (a)\chi _{0}(a)={\begin{cases}0\times 0&=\chi (a)&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\\chi (a)\times 1&=\chi (a)&{\text{if }}\gcd(a,m)=1.\end{cases}}}$

9) Sea la inversa de en . Entonces ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle \chi (a)\chi (a^{-1})=\chi (aa^{-1})=\chi (1)=1,}$por lo que se extiende 6) a todos los números enteros. ${\displaystyle \chi (a^{-1})=\chi (a)^{-1},}$

El conjugado complejo de una raíz de la unidad es también su inverso (ver aquí para más detalles), por lo que para ${\displaystyle (a,m)=1}$

${\displaystyle {\overline {\chi }}(a)=\chi (a)^{-1}=\chi (a^{-1}).}$   ( obviamente también satisface 1-3). ${\displaystyle {\overline {\chi }}}$

Así, para todos los números enteros ${\displaystyle a}$

${\displaystyle \chi (a){\overline {\chi }}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,m)>1\\1&{\text{if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}};}$   en otras palabras .  ${\displaystyle \chi {\overline {\chi }}=\chi _{0}}$

10) La multiplicación y la identidad definidas en 8) y la inversión definida en 9) convierten el conjunto de caracteres de Dirichlet para un módulo dado en un grupo abeliano finito .

El grupo de personajes

Hay tres casos diferentes porque los grupos tienen estructuras diferentes dependiendo de si es una potencia de 2, una potencia de un primo impar o el producto de potencias primos. ^[13] ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle m}$

Potencias de primos impares

Si es un número impar es cíclico de orden ; un generador se llama raíz primitiva mod . ^[14] Sea una raíz primitiva y para definir la función (el índice de ) por ${\displaystyle q=p^{k}}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle g_{q}}$ ${\displaystyle (a,q)=1}$ ${\displaystyle \nu _{q}(a)}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle a\equiv g_{q}^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},}$

${\displaystyle 0\leq \nu _{q}<\phi (q).}$

Porque si y sólo si Desde ${\displaystyle (ab,q)=1,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}}$ ${\displaystyle \nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).}$

${\displaystyle \chi (a)=\chi (g_{q}^{\nu _{q}(a)})=\chi (g_{q})^{\nu _{q}(a)},}$   ${\displaystyle \chi }$se determina por su valor en ${\displaystyle g_{q}.}$

Sea una raíz primitiva de la unidad. De la propiedad 7) anterior, los posibles valores de son Estos valores distintos dan lugar a caracteres de Dirichlet mod Para definir como ${\displaystyle \omega _{q}=\zeta _{\phi (q)}}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle \chi (g_{q})}$ ${\displaystyle \omega _{q},\omega _{q}^{2},...\omega _{q}^{\phi (q)}=1.}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle (r,q)=1}$ ${\displaystyle \chi _{q,r}(a)}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}\gcd(a,q)>1\\\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{if }}\gcd(a,q)=1.\end{cases}}}$

Entonces para y todos y ${\displaystyle (rs,q)=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab),}$demostrando que es un personaje y ${\displaystyle \chi _{q,r}}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a),}$lo que da un isomorfismo explícito ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /p^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Ejemplosmetro= 3, 5, 7, 9

2 es una raíz primitiva mod 3. ( ) ${\displaystyle \phi (3)=2}$

${\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {3}},}$

Entonces los valores de son ${\displaystyle \nu _{3}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2\\\hline \nu _{3}(a)&0&1\\\end{array}}}$.

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 3 son

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2\\\hline \chi _{3,1}&1&1\\\chi _{3,2}&1&-1\\\end{array}}}$

2 es una raíz primitiva módulo 5. ( ) ${\displaystyle \phi (5)=4}$

${\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 3,\;2^{4}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {5}},}$

Entonces los valores de son ${\displaystyle \nu _{5}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4\\\hline \nu _{5}(a)&0&1&3&2\\\end{array}}}$.

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 5 son

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4\\\hline \chi _{5,1}&1&1&1&1\\\chi _{5,2}&1&i&-i&-1\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1\\\chi _{5,4}&1&-1&-1&1\\\end{array}}}$

3 es una raíz primitiva mod 7. ( ) ${\displaystyle \phi (7)=6}$

${\displaystyle 3^{1}\equiv 3,\;3^{2}\equiv 2,\;3^{3}\equiv 6,\;3^{4}\equiv 4,\;3^{5}\equiv 5,\;3^{6}\equiv 3^{0}\equiv 1{\pmod {7}},}$

Entonces los valores de son ${\displaystyle \nu _{7}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&3&4&5&6\\\hline \nu _{7}(a)&0&2&1&4&5&3\\\end{array}}}$.

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 7 son ( ) ${\displaystyle \omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&3&4&5&6\\\hline \chi _{7,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{7,2}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{7,3}&1&\omega ^{2}&\omega &-\omega &-\omega ^{2}&-1\\\chi _{7,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{7,5}&1&-\omega &-\omega ^{2}&\omega ^{2}&\omega &-1\\\chi _{7,6}&1&1&-1&1&-1&-1\\\end{array}}}$.

2 es una raíz primitiva mod 9. ( ) ${\displaystyle \phi (9)=6}$

${\displaystyle 2^{1}\equiv 2,\;2^{2}\equiv 4,\;2^{3}\equiv 8,\;2^{4}\equiv 7,\;2^{5}\equiv 5,\;2^{6}\equiv 2^{0}\equiv 1{\pmod {9}},}$

Entonces los valores de son ${\displaystyle \nu _{9}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}a&1&2&4&5&7&8\\\hline \nu _{9}(a)&0&1&2&5&4&3\\\end{array}}}$.

