En matemáticas , una red de Niemeier es una de las 24 redes unimodulares positivas definidas pares de rango 24, que fueron clasificadas por Hans-Volker Niemeier (1973). Venkov (1978) dio una prueba simplificada de la clasificación. Witt (1941) menciona que encontró más de 10 de estas redes, pero no da más detalles. Un ejemplo de una red de Niemeier es la red de Leech encontrada en 1967.
Las redes de Niemeier suelen etiquetarse mediante el diagrama de Dynkin de su red de raíces . Cada red de Niemeier se puede construir a partir de su red de raíces (excepto la red de Leech, que no tiene raíces) mediante la unión de elementos conocidos como vectores de pegamento, como se detalla en §16.1 de Conway & Sloane (1998). Los diagramas de Dynkin asociados con una red de Niemeier tienen rango 0 o 24, y todos sus componentes tienen el mismo número de Coxeter . (El número de Coxeter, al menos en estos casos, es el número de raíces dividido por la dimensión). Hay exactamente 24 diagramas de Dynkin con estas propiedades, y resulta que hay una red de Niemeier única para cada uno de estos diagramas de Dynkin.
La lista completa de redes de Niemeier se muestra en la siguiente tabla. En la tabla,
Si L es una red unimodular impar de dimensión 8 n y M su subred de vectores pares, entonces M está contenido en exactamente 3 redes unimodulares, una de las cuales es L y las otras dos son pares. (Si L tiene un vector de norma 1 entonces las dos redes pares son isomorfas .) El grafo de vecindad de Kneser en 8 n dimensiones tiene un punto por cada red par, y una línea que une dos puntos por cada red impar de 8 n dimensiones sin vectores de norma 1, donde los vértices de cada línea son las dos redes pares asociadas a la red impar. Puede haber varias líneas entre el mismo par de vértices, y puede haber líneas desde un vértice hasta sí mismo. Kneser demostró que este grafo siempre está conexo. En 8 dimensiones tiene un punto y ninguna línea, en 16 dimensiones tiene dos puntos unidos por una línea, y en 24 dimensiones es el siguiente grafo:
Cada punto representa una de las 24 redes de Niemeier y las líneas que las unen representan las 24 redes unimodulares impares dimensionales sin vectores de norma 1. El número de la izquierda es el número de Coxeter de la red de Niemeier. El número de índice rojo en el nodo indica la fila de la tabla asociada anterior.
En 32 dimensiones, el gráfico de vecindad tiene más de mil millones de vértices.
Algunas de las redes de Niemeier están relacionadas con grupos simples esporádicos . La red de Leech está influenciada por una doble cobertura del grupo de Conway , y las redes A 1 24 y A 2 12 están influenciadas por los grupos de Mathieu M 24 y M 12 .
Las redes de Niemeier, distintas de la red de Leech, corresponden a los agujeros profundos de la red de Leech. Esto implica que los diagramas de Dynkin afines de las redes de Niemeier se pueden ver dentro de la red de Leech, cuando dos puntos de la red de Leech están unidos por ninguna línea cuando tienen distancia , por 1 línea si tienen distancia , y por una línea doble si tienen distancia .
Las redes de Niemeier también corresponden a las 24 órbitas de los vectores de norma cero primitivos w de la red lorentziana unimodular par II 25,1 , donde la red de Niemeier correspondiente a w es w ⊥ / w .
