Celosía E8

Red en un espacio de ocho dimensiones con propiedades especiales

En matemáticas , la red E ₈ es una red especial en R ⁸ . Se puede caracterizar como la única red positiva definida, par y unimodular de rango 8. El nombre deriva del hecho de que es la red de raíces del sistema de raíces E 8 .

La norma ^[1] de la red E _{8 (dividida por 2) es una} forma cuadrática unimodular positiva definida, par, en 8 variables, y a la inversa, dicha forma cuadrática se puede utilizar para construir una red unimodular positiva definida, par, de rango 8. La existencia de dicha forma fue demostrada por primera vez por HJS Smith en 1867, ^[2] y la primera construcción explícita de esta forma cuadrática fue dada por Korkin y Zolotarev en 1873. ^[3] La red E ₈ también se llama red de Gosset en honor a Thorold Gosset , quien fue uno de los primeros en estudiar la geometría de la red misma alrededor de 1900. ^[4]

Puntos de red

La red E ₈ es un subgrupo discreto de R ⁸ de rango completo (es decir, abarca todo R ⁸ ). Puede darse explícitamente por el conjunto de puntos Γ ₈ ⊂ R ⁸ tales que

• todas las coordenadas son números enteros o todas las coordenadas son semienteros (no se permite una mezcla de números enteros y semienteros), y
• La suma de las ocho coordenadas es un entero par .

En símbolos,

${\displaystyle \Gamma _{8}=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{\textstyle \sum _{i}}x_{i}\equiv 0\;({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

No es difícil comprobar que la suma de dos puntos reticulares es otro punto reticular, de modo que Γ ₈ es de hecho un subgrupo.

Una descripción alternativa de la red E ₈ que a veces es conveniente es el conjunto de todos los puntos en Γ′ ₈ ⊂ R ⁸ tales que

• todas las coordenadas son números enteros y la suma de las coordenadas es par, o
• todas las coordenadas son semienteros y la suma de las coordenadas es impar.

En símbolos,

${\displaystyle \Gamma _{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}\cup (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 2x_{1}\equiv 2x_{2}\equiv 2x_{3}\equiv 2x_{4}\equiv 2x_{5}\equiv 2x_{6}\equiv 2x_{7}\equiv 2x_{8}\;({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

${\displaystyle \Gamma _{8}'=\left\{(x_{i})\in \mathbb {Z} ^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 0({\mbox{mod }}2)\right\}\cup \left\{(x_{i})\in (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{8}:{{\textstyle \sum _{i}}x_{i}}\equiv 1({\mbox{mod }}2)\right\}.}$

Las redes Γ ₈ y Γ′ ₈ son isomorfas y se puede pasar de una a otra cambiando los signos de cualquier número impar de coordenadas semienteras. La red Γ ₈ a veces se denomina sistema de coordenadas par para E _8, mientras que la red Γ′ ₈ se denomina sistema de coordenadas impar . A menos que especifiquemos lo contrario, trabajaremos en el sistema de coordenadas par.

Propiedades

La red E _{8 Γ 8} se puede caracterizar como la única red en R ⁸ con las siguientes propiedades:

• Es integral , lo que significa que todos los productos escalares de los elementos de la red son números enteros.
• Es unimodular , es decir, es integral, y puede generarse por las columnas de una matriz de 8×8 con determinante ±1 (es decir, el volumen del paralelepípedo fundamental de la red es 1). De manera equivalente, Γ ₈ es autodual , es decir, es igual a su red dual .
• Es par , lo que significa que la norma ^[1] de cualquier vector reticular es par.

Incluso las redes unimodulares sólo pueden darse en dimensiones divisibles por 8. En la dimensión 16 hay dos redes de este tipo: Γ ₈ ⊕ Γ ₈ y Γ ₁₆ (construidas de manera análoga a Γ ₈ . En la dimensión 24 hay 24 redes de este tipo, llamadas redes de Niemeier . La más importante de ellas es la red Leech .

Una posible base para Γ ₈ está dada por las columnas de la matriz ( triangular superior )

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&1/2\\0&1&-1&0&0&0&0&1/2\\0&0&1&-1&0&0&0&1/2\\0&0&0&1&-1&0&0&1/2\\0&0&0&0&1&-1&0&1/2\\0&0&0&0&0&1&-1&1/2\\0&0&0&0&0&0&1&1/2\\0&0&0&0&0&0&0&1/2\end{matrix}}\right]}$

Γ ₈ es entonces el intervalo integral de estos vectores. Todas las demás bases posibles se obtienen a partir de ésta por multiplicación por la derecha de los elementos de GL(8, Z ).