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 9 son ( ) ${\displaystyle \omega =\zeta _{6},\;\;\omega ^{3}=-1}$

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&2&4&5&7&8\\\hline \chi _{9,1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{9,2}&1&\omega &\omega ^{2}&-\omega ^{2}&-\omega &-1\\\chi _{9,4}&1&\omega ^{2}&-\omega &-\omega &\omega ^{2}&1\\\chi _{9,5}&1&-\omega ^{2}&-\omega &\omega &\omega ^{2}&-1\\\chi _{9,7}&1&-\omega &\omega ^{2}&\omega ^{2}&-\omega &1\\\chi _{9,8}&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$.

Potencias de 2

${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\times }}$es el grupo trivial con un elemento. es cíclico de orden 2. Para 8, 16 y potencias superiores de 2, no hay raíz primitiva; las potencias de 5 son las unidades y sus negativos son las unidades ^[15] Por ejemplo ${\displaystyle (\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \equiv 1{\pmod {4}}}$ ${\displaystyle \equiv 3{\pmod {4}}.}$

${\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {8}}}$

${\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 9,\;5^{3}\equiv 13,\;5^{4}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {16}}}$

${\displaystyle 5^{1}\equiv 5,\;5^{2}\equiv 25,\;5^{3}\equiv 29,\;5^{4}\equiv 17,\;5^{5}\equiv 21,\;5^{6}\equiv 9,\;5^{7}\equiv 13,\;5^{8}\equiv 5^{0}\equiv 1{\pmod {32}}.}$

Sea ; entonces es el producto directo de un grupo cíclico de orden 2 (generado por −1) y un grupo cíclico de orden (generado por 5). Para números impares definamos las funciones y por ${\displaystyle q=2^{k},\;\;k\geq 3}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle {\frac {\phi (q)}{2}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \nu _{q}}$

${\displaystyle a\equiv (-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)}{\pmod {q}},}$

${\displaystyle 0\leq \nu _{0}<2,\;\;0\leq \nu _{q}<{\frac {\phi (q)}{2}}.}$

Para impares y si y solo si y Para impares el valor de está determinado por los valores de y ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b,\;\;a\equiv b{\pmod {q}}}$ ${\displaystyle \nu _{0}(a)=\nu _{0}(b)}$ ${\displaystyle \nu _{q}(a)=\nu _{q}(b).}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \chi (a)}$ ${\displaystyle \chi (-1)}$ ${\displaystyle \chi (5).}$

Sea una raíz primitiva de la unidad. Los valores posibles de son Estos valores distintos dan lugar a caracteres de Dirichlet mod Para impares se define por ${\displaystyle \omega _{q}=\zeta _{\frac {\phi (q)}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\phi (q)}{2}}}$ ${\displaystyle \chi ((-1)^{\nu _{0}(a)}5^{\nu _{q}(a)})}$ ${\displaystyle \pm \omega _{q},\pm \omega _{q}^{2},...\pm \omega _{q}^{\frac {\phi (q)}{2}}=\pm 1.}$ ${\displaystyle \phi (q)}$ ${\displaystyle q.}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \chi _{q,r}(a)}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)={\begin{cases}0&{\text{if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\nu _{0}(r)\nu _{0}(a)}\omega _{q}^{\nu _{q}(r)\nu _{q}(a)}&{\text{if }}a{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

Entonces para impar y y todos y ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,r}(b)=\chi _{q,r}(ab)}$demostrando que es un personaje y ${\displaystyle \chi _{q,r}}$

${\displaystyle \chi _{q,r}(a)\chi _{q,s}(a)=\chi _{q,rs}(a)}$demostrando que ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /2^{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Ejemplosmetro= 2, 4, 8, 16

El único personaje mod 2 es el personaje principal . ${\displaystyle \chi _{2,1}}$

−1 es una raíz primitiva módulo 4 ( ) ${\displaystyle \phi (4)=2}$

${\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3\\\hline \nu _{0}(a)&0&1\\\end{array}}}$

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 4 son

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3\\\hline \chi _{4,1}&1&1\\\chi _{4,3}&1&-1\\\end{array}}}$

−1 es y 5 generan las unidades mod 8 ( ) ${\displaystyle \phi (8)=4}$

${\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3&5&7\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1\\\nu _{8}(a)&0&1&1&0\\\end{array}}}$.

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 8 son

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&3&5&7\\\hline \chi _{8,1}&1&1&1&1\\\chi _{8,3}&1&1&-1&-1\\\chi _{8,5}&1&-1&-1&1\\\chi _{8,7}&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$

−1 y 5 generan las unidades mod 16 ( ) ${\displaystyle \phi (16)=8}$

${\displaystyle {\begin{array}{|||}a&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \nu _{0}(a)&0&1&0&1&0&1&0&1\\\nu _{16}(a)&0&3&1&2&2&1&3&0\\\end{array}}}$.

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 16 son

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,5}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{16,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,11}&1&i&i&1&-1&-i&-i&-1\\\chi _{16,13}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$.

