constante de hermita

Constante relacionada con el empaquetamiento estrecho de esferas.

En matemáticas , la constante de Hermite , que lleva el nombre de Charles Hermite , determina la longitud que puede tener un elemento más corto de una red en el espacio euclidiano .

La constante γ _n para números enteros n > 0 se define de la siguiente manera. Para una red L en el espacio euclidiano R ⁿ con covolumen unitario, es decir vol( R ⁿ / L ) = 1, sea λ ₁ ( L ) la longitud mínima de un elemento distinto de cero de L . Entonces √ γ _n es el máximo de λ ₁ ( L ) sobre todas esas redes L .

La raíz cuadrada en la definición de la constante de Hermite es una cuestión de convención histórica.

Alternativamente, la constante de Hermite γ _n se puede definir como el cuadrado de la sístole máxima de un toro plano de n dimensiones de volumen unitario.

Ejemplo

La constante de Hermite se conoce en las dimensiones 1 a 8 y 24.

Para n = 2, se tiene γ ₂ = ⁠2/√ 3⁠ . Este valor lo alcanza la red hexagonal de los números enteros de Eisenstein . ^[1]

Estimados

Se sabe que ^[2]

${\displaystyle \gamma _{n}\leq \left({\frac {4}{3}}\right)^{\frac {n-1}{2}}.}$

Una estimación más sólida debida a Hans Frederick Blichfeldt ^[3] es ^[4]

${\displaystyle \gamma _{n}\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)\Gamma \left(2+{\frac {n}{2}}\right)^{\frac {2}{n}},}$

¿Dónde está la función gamma ? ${\displaystyle \Gamma (x)}$

Ver también

• Desigualdad del toro de Loewner

Referencias

1. Cassels (1971) pág. 36
2. Kitaoka (1993) pág. 36
3. Blichfeldt, HF (1929). "El valor mínimo de formas cuadráticas y el empaquetado más cercano de esferas". Matemáticas. Ana . 101 : 605–608. doi :10.1007/bf01454863. JFM  55.0721.01. S2CID  123648492.
4. Kitaoka (1993) pág. 42

• Cassels, JWS (1997). Introducción a la geometría de los números. Clásicos de las Matemáticas (Reimpresión de 1971 ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-61788-4.
• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Aritmética de formas cuadráticas . Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 106. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-40475-4. Zbl  0785.11021.
• Schmidt, Wolfgang M. (1996). Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1467 (2ª ed.). Springer-Verlag . pag. 9.ISBN​ 3-540-54058-X. Zbl  0754.11020.