Celosía de pared de Barnes

La proyección de los 4320 vectores más cortos de la red de Barnes Wall

En matemáticas, la red de Barnes-Wall Λ ₁₆ , descubierta por Eric Stephen Barnes y GE (Tim) Wall (Barnes & Wall (1959)), es la red integral positiva definida de 16 dimensiones con discriminante 2 ⁸ sin vectores de norma-2. Es la subred de la red de Leech fijada por un cierto automorfismo de orden 2, y es análoga a la red de Coxeter-Todd .

El grupo de automorfismos de la red de Barnes-Wall tiene orden 89181388800 = 2 ²¹  3 ⁵  5 ²  7 y tiene estructura 2 ¹⁺⁸  PSO ₈ ⁺ ( F ₂ ). Hay 4320 vectores de norma 4 en la red de Barnes-Wall (los vectores no nulos más cortos en esta red).

El género de la red Barnes-Wall fue descrito por Scharlau y Venkov (1994) y contiene 24 redes; todos los elementos excepto la red Barnes-Wall tienen un sistema de raíces de rango máximo 16.

La red de Barnes-Wall se describe en detalle en (Conway y Sloane 1999, sección 4.10).

La proyección de los 4320 puntos reticulares sin líneas

Si bien a Λ ₁₆ se le suele denominar red de Barnes-Wall, su artículo original, de hecho, construye una familia de redes de dimensión creciente n=2 ^k para cualquier entero k, y distancia mínima normalizada creciente, es decir, n ^1/4 . Esto se debe comparar con la distancia mínima normalizada de 1 para la red trivial , y un límite superior de dado por el teorema de Minkowski aplicado a bolas euclidianas. Curiosamente, esta familia viene con un algoritmo de decodificación de tiempo polinomial de Micciancio y Nicolesi (2008). ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle 2\cdot \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)^{1/n}{\big /}{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\frac {2n}{\pi e}}}+o({\sqrt {n}})}$

Matriz generadora

La matriz generadora para la red de Barnes-Wall está dada por la siguiente matriz: ${\displaystyle \Lambda _{16}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\begin{array}{cccccccccccccccc}1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\0&2&0&0&0&0&0&2&0&0&0&2&0&2&0&0\\0&0&2&0&0&0&0&2&0&0&0&2&0&0&2&0\\0&0&0&2&0&0&0&2&0&0&0&2&0&0&0&2\\0&0&0&0&2&0&0&2&0&0&0&0&0&2&2&0\\0&0&0&0&0&2&0&2&0&0&0&0&0&2&0&2\\0&0&0&0&0&0&2&2&0&0&0&0&0&0&2&2\\0&0&0&0&0&0&0&4&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&2&0&0&2&0&2&2&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&2&0&2&0&2&0&2\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&2&2&0&0&2&2\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&4&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&2&2&2&2\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&4&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&4\end{array}}\right)}$

La red generada por la siguiente matriz es isomorfa a la anterior,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\begin{array}{cccccccccccccccc}1&0&0&0&0&1&0&1&0&0&1&1&0&1&1&1\\0&1&0&0&0&1&1&1&1&0&1&0&1&1&0&0\\0&0&1&0&0&0&1&1&1&1&0&1&0&1&1&0\\0&0&0&1&0&1&0&0&1&1&0&1&1&1&0&1\\0&0&0&0&1&0&1&0&0&1&1&0&1&1&1&1\\0&0&0&0&0&2&0&0&0&0&0&0&0&0&0&2\\0&0&0&0&0&0&2&0&0&0&0&0&0&0&0&2\\0&0&0&0&0&0&0&2&0&0&0&0&0&0&0&2\\0&0&0&0&0&0&0&0&2&0&0&0&0&0&0&2\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&2&0&0&0&0&0&2\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&2&0&0&0&0&2\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&2&0&0&0&2\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&2&0&0&2\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&2&0&2\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&2&2\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&4\\\end{array}}\right)}$

Función theta reticular

La función theta de red para la red de Barnes Wall se conoce como ${\displaystyle \Lambda _{16}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{\Lambda _{\text{Barnes-Wall }}}(z)&=1/2\left\{\theta _{2}\left(q\right)^{16}+\theta _{3}\left(q\right)^{16}+\theta _{4}\left(q^{2}\right)^{16}+30\theta _{2}\left(q\right)^{8}\theta _{3}\left(q\right)^{8}\right\}\\&=1+4320q^{2}+61440q^{3}+\cdots \end{aligned}}}$

donde las thetas son funciones theta de Jacobi .

${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(m+1/2)^{2}}\\&\theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{m^{2}}\\&\theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-q)^{m^{2}}\end{aligned}}}$

Nótese que las funciones theta de red para , son ${\displaystyle D_{4}}$ ${\displaystyle E_{8}}$

${\displaystyle \Theta _{D_{4}}(q)=2E_{2}\left(q^{2}\right)-E_{2}(q)=1+24q+24q^{2}+96q^{3}+24q^{4}+144q^{5}+\ldots }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{E_{8}}(z)&={\frac {1}{2}}\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)\\&=\theta _{2}\left(q^{2}\right)^{8}+14\theta _{2}\left(q^{2}\right)^{4}\theta _{3}\left(q^{2}\right)^{4}+\theta _{3}\left(q^{2}\right)^{8}\\&=1+240q^{2}+2160q^{4}+6720q^{6}+17520q^{8}+\cdots \end{aligned}}}$

dónde ${\displaystyle E_{2}(q)=1-24\sum _{n}\sigma _{1}(n)q^{n}}$

Referencias

• Barnes, ES; Wall, GE (1959), "Algunas formas extremas definidas en términos de grupos abelianos", J. Austral. Math. Soc. , 1 (1): 47–63, doi : 10.1017/S1446788700025064 , MR  0106893
• Conway, John Horton ; Sloane, Neil JA (1999), Empaquetamientos, celosías y grupos de esferas , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 290 (3.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5, Sr.  0920369
• Scharlau, Rudolf; Venkov, Boris B. (1994), "El género de la red de Barnes-Wall", Comment. Math. Helv. , 69 (2): 322–333, CiteSeerX  10.1.1.29.9284 , doi :10.1007/BF02564490, MR  1282375
• Micciancio, Daniele; Nicolesi, Antonio (2008), "Decodificadores de distancia acotada eficientes para redes de Barnes-Wall", Simposio Internacional IEEE sobre Teoría de la Información de 2008 , págs. 2484–2488, doi :10.1109/ISIT.2008.4595438, ISBN 978-1-4244-2256-2

Enlaces externos

• Celosía de Barnes–Wall en el catálogo de celosías de Sloane.