Productos de potencias primarias

Sea donde la factorización de en potencias primos. El grupo de unidades mod es isomorfo al producto directo de los grupos mod : ^[16] ${\displaystyle m=p_{1}^{m_{1}}p_{2}^{m_{2}}\cdots p_{k}^{m_{k}}=q_{1}q_{2}\cdots q_{k}}$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /q_{1}\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /q_{2}\mathbb {Z} )^{\times }\times \dots \times (\mathbb {Z} /q_{k}\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Esto significa que 1) existe una correspondencia uno a uno entre y -tuplas donde y 2) la multiplicación mod corresponde a la multiplicación de coordenadas de -tuplas: ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})}$ ${\displaystyle a_{i}\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle ab\equiv c{\pmod {m}}}$corresponde a

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{k})\times (b_{1},b_{2},\dots ,b_{k})=(c_{1},c_{2},\dots ,c_{k})}$dónde ${\displaystyle c_{i}\equiv a_{i}b_{i}{\pmod {q_{i}}}.}$

El teorema del resto chino (TRC) implica que son simplemente ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.}$

Existen subgrupos tales que ^[17] ${\displaystyle G_{i}<(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

${\displaystyle G_{i}\cong (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }}$y

${\displaystyle G_{i}\equiv {\begin{cases}(\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }&\mod q_{i}\\\{1\}&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}}$

Entonces , y cada corresponde a una -tupla donde y Cada puede factorizarse de forma única como ^{[18] [19]} ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\cong G_{1}\times G_{2}\times ...\times G_{k}}$ ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...a_{k})}$ ${\displaystyle a_{i}\in G_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}\equiv a{\pmod {q_{i}}}.}$ ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle a=a_{1}a_{2}...a_{k}.}$

Si es un mod de personaje en el subgrupo, debe ser idéntico a algún mod. Entonces ${\displaystyle \chi _{m,\_}}$ ${\displaystyle m,}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle \chi _{q_{i},\_}}$ ${\displaystyle q_{i}}$

${\displaystyle \chi _{m,\_}(a)=\chi _{m,\_}(a_{1}a_{2}...)=\chi _{m,\_}(a_{1})\chi _{m,\_}(a_{2})...=\chi _{q_{1},\_}(a_{1})\chi _{a_{2},\_}(a_{2})...,}$

mostrando que cada mod de personaje es el producto del mod de personaje . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q_{i}}$

Para definir ^[20] ${\displaystyle (t,m)=1}$

${\displaystyle \chi _{m,t}=\chi _{q_{1},t}\chi _{q_{2},t}...}$

Entonces para y todos y ^[21] ${\displaystyle (rs,m)=1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,r}(b)=\chi _{m,r}(ab),}$demostrando que es un personaje y ${\displaystyle \chi _{m,r}}$

${\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a),}$mostrando un isomorfismo ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Ejemplosmetro= 15, 24, 40

${\displaystyle (\mathbb {Z} /15\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.}$

La factorización de los caracteres mod 15 es

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{5,1}&\chi _{5,2}&\chi _{5,3}&\chi _{5,4}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{15,1}&\chi _{15,7}&\chi _{15,13}&\chi _{15,4}\\\chi _{3,2}&\chi _{15,11}&\chi _{15,2}&\chi _{15,8}&\chi _{15,14}\\\end{array}}}$

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 15 son

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&4&7&8&11&13&14\\\hline \chi _{15,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{15,2}&1&-i&-1&i&i&-1&-i&1\\\chi _{15,4}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{15,7}&1&i&-1&i&-i&1&-i&-1\\\chi _{15,8}&1&i&-1&-i&-i&-1&i&1\\\chi _{15,11}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1\\\chi _{15,13}&1&-i&-1&-i&i&1&i&-1\\\chi _{15,14}&1&1&1&-1&1&-1&-1&-1\\\end{array}}}$.

${\displaystyle (\mathbb {Z} /24\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} )^{\times }.}$La factorización de los caracteres mod 24 es

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{3,1}&\chi _{24,1}&\chi _{24,19}&\chi _{24,13}&\chi _{24,7}\\\chi _{3,2}&\chi _{24,17}&\chi _{24,11}&\chi _{24,5}&\chi _{24,23}\\\end{array}}}$

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 24 son

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&5&7&11&13&17&19&23\\\hline \chi _{24,1}&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{24,5}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\chi _{24,7}&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1\\\chi _{24,11}&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1\\\chi _{24,13}&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1\\\chi _{24,17}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\chi _{24,19}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{24,23}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\end{array}}}$.

${\displaystyle (\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }\cong (\mathbb {Z} /8\mathbb {Z} )^{\times }\times (\mathbb {Z} /5\mathbb {Z} )^{\times }.}$La factorización de los caracteres mod 40 es

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&\chi _{8,1}&\chi _{8,3}&\chi _{8,5}&\chi _{8,7}\\\hline \chi _{5,1}&\chi _{40,1}&\chi _{40,11}&\chi _{40,21}&\chi _{40,31}\\\chi _{5,2}&\chi _{40,17}&\chi _{40,27}&\chi _{40,37}&\chi _{40,7}\\\chi _{5,3}&\chi _{40,33}&\chi _{40,3}&\chi _{40,13}&\chi _{40,23}\\\chi _{5,4}&\chi _{40,9}&\chi _{40,19}&\chi _{40,29}&\chi _{40,39}\\\end{array}}}$

Los valores distintos de cero de los caracteres mod 40 son

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&7&9&11&13&17&19&21&23&27&29&31&33&37&39\\\hline \chi _{40,1}&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\\chi _{40,3}&1&i&i&-1&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1\\\chi _{40,7}&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1&1&i&-i&-1&-1&-i&i&1\\\chi _{40,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{40,11}&1&1&-1&1&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1\\\chi _{40,13}&1&-i&-i&-1&-1&-i&-i&1&-1&i&i&1&1&i&i&-1\\\chi _{40,17}&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1&1&-i&i&-1\\\chi _{40,19}&1&-1&1&1&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1\\\chi _{40,21}&1&-1&1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&-1&-1&1&1&-1&1\\\chi _{40,23}&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1&1&-i&i&-1&-1&i&-i&1\\\chi _{40,27}&1&-i&-i&-1&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1\\\chi _{40,29}&1&1&-1&1&-1&1&-1&-1&-1&-1&1&-1&1&-1&1&1\\\chi _{40,31}&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1&1&-1&-1&1&-1&1&1&-1\\\chi _{40,33}&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1&1&i&-i&-1\\\chi _{40,37}&1&i&i&-1&-1&i&i&1&-1&-i&-i&1&1&-i&-i&-1\\\chi _{40,39}&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1&1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\\end{array}}}$.