Los vectores no nulos más cortos de Γ ₈ tienen una longitud igual a √2. Hay 240 vectores de este tipo:

• Todos los semienteros (solo pueden ser ±1/2):
  • Todo positivo o todo negativo: 2
  • Cuatro positivos, cuatro negativos: (8*7*6*5)/(4*3*2*1)=70
  • Dos de uno, seis del otro: 2*(8*7)/(2*1) = 56
• Todos los números enteros (solo pueden ser 0, ±1):
  • Dos ±1, seis ceros: 4*(8*7)/(2*1)=112

Estos forman un sistema de raíces de tipo E 8 . La red Γ ₈ es igual a la red de raíces E ₈ , es decir, está dada por la amplitud integral de las 240 raíces. Cualquier elección de 8 raíces simples da una base para Γ ₈ .

Grupo de simetría

El grupo de automorfismo (o grupo de simetría ) de una red en R ⁿ se define como el subgrupo del grupo ortogonal O( n ) que preserva la red. El grupo de simetría de la red E ₈ es el grupo de Weyl / Coxeter de tipo E ₈ . Este es el grupo generado por las reflexiones en los hiperplanos ortogonales a las 240 raíces de la red. Su orden está dado por

${\displaystyle |W(\mathrm {E} _{8})|=696729600=4!\cdot 6!\cdot 8!}$

El grupo de Weyl E ₈ contiene un subgrupo de orden 128·8! que consiste en todas las permutaciones de las coordenadas y todos los cambios de signo pares. Este subgrupo es el grupo de Weyl de tipo D _{8 . El grupo de Weyl E 8} completo se genera mediante este subgrupo y la matriz diagonal de bloques H ₄ ⊕ H ₄ donde H ₄ es la matriz de Hadamard

${\displaystyle H_{4}={\tfrac {1}{2}}\left[{\begin{smallmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\\\end{smallmatrix}}\right].}$

Geometría

Ver panal 5 21

Los puntos de la red E ₈ son los vértices del panal 5 21 , que está compuesto por facetas regulares 8-símplex y 8-ortoplex . Este panal fue estudiado por primera vez por Gosset, quien lo llamó una figura semirregular 9-ic ^[4] (Gosset consideraba los panales en n dimensiones como politopos degenerados n +1). En la notación de Coxeter , ^[5] el panal de Gosset se denota por 5 ₂₁ y tiene el diagrama de Coxeter-Dynkin :

Este panal es altamente regular en el sentido de que su grupo de simetría (el grupo de Weyl afín) actúa transitivamente sobre las k -caras para k ≤ 6. Todas las k -caras para k ≤ 7 son símplices. ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$

La figura del vértice del panal de Gosset es el politopo semirregular E 8 (4 ₂₁ en la notación de Coxeter) dado por la envoltura convexa de las 240 raíces de la red E ₈ .

Cada punto de la red E ₈ está rodeado por 2160 8-ortoplexes y 17280 8-símplices. Los 2160 agujeros profundos cerca del origen son exactamente las mitades de los puntos de la red de norma 4. Los 17520 puntos de la red de norma 8 se dividen en dos clases (dos órbitas bajo la acción del grupo de automorfismos E ₈ ): 240 son el doble de los puntos de la red de norma 2, mientras que 17280 son el triple de los agujeros poco profundos que rodean el origen.

Un agujero en una red es un punto en el espacio euclidiano ambiental cuya distancia al punto más cercano de la red es un máximo local . (En una red definida como un panal uniforme , estos puntos corresponden a los centros de los volúmenes de las facetas ). Un agujero profundo es aquel cuya distancia a la red es un máximo global. Hay dos tipos de agujeros en la red E ₈ :

• Los agujeros profundos como el punto (1,0,0,0,0,0,0,0) están a una distancia de 1 de los puntos reticulares más cercanos. Hay 16 puntos reticulares a esta distancia que forman los vértices de un ortoplex 8 centrado en el agujero (la celda de Delaunay del agujero).
• Los agujeros poco profundos, como el punto, se encuentran a una distancia de los puntos reticulares más cercanos. Hay 9 puntos reticulares a esta distancia que forman los vértices de un 8-símplex centrado en el agujero. ${\displaystyle ({\tfrac {5}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}})}$ ${\displaystyle {\tfrac {2{\sqrt {2}}}{3}}}$

Empaquetaduras de esferas y números de besos

La red E ₈ es notable porque proporciona soluciones óptimas al problema del empaquetamiento de esferas y al problema del número de beso en 8 dimensiones.

