En matemáticas, la red de Coxeter-Todd K 12 , descubierta por Coxeter y Todd (1953), es una red integral par de 12 dimensiones de discriminante 3 6 sin vectores de norma 2. Es la subred de la red de Leech fijada por un cierto automorfismo de orden 3, y es análoga a la red de Barnes-Wall . El grupo de automorfismos de la red de Coxeter-Todd tiene orden 2 10 ·3 7 ·5·7=78382080, y hay 756 vectores en esta red de norma 4 (los vectores no nulos más cortos en esta red).
La red de Coxeter-Todd se puede convertir en una red dual de seis dimensiones sobre los números enteros de Eisenstein . El grupo de automorfismos de esta red compleja tiene índice 2 en el grupo de automorfismos completo de la red de Coxeter-Todd y es un grupo de reflexión complejo (número 34 en la lista) con estructura 6.PSU 4 ( F 3 ).2, llamado grupo Mitchell .
El género de la red Coxeter-Todd fue descrito por (Scharlau & Venkov 1995) y tiene 10 clases de isometría: todas ellas, excepto la red Coxeter-Todd, tienen un sistema de raíces de rango máximo 12.
Basándonos en la página web de Nebe podemos definir K 12 utilizando los siguientes 6 vectores en coordenadas complejas de 6 dimensiones. ω es un número complejo de orden 3, es decir, ω 3 = 1.
(1,0,0,0,0,0), (0,1,0,0,0,0), (0,0,1,0,0,0),
½(1,ω,ω,1,0,0), ½(ω,1,ω,0,1,0), ½(ω,ω,1,0,0,1),
Sumando los vectores cuyo producto escalar es -½ y multiplicando por ω obtenemos todos los vectores de la red. Tenemos 15 combinaciones de dos ceros por 16 signos posibles, lo que da 240 vectores; más 6 vectores unitarios por 2 signos, da 240+12=252 vectores. Si lo multiplicamos por 3 mediante la multiplicación por ω obtenemos 756 vectores unitarios en la red K 12 .
La red de Coxeter-Todd se describe en detalle en (Conway y Sloane 1999, sección 4.9) y (Conway y Sloane 1983).