Resumen

Sea , la factorización de y supongamos ${\displaystyle m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\cdots =q_{1}q_{2}\cdots }$ ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dots }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (rs,m)=1.}$

Existen caracteres de Dirichlet mod Se denotan por donde es equivalente a La identidad es un isomorfismo ^[22] ${\displaystyle \phi (m)}$ ${\displaystyle m.}$ ${\displaystyle \chi _{m,r},}$ ${\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{m,s}}$ ${\displaystyle r\equiv s{\pmod {m}}.}$ ${\displaystyle \chi _{m,r}(a)\chi _{m,s}(a)=\chi _{m,rs}(a)\;}$ ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$

Cada mod de personaje tiene una factorización única como el producto de los mods de personajes por las potencias primos dividiendo : ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...}$

Si el producto es un caracter donde se da por y ${\displaystyle m=m_{1}m_{2},(m_{1},m_{2})=1}$ ${\displaystyle \chi _{m_{1},r}\chi _{m_{2},s}}$ ${\displaystyle \chi _{m,t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t\equiv r{\pmod {m_{1}}}}$ ${\displaystyle t\equiv s{\pmod {m_{2}}}.}$

Además, ^{[23] [24]} ${\displaystyle \chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)}$

Ortogonalidad

Las dos relaciones de ortogonalidad son ^[25]

${\displaystyle \sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;\chi =\chi _{0}\\0&{\text{ if }}\;\chi \neq \chi _{0}\end{cases}}}$     y     ${\displaystyle \sum _{\chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}\chi (a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;a\equiv 1{\pmod {m}}\\0&{\text{ if }}\;a\not \equiv 1{\pmod {m}}.\end{cases}}}$

Las relaciones se pueden escribir en forma simétrica

${\displaystyle \sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;r\equiv 1\\0&{\text{ if }}\;r\not \equiv 1\end{cases}}}$     y     ${\displaystyle \sum _{r\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi _{m,r}(a)={\begin{cases}\phi (m)&{\text{ if }}\;a\equiv 1\\0&{\text{ if }}\;a\not \equiv 1.\end{cases}}}$

La primera relación es fácil de demostrar: Si hay sumandos distintos de cero, cada uno igual a 1. Si hay ^[26] algún  Entonces ${\displaystyle \chi =\chi _{0}}$ ${\displaystyle \phi (m)}$ ${\displaystyle \chi \neq \chi _{0}}$ ${\displaystyle a^{*},\;(a^{*},m)=1,\;\chi (a^{*})\neq 1.}$

${\displaystyle \chi (a^{*})\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*})\chi (a)=\sum _{a}\chi (a^{*}a)=\sum _{a}\chi (a),}$^[27]   lo que implica

${\displaystyle (\chi (a^{*})-1)\sum _{a}\chi (a)=0.}$   Dividiendo por el primer factor se obtiene QED. La identidad para muestra que las relaciones son equivalentes entre sí. ${\displaystyle \sum _{a}\chi (a)=0,}$ ${\displaystyle \chi _{m,r}(s)=\chi _{m,s}(r)}$ ${\displaystyle (rs,m)=1}$

La segunda relación se puede demostrar directamente de la misma manera, pero requiere un lema ^[28]

Dado que hay una ${\displaystyle a\not \equiv 1{\pmod {m}},\;(a,m)=1,}$ ${\displaystyle \chi ^{*},\;\chi ^{*}(a)\neq 1.}$

La segunda relación tiene un corolario importante: si se define la función ${\displaystyle (a,m)=1,}$

${\displaystyle f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }{\bar {\chi }}(a)\chi (n).}$   Entonces

${\displaystyle f_{a}(n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1})\chi (n)={\frac {1}{\phi (m)}}\sum _{\chi }\chi (a^{-1}n)={\begin{cases}1,&n\equiv a{\pmod {m}}\\0,&n\not \equiv a{\pmod {m}},\end{cases}}}$

Esta es la función indicadora de la clase de residuo . Es básica en la demostración del teorema de Dirichlet. ^{[29] [30]} ${\displaystyle f_{a}=\mathbb {1} _{[a]}}$ ${\displaystyle [a]=\{x:\;x\equiv a{\pmod {m}}\}}$

Clasificación de personajes

Conductor; Caracteres primitivos e inducidos

Cualquier personaje mod de una potencia principal es también un personaje mod de cada potencia mayor. Por ejemplo, mod 16 ^[31]

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&3&5&7&9&11&13&15\\\hline \chi _{16,3}&1&-i&-i&1&-1&i&i&-1\\\chi _{16,9}&1&-1&-1&1&1&-1&-1&1\\\chi _{16,15}&1&-1&1&-1&1&-1&1&-1\\\end{array}}}$