El problema del empaquetamiento de esferas plantea la pregunta de cuál es la forma más densa de empaquetar esferas n -dimensionales (sólidas) de un radio fijo en R ⁿ de modo que no haya dos esferas superpuestas. Los empaquetamientos reticulares son tipos especiales de empaquetamientos de esferas en los que las esferas están centradas en los puntos de un retículo. Al colocar esferas de radio 1/ √ 2 en los puntos del retículo E ₈ se obtiene un empaquetamiento reticular en R ⁸ con una densidad de

${\displaystyle {\frac {\pi ^{4}}{2^{4}4!}}\cong 0.25367.}$

Un artículo de 1935 de Hans Frederick Blichfeldt demostró que esta es la densidad máxima que se puede lograr con un empaquetamiento reticular en 8 dimensiones. ^[6] Además, la red E ₈ es la única red (salvo isometrías y reescalamientos) con esta densidad. ^[7] Maryna Viazovska demostró en 2016 que esta densidad es, de hecho, óptima incluso entre empaquetamientos irregulares. ^{[8] [9]}

El problema del número de besos plantea la pregunta de cuál es el número máximo de esferas de un radio fijo que pueden tocar (o "besar") una esfera central del mismo radio. En el empaquetamiento reticular E ₈ mencionado anteriormente, cualquier esfera dada toca 240 esferas vecinas. Esto se debe a que hay 240 vectores reticulares de norma mínima distinta de cero (las raíces de la red E ₈ ). Se demostró en 1979 que este es el número máximo posible en 8 dimensiones. ^{[10] [11]}

El problema del empaquetamiento de esferas y el problema del número de besos son extraordinariamente difíciles y las soluciones óptimas solo se conocen en 1, 2, 3, 8 y 24 dimensiones (más la dimensión 4 para el problema del número de besos). El hecho de que se conozcan soluciones en las dimensiones 8 y 24 se desprende en parte de las propiedades especiales de la red E ₈ y su prima de 24 dimensiones, la red Leech .

Función theta

Se puede asociar a cualquier red (positiva-definida) Λ una función theta dada por

${\displaystyle \Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \mathrm {Im} \,\tau >0.}$

La función theta de una red es entonces una función holomorfa en el semiplano superior . Además, la función theta de una red unimodular par de rango n es en realidad una forma modular de peso n /2. La función theta de una red integral se escribe a menudo como una serie de potencias en de modo que el coeficiente de q ⁿ da el número de vectores de red de norma n . ${\displaystyle q=e^{i\pi \tau }}$

Hasta la normalización, existe una única forma modular de peso 4 y nivel 1: la serie de Eisenstein G ₄ (τ). La función theta para la red E ₈ debe ser entonces proporcional a G ₄ (τ). La normalización se puede fijar observando que existe un único vector de norma 0. Esto da

${\displaystyle \Theta _{\Gamma _{8}}(\tau )=1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{2n}}$

donde σ ₃ ( n ) es la función divisora . De ello se deduce que el número de vectores reticulares E _{8 de norma 2} n es 240 veces la suma de los cubos de los divisores de n . Los primeros términos de esta serie están dados por (secuencia A004009 en la OEIS ):

${\displaystyle \Theta _{\Gamma _{8}}(\tau )=1+240\,q^{2}+2160\,q^{4}+6720\,q^{6}+17520\,q^{8}+30240\,q^{10}+60480\,q^{12}+O(q^{14}).}$

La función theta E ₈ puede escribirse en términos de las funciones theta de Jacobi de la siguiente manera:

${\displaystyle \Theta _{\Gamma _{8}}(\tau )={\frac {1}{2}}\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)}$

dónde

${\displaystyle \theta _{2}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{(n+{\frac {1}{2}})^{2}}\qquad \theta _{3}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\qquad \theta _{4}(q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}.}$