${\displaystyle \chi _{16,3}}$tiene periodo 16, pero tiene periodo 8 y tiene periodo 4:   y   ${\displaystyle \chi _{16,9}}$ ${\displaystyle \chi _{16,15}}$ ${\displaystyle \chi _{16,9}=\chi _{8,5}}$ ${\displaystyle \chi _{16,15}=\chi _{8,7}=\chi _{4,3}.}$

Decimos que un carácter de módulo tiene un cuasiperiodo de si para todo , coprimo con que satisfaga mod . ^[32] Por ejemplo, , el único carácter de Dirichlet de módulo , tiene un cuasiperiodo de , pero no un periodo de (aunque tiene un periodo de ). El entero positivo más pequeño para el cual es cuasiperiódico es el conductor de . ^[33] Así, por ejemplo, tiene un conductor de . ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \chi (m)=\chi (n)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m\equiv n}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \chi _{2,1}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi _{2,1}}$ ${\displaystyle 1}$

El conductor de es 16, el conductor de es 8 y el de y es 4. Si el módulo y el conductor son iguales el carácter es primitivo , en caso contrario es imprimitivo . Un carácter imprimitivo es inducido por el carácter para el módulo más pequeño: se induce a partir de y y se inducen a partir de . ${\displaystyle \chi _{16,3}}$ ${\displaystyle \chi _{16,9}}$ ${\displaystyle \chi _{16,15}}$ ${\displaystyle \chi _{8,7}}$ ${\displaystyle \chi _{16,9}}$ ${\displaystyle \chi _{8,5}}$ ${\displaystyle \chi _{16,15}}$ ${\displaystyle \chi _{8,7}}$ ${\displaystyle \chi _{4,3}}$

Un fenómeno relacionado puede ocurrir con un carácter modificado por el producto de números primos; sus valores distintos de cero pueden ser periódicos con un período más pequeño.

Por ejemplo, mod 15,

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,8}&1&i&0&-1&0&0&-i&-i&0&0&-1&0&i&1&0\\\chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\end{array}}}$.

Los valores distintos de cero tienen período 15, pero los de tienen período 3 y los de tienen período 5. Esto es más fácil de ver al yuxtaponerlos con caracteres módulo 3 y 5: ${\displaystyle \chi _{15,8}}$ ${\displaystyle \chi _{15,11}}$ ${\displaystyle \chi _{15,13}}$

${\displaystyle {\begin{array}{|||}&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15\\\hline \chi _{15,11}&1&-1&0&1&0&0&1&-1&0&0&-1&0&1&-1&0\\\chi _{3,2}&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0&1&-1&0\\\hline \chi _{15,13}&1&-i&0&-1&0&0&-i&i&0&0&1&0&i&-1&0\\\chi _{5,3}&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0&1&-i&i&-1&0\\\end{array}}}$.

Si un mod de personaje se define como ${\displaystyle m=qr,\;\;(q,r)=1,\;\;q>1,\;\;r>1}$

${\displaystyle \chi _{m,\_}(a)={\begin{cases}0&{\text{ if }}\gcd(a,m)>1\\\chi _{q,\_}(a)&{\text{ if }}\gcd(a,m)=1\end{cases}}}$, o equivalentemente como ${\displaystyle \chi _{m,\_}=\chi _{q,\_}\chi _{r,1},}$

Sus valores distintos de cero están determinados por el mod del carácter y tienen período . ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

El período más pequeño de los valores distintos de cero es el conductor del carácter. Por ejemplo, el conductor de es 15, el conductor de es 3 y el de es 5. ${\displaystyle \chi _{15,8}}$ ${\displaystyle \chi _{15,11}}$ ${\displaystyle \chi _{15,13}}$

Al igual que en el caso de potencias primarias, si el conductor es igual al módulo, el carácter es primitivo , en caso contrario es imprimitivo . Si es imprimitivo, se induce a partir del carácter con el módulo más pequeño. Por ejemplo, se induce a partir de y se induce a partir de ${\displaystyle \chi _{15,11}}$ ${\displaystyle \chi _{3,2}}$ ${\displaystyle \chi _{15,13}}$ ${\displaystyle \chi _{5,3}}$

El personaje principal no es primitivo. ^[34]

El carácter es primitivo si y sólo si cada uno de los factores es primitivo. ^[35] ${\displaystyle \chi _{m,r}=\chi _{q_{1},r}\chi _{q_{2},r}...}$

Los caracteres primitivos a menudo simplifican (o hacen posibles) fórmulas en las teorías de funciones L ^[36] y formas modulares .

Paridad

${\displaystyle \chi (a)}$es par si y es impar si ${\displaystyle \chi (-1)=1}$ ${\displaystyle \chi (-1)=-1.}$

Esta distinción aparece en la ecuación funcional de la función L de Dirichlet .

Orden

El orden de un carácter es su orden como elemento del grupo , es decir, el entero positivo más pequeño tal que Debido al isomorfismo, el orden de es el mismo que el orden de en El carácter principal tiene orden 1; otros caracteres reales tienen orden 2 y los caracteres imaginarios tienen orden 3 o mayor. Por el teorema de Lagrange, el orden de un carácter divide el orden de cuyo orden es ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \chi ^{n}=\chi _{0}.}$ ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}\cong (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle \chi _{m,r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }.}$ ${\displaystyle {\widehat {(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}}}$ ${\displaystyle \phi (m)}$

Personajes reales

${\displaystyle \chi (a)}$es real o cuadrático si todos sus valores son reales (deben ser ); de lo contrario, es complejo o imaginario. ${\displaystyle 0,\;\pm 1}$

${\displaystyle \chi }$es real si y sólo si ; es real si y sólo si ; en particular, es real y no principal. ^[37] ${\displaystyle \chi ^{2}=\chi _{0}}$ ${\displaystyle \chi _{m,k}}$ ${\displaystyle k^{2}\equiv 1{\pmod {m}}}$ ${\displaystyle \chi _{m,-1}}$

La prueba original de Dirichlet de que (que sólo era válida para módulos primos) tomó dos formas diferentes dependiendo de si era real o no. Su prueba posterior, válida para todos los módulos, se basó en su fórmula de número de clase . ^{[38] [39]} ${\displaystyle L(1,\chi )\neq 0}$ ${\displaystyle \chi }$

Los caracteres reales son símbolos de Kronecker ; ^[40] por ejemplo, el carácter principal puede escribirse ^[41] . ${\displaystyle \chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)}$

Los personajes reales en los ejemplos son:

Principal

Si el personaje principal es ^[42] ${\displaystyle m=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...,\;p_{1}<p_{2}<\;...}$ ${\displaystyle \chi _{m,1}=\left({\frac {p_{1}^{2}p_{2}^{2}...}{\bullet }}\right).}$

${\displaystyle \chi _{16,1}=\chi _{8,1}=\chi _{4,1}=\chi _{2,1}=\left({\frac {4}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{9,1}=\chi _{3,1}=\left({\frac {9}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{5,1}=\left({\frac {25}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{7,1}=\left({\frac {49}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,1}=\left({\frac {225}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,1}=\left({\frac {36}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,1}=\left({\frac {100}{\bullet }}\right)}$  

Primitivo

Si el módulo es el valor absoluto de un discriminante fundamental hay un carácter primitivo real (hay dos si el módulo es múltiplo de 8); de lo contrario, si hay caracteres primitivos ^[35], son imaginarios. ^[43]

${\displaystyle \chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{5,4}=\left({\frac {5}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{7,6}=\left({\frac {-7}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,14}=\left({\frac {-15}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,5}=\left({\frac {-24}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,11}=\left({\frac {24}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,19}=\left({\frac {-40}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,29}=\left({\frac {40}{\bullet }}\right)}$

Imprimitivo

${\displaystyle \chi _{8,7}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{9,8}=\chi _{3,2}=\left({\frac {-3}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,4}=\chi _{5,4}\chi _{3,1}=\left({\frac {45}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{15,11}=\chi _{3,2}\chi _{5,1}=\left({\frac {-75}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{16,7}=\chi _{8,3}=\left({\frac {-8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{16,9}=\chi _{8,5}=\left({\frac {8}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{16,15}=\chi _{4,3}=\left({\frac {-4}{\bullet }}\right)}$  

${\displaystyle \chi _{24,7}=\chi _{8,7}\chi _{3,1}=\chi _{4,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-36}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,13}=\chi _{8,5}\chi _{3,1}=\left({\frac {72}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,17}=\chi _{3,2}\chi _{8,1}=\left({\frac {-12}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,19}=\chi _{8,3}\chi _{3,1}=\left({\frac {-72}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{24,23}=\chi _{8,7}\chi _{3,2}=\chi _{4,3}\chi _{3,2}=\left({\frac {12}{\bullet }}\right)}$  

${\displaystyle \chi _{40,9}=\chi _{5,4}\chi _{8,1}=\left({\frac {20}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,11}=\chi _{8,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-200}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,21}=\chi _{8,5}\chi _{5,1}=\left({\frac {200}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,31}=\chi _{8,7}\chi _{5,1}=\chi _{4,3}\chi _{5,1}=\left({\frac {-100}{\bullet }}\right)}$   ${\displaystyle \chi _{40,39}=\chi _{8,7}\chi _{5,4}=\chi _{4,3}\chi _{5,4}=\left({\frac {-20}{\bullet }}\right)}$  

Aplicaciones

Funciones L

La serie L de Dirichlet para un personaje es ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

Esta serie sólo converge para ; puede continuarse analíticamente hasta una función meromórfica ${\displaystyle {\mathfrak {R}}s>1}$

Dirichlet introdujo la función junto con los caracteres en su artículo de 1837. ${\displaystyle L}$

Formas y funciones modulares

Los caracteres de Dirichlet aparecen en varios lugares de la teoría de formas y funciones modulares. Un ejemplo típico es ^[44]

Dejar y dejar ser primitivos. ${\displaystyle \chi \in {\widehat {(\mathbb {Z} /M\mathbb {Z} )^{\times }}}}$ ${\displaystyle \chi _{1}\in {\widehat {(\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} )^{\times }}}}$

Si

${\displaystyle f(z)=\sum a_{n}q^{n}\in M_{k}(M,\chi )}$^[45]

definir

${\displaystyle f_{\chi _{1}}(z)=\sum \chi _{1}(n)a_{n}z^{n}}$, ^[46]  

Entonces

${\displaystyle f_{\chi _{1}}(z)\in M_{k}(MN^{2},\chi \chi _{1}^{2})}$Si es una forma de cúspide también lo es ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{\chi _{1}}.}$

Consulte la serie theta de un carácter de Dirichlet para ver otro ejemplo.

Suma de Gauss

La suma de Gauss de un carácter de Dirichlet módulo N es

${\displaystyle G(\chi )=\sum _{a=1}^{N}\chi (a)e^{\frac {2\pi ia}{N}}.}$

Aparece en la ecuación funcional de la función L de Dirichlet .

suma de jacobi

Si y son caracteres de Dirichlet mod a primo, su suma de Jacobi es ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle J(\chi ,\psi )=\sum _{a=2}^{p-1}\chi (a)\psi (1-a).}$

Las sumas de Jacobi se pueden factorizar en productos de sumas de Gauss.