Tenga en cuenta que la función j se puede expresar como,

${\displaystyle j(\tau )\,=\,32\,{\frac {\left(\theta _{2}(q)^{8}+\theta _{3}(q)^{8}+\theta _{4}(q)^{8}\right)^{3}}{\left(\theta _{2}(q)\,\theta _{3}(q)\,\theta _{4}(q)\right)^{8}}}}$

Otras construcciones

Código de Hamming

La red E ₈ está muy relacionada con el código de Hamming (extendido) H (8,4) y, de hecho, se puede construir a partir de él. El código de Hamming H (8,4) es un código binario de longitud 8 y rango 4; es decir, es un subespacio de 4 dimensiones del espacio vectorial finito ( F ₂ ) ⁸ . Escribiendo elementos de ( F ₂ ) ⁸ como enteros de 8 bits en hexadecimal , el código H (8,4) se puede dar explícitamente como el conjunto

{00, 0F, 33, 3C, 55, 5A, 66, 69, 96, 99, A5, AA, C3, CC, F0, FF}.

El código H (8,4) es significativo en parte porque es un código autodual de tipo II . Tiene un peso Hamming mínimo distinto de cero de 4, lo que significa que dos palabras de código cualesquiera difieren en al menos 4 bits. Es el código binario de mayor longitud 8 con esta propiedad.

Se puede construir una red Λ a partir de un código binario C de longitud n tomando el conjunto de todos los vectores x en Z ⁿ tales que x sea congruente (módulo 2) con una palabra de código de C . ^[12] A menudo es conveniente reescalar Λ por un factor de 1/ √ 2 ,

${\displaystyle \Lambda ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{x\in \mathbb {Z} ^{n}:x\,{\bmod {\,}}2\in C\right\}.}$

Aplicando esta construcción a un código autodual de tipo II se obtiene una red unimodular uniforme. En particular, aplicándola al código de Hamming H (8,4) se obtiene una red E _8. Sin embargo, no es del todo trivial encontrar un isomorfismo explícito entre esta red y la red Γ ₈ definida anteriormente.

Octoniones integrales

La red E ₈ también está estrechamente relacionada con el álgebra no asociativa de octoniones reales O . Es posible definir el concepto de un octonión integral de manera análoga al de un cuaternión integral . Los octoniones integrales forman naturalmente una red dentro de O . Esta red es simplemente una red E ₈ reescalada . (La norma mínima en la red de octoniones integrales es 1 en lugar de 2). Incrustada en los octoniones de esta manera, la red E ₈ adquiere la estructura de un anillo no asociativo .

Fijando una base (1, i , j , k , ℓ, ℓ i , ℓ j , ℓ k ) de octoniones unitarios, se pueden definir los octoniones integrales como un orden máximo que contiene esta base. (Por supuesto, hay que ampliar las definiciones de orden y anillo para incluir el caso no asociativo). Esto equivale a encontrar el subanillo más grande de O que contiene las unidades en las que las expresiones x * x (la norma de x ) y x + x * (el doble de la parte real de x ) tienen valores enteros. En realidad, hay siete órdenes máximos de este tipo, uno correspondiente a cada una de las siete unidades imaginarias. Sin embargo, los siete órdenes máximos son isomorfos. Uno de estos órdenes máximos es generado por los octoniones i , j y ⁠1/2⁠ ( i + j + k + ℓ).

Una descripción detallada de los octoniones integrales y su relación con la red E8 _se puede encontrar en Conway y Smith (2003).

Ejemplo de definición de octoniones integrales

Consideremos la multiplicación de octoniones definida por las tríadas: 137, 267, 457, 125, 243, 416, 356. Luego, los octoniones integrales forman vectores:

1) , i=0, 1, ..., 7 ${\displaystyle \pm e_{i}}$

2) , los índices abc recorren las siete tríadas 124, 235, 346, 457, 561, 672, 713 ${\displaystyle \pm e_{0}\pm e_{a}\pm e_{b}\pm e_{c}}$

3) , los índices pqrs recorren las siete tétradas 3567, 1467, 1257, 1236, 2347, 1345, 2456. ${\displaystyle \pm e_{p}\pm e_{q}\pm e_{r}\pm e_{s}}$

Los octoniones imaginarios de este conjunto, es decir, 14 de 1) y 7*16=112 de 3), forman las raíces del álgebra de Lie . Junto con los 2+112 vectores restantes obtenemos 240 vectores que forman raíces del álgebra de Lie . ^[13] ${\displaystyle E_{7}}$ ${\displaystyle E_{8}}$

Aplicaciones

En 1982, Michael Freedman produjo un ejemplo de una variedad topológica de 4 dimensiones , llamada variedad E 8 , cuya forma de intersección está dada por la red E ₈ . Esta variedad es un ejemplo de una variedad topológica que no admite ninguna estructura suave y ni siquiera es triangulable .