Suma de Kloosterman

Si es un mod de carácter de Dirichlet y la suma de Kloosterman se define como ^[47] ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \zeta =e^{\frac {2\pi i}{q}}}$ ${\displaystyle K(a,b,\chi )}$

${\displaystyle K(a,b,\chi )=\sum _{r\in (\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} )^{\times }}\chi (r)\zeta ^{ar+{\frac {b}{r}}}.}$

Si es una suma de Gauss. ${\displaystyle b=0}$

Condiciones suficientes

No es necesario establecer las propiedades definitorias 1) – 3) para demostrar que una función es un carácter de Dirichlet.

Del libro de Davenport

Si tal que ${\displaystyle \mathrm {X} :\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }$

1)   ${\displaystyle \mathrm {X} (ab)=\mathrm {X} (a)\mathrm {X} (b),}$

2)   , ${\displaystyle \mathrm {X} (a+m)=\mathrm {X} (a)}$

3) Si entonces , pero ${\displaystyle \gcd(a,m)>1}$ ${\displaystyle \mathrm {X} (a)=0}$

4)   no siempre es 0, ${\displaystyle \mathrm {X} (a)}$

entonces es uno de los personajes mod ^[48] ${\displaystyle \mathrm {X} (a)}$ ${\displaystyle \phi (m)}$ ${\displaystyle m}$

La condición de Sárközy

Un carácter de Dirichlet es una función completamente multiplicativa que satisface una relación de recurrencia lineal : es decir, si ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle a_{1}f(n+b_{1})+\cdots +a_{k}f(n+b_{k})=0}$

para todos los enteros positivos , donde no son todos ceros y son distintos, entonces es un carácter de Dirichlet. ^[49] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$ ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{k}}$ ${\displaystyle f}$

La condición de Chudakov

Un carácter de Dirichlet es una función completamente multiplicativa que satisface las tres propiedades siguientes: a) solo toma un número finito de valores; b) se desvanece solo en un número finito de primos; c) hay un para el cual el resto ${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \left|\sum _{n\leq x}f(n)-\alpha x\right|}$

está uniformemente acotado, ya que . Esta definición equivalente de caracteres de Dirichlet fue conjeturada por Chudakov ^[50] en 1956, y demostrada en 2017 por Klurman y Mangerel. ^[51] ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

Véase también

• Suma de caracteres
• Grupo multiplicativo de números enteros módulo n
• Raíz primitiva módulo n
• Carácter multiplicativo

Notas

1. Esta es la definición estándar; por ejemplo, Davenport, pág. 27; Landau, pág. 109; Ireland and Rosen, pág. 253
2. Nótese el caso especial del módulo 1: el carácter único módulo 1 es la constante 1; todos los demás caracteres son 0 en 0
3. Davenport pág. 1
4. Una traducción al inglés se encuentra en Enlaces externos
5. Utilizado en Davenport, Landau, Irlanda y Rosen
6. es equivalente a ${\displaystyle (rs,m)=1}$ ${\displaystyle \gcd(r,m)=\gcd(s,m)=1}$
7. Ver Carácter multiplicativo
8. Irlanda y Rosen pág. 253-254
9. Véase Grupo de caracteres#Ortogonalidad de caracteres
10. Davenport pág. 27
11. Estas propiedades se derivan en todas las introducciones al tema, por ejemplo, Davenport, pág. 27, Landau, pág. 109.
12. En general, el producto de un mod de personaje y un mod de personaje es un mod de personaje. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \operatorname {lcm} (m,n)}$
13. Excepto por el uso de la etiqueta Conrie modificada, esta sección sigue a Davenport, págs. 1-3, 27-30.
14. Hay un mod raíz primitivo que es un mod raíz primitivo y todas las potencias superiores de . Véase, por ejemplo, Landau p. 106 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle p}$
15. Landau págs. 107-108
16. Ver grupo de unidades para más detalles
17. Para construir el para cada uso se utiliza el CRT para encontrar dónde ${\displaystyle G_{i},}$ ${\displaystyle a\in (\mathbb {Z} /q_{i}\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle a_{i}\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}$

    ${\displaystyle a_{i}\equiv {\begin{cases}a&\mod q_{i}\\1&\mod q_{j},j\neq i.\end{cases}}}$

18. Supongamos que corresponde a . Por construcción corresponde a , a etc. cuyo producto por coordenadas es ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...)}$ ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle (a_{1},1,1,...)}$ ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle (1,a_{2},1,...)}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...).}$
19. Por ejemplo, sea Entonces y La factorización de los elementos de es ${\displaystyle m=40,q_{1}=8,q_{2}=5.}$ ${\displaystyle G_{1}=\{1,11,21,31\}}$ ${\displaystyle G_{2}=\{1,9,17,33\}.}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /40\mathbb {Z} )^{\times }}$

    ${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}&1&9&17&33\\\hline 1&1&9&17&33\\11&11&19&27&3\\21&21&29&37&13\\31&31&39&7&23\\\end{array}}}$

20. Ver etiquetado de Conrey.
21. Porque estas fórmulas son verdaderas para cada factor.
22. Esto es cierto para todos los grupos abelianos finitos: ; Véase Ireland & Rosen, págs. 253-254 ${\displaystyle A\cong {\hat {A}}}$
23. porque las fórmulas para potencias mod primos son simétricas en y y la fórmula para productos conserva esta simetría. Véase Davenport, p. 29. ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$
24. Esto es lo mismo que decir que la n-ésima columna y la n-ésima fila en las tablas de valores distintos de cero son la misma.
25. Ver #Relación con los caracteres del grupo arriba.
26. por la definición de ${\displaystyle \chi _{0}}$
27. porque multiplicar cada elemento de un grupo por un elemento constante simplemente permuta los elementos. Véase Grupo (matemáticas)
28. Davenport p. 30 (paráfrasis) Para demostrar [la segunda relación] uno tiene que usar ideas que hemos usado en la construcción [como en este artículo o Landau pp. 109-114], o apelar al teorema de la base para grupos abelianos [como en Ireland & Rosen pp. 253-254]
29. Davenport, caps. 1 y 4; Landau, pág. 114
30. Nótese que si es cualquier función ; consulte la transformada de Fourier en grupos finitos#Transformada de Fourier para grupos abelianos finitos ${\displaystyle g:(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }\rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle g(n)=\sum _{a\in (\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )^{\times }}g(a)f_{a}(n)}$
31. Esta sección sigue a Davenport, págs. 35-36,
32. Platt, Dave. "Caracteres de Dirichlet Def. 11.10" (PDF) . Consultado el 5 de abril de 2024 .
33. "Conductor de un personaje de Dirichlet (reseñado)". LMFDB . Consultado el 5 de abril de 2024 .
34. Davenport lo clasifica como ni primitivo ni imprimitivo; el LMFDB lo induce a partir de ${\displaystyle \chi _{1,1}.}$
35. Tenga en cuenta que si es dos veces un número impar, todos los caracteres mod son imprimitivos porque ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=2r}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \chi _{m,\_}=\chi _{r,\_}\chi _{2,1}}$
36. Por ejemplo, la ecuación funcional de sólo es válida para primitivos . Véase Davenport, p. 85. ${\displaystyle L(s,\chi )}$ ${\displaystyle \chi }$
37. De hecho, para el módulo primo es el símbolo de Legendre : Bosquejo de la prueba: es par (impar) si a es un residuo cuadrático (no residuo) ${\displaystyle p\;\;\chi _{p,-1}}$ ${\displaystyle \chi _{p,-1}(a)=\left({\frac {a}{p}}\right).\;}$ ${\displaystyle \nu _{p}(-1)={\frac {p-1}{2}},\;\;\omega ^{\nu _{p}(-1)}=-1,\;\;\nu _{p}(a)}$
38. Davenport, caps. 1, 4.
39. La prueba de Ireland y Rosen, válida para todos los módulos, también tiene estos dos casos. pp. 259 y siguientes.
40. Davenport pág. 40
41. La notación es una forma más corta de escribir ${\displaystyle \chi _{m,1}=\left({\frac {m^{2}}{\bullet }}\right)}$ ${\displaystyle \chi _{m,1}(a)=\left({\frac {m^{2}}{a}}\right)}$
42. El producto de números primos asegura que sea cero si ; los cuadrados aseguran que su único valor distinto de cero sea 1. ${\displaystyle \gcd(m,\bullet )>1}$
43. Davenport págs. 38-40
44. Koblittz, prop. 17b pág. 127
45. significa 1) donde y y 2) donde y Véase Koblitz Cap. III. ${\displaystyle f(z)\in M_{k}(M,\chi )}$ ${\displaystyle f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=f(z)}$ ${\displaystyle ad-bc=1}$ ${\displaystyle a\equiv d\equiv 1,\;\;c\equiv 0{\pmod {M}}.}$ ${\displaystyle f({\frac {az+b}{cz+d}})(cz+d)^{-k}=\chi (d)f(z)}$ ${\displaystyle ad-bc=1}$ ${\displaystyle c\equiv 0{\pmod {M}}.}$
46. el giro de por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \chi _{1}}$
47. Definición de LMFDB de suma de Kloosterman
48. Davenport pág. 30
49. Sarkozy
50. Chudakov
51. Klurman

Referencias

• Chudakov, NG "Teoría de los caracteres de los semigrupos numéricos". J. Indian Math. Soc . 20 : 11–15.
• Davenport, Harold (1967). Teoría de números multiplicativos . Lecciones de matemáticas avanzadas. Vol. 1. Chicago: Markham. Zbl  0159.06303.
• Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), Una introducción clásica a la teoría de números moderna (segunda edición) , Nueva York: Springer , ISBN 0-387-97329-X
• Klurman, Oleksiy; Mangerel, Alexander P. (2017). "Teoremas de rigidez para funciones multiplicativas". Math. Ann . 372 (1): 651–697. arXiv : 1707.07817 . Bibcode :2017arXiv170707817K. doi :10.1007/s00208-018-1724-6. S2CID  : 119597384.
• Koblitz, Neal (1993). Introducción a las curvas elípticas y formas modulares . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 97 (2.ª edición revisada). Springer-Verlag . ISBN. 0-387-97966-2.
• Landau, Edmund (1966), Teoría elemental de números , Nueva York: Chelsea
• Sarkozy, Andras. "Sobre funciones aritméticas multiplicativas que satisfacen una recursión lineal". Studia Sci. Math. Hung . 13 (1–2): 79–104.

Enlaces externos

• Traducción al inglés del artículo de Dirichlet de 1837 sobre los números primos en las progresiones aritméticas
• LMFDB enumera 30.397.486 caracteres de Dirichlet de módulo hasta 10.000 y sus funciones L