En la teoría de cuerdas , la cuerda heterótica es un híbrido peculiar de una cuerda bosónica de 26 dimensiones y una supercuerda de 10 dimensiones . Para que la teoría funcione correctamente, las 16 dimensiones desparejas deben compactificarse en una red uniforme unimodular de rango 16. Hay dos redes de este tipo: Γ ₈ >⊕Γ ₈ y Γ ₁₆ (construida de una manera análoga a la de Γ ₈ ). Estas conducen a dos versiones de la cuerda heterótica conocidas como la cuerda heterótica E ₈ × E ₈ y la cuerda heterótica SO(32).

Véase también

• Red de sanguijuelas
• E ₈ (matemáticas)
• Politopo E semirregular

Referencias

1. En este artículo, la norma de un vector se refiere a su longitud al cuadrado (el cuadrado de la norma ordinaria ).
2. Smith, HJS (1867). "Sobre los órdenes y géneros de formas cuadráticas que contienen más de tres indeterminados". Actas de la Royal Society . 16 : 197–208. doi : 10.1098/rspl.1867.0036 .
3. Korkin, A.; Zolotarev, G. (1873). "Sobre las formas cuadradas". Annalen Matemáticas . 6 : 366–389. doi :10.1007/BF01442795.
4. Gosset, Thorold (1900). "Sobre las figuras regulares y semirregulares en el espacio de n dimensiones". Messenger of Mathematics . 29 : 43–48.
5. Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (3.ª ed.). Nueva York: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8.
6. Blichfeldt, HF (1935). "Los valores mínimos de formas cuadráticas positivas en seis, siete y ocho variables". Mathematische Zeitschrift . 39 : 1–15. doi :10.1007/BF01201341. Zbl  0009.24403.
7. Vetčinkin, NM (1980). "Singularidad de clases de formas cuadráticas positivas en las que se alcanzan valores de la constante de Hermite para 6 ≤ n ≤ 8". Geometría de formas cuadráticas positivas . Vol. 152. Trudy Math. Inst. Steklov. págs. 34–86.
8. Klarreich, Erica (30 de marzo de 2016). "Empaquetamiento de esferas resuelto en dimensiones superiores". Revista Quanta .
9. Viazovska, Maryna (2017). "El problema del empaquetamiento de esferas en dimensión 8". arXiv : 1603.04246v2 .
10. Levenshtein, VI (1979). "Sobre los límites para el empaquetamiento en el espacio euclidiano n -dimensional". Matemáticas soviéticas – Doklady . 20 : 417–421.
11. Odlyzko, AM ; Sloane, NJA (1979). "Nuevos límites en el número de esferas unitarias que pueden tocar una esfera unitaria en n dimensiones". Journal of Combinatorial Theory . A26 : 210–214. CiteSeerX 10.1.1.392.3839 . doi :10.1016/0097-3165(79)90074-8. Zbl  0408.52007. Este es también el capítulo 13 de Conway y Sloane (1998).
12. Esta es la denominada "Construcción A" en Conway y Sloane (1998). Véase el §2 del capítulo 5.
13. Koca, Mehmet; Koç, Ramazan; Koca, Nazife Ö. (20 de octubre de 2005). "El grupo Chevalley de orden 12096 y el sistema de raíces octoniónico de , Álgebra lineal y sus aplicaciones". pp. 808–823. arXiv : hep-th/0509189v2 . ${\displaystyle G_{2}(2)}$ ${\displaystyle E_{7}}$

• Conway, John H. ; Sloane, Neil JA (1998). Empaquetamientos de esferas, redes y grupos (3.ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9.
• Conway, John H .; Smith, Derek A. (2003). Sobre cuaterniones y octoniones . Natick, Ma.: AK Peters, Ltd. ISBN 1-56881-134-9.El capítulo 9 contiene una discusión de los octoniones integrales y la red _E8 .