En matemáticas , una red de Niemeier es una de las 24 redes unimodulares pares definidas positivas de rango 24, que fueron clasificadas por Hans-Volker Niemeier (1973). Venkov (1978) dio una prueba simplificada de la clasificación. Witt (1941) menciona que encontró más de 10 retículos de este tipo, pero no da más detalles. Un ejemplo de red de Niemeier es la red de Leech encontrada en 1967.
Las redes de Niemeier generalmente se etiquetan mediante el diagrama de Dynkin de su red de raíces . Cada red de Niemeier se puede construir a partir de su red de raíces (excepto la red de Leech que no tiene raíces) mediante la unión de elementos conocidos como vectores de pegamento, como se detalla en §16.1 de Conway y Sloane (1998). Los diagramas de Dynkin asociados con una red de Niemeier tienen rango 0 o 24, y todos sus componentes tienen el mismo número de Coxeter . (El número de Coxeter, al menos en estos casos, es el número de raíces dividido por la dimensión). Hay exactamente 24 diagramas de Dynkin con estas propiedades, y resulta que hay una red de Niemeier única para cada uno de estos diagramas de Dynkin.
La lista completa de celosías Niemeier se proporciona en la siguiente tabla. En la mesa,
Si L es una red unimodular impar de dimensión 8 n y M su subred de vectores pares, entonces M está contenida en exactamente 3 redes unimodulares, una de las cuales es L y las otras dos son pares. (Si L tiene un vector de norma 1, entonces las dos redes pares son isomorfas ). El gráfico de vecindad de Kneser en 8 n dimensiones tiene un punto para cada red par y una línea que une dos puntos para cada red impar de 8 n dimensiones sin norma 1 vectores, donde los vértices de cada línea son las dos redes pares asociadas a la red impar. Puede haber varias líneas entre el mismo par de vértices y puede haber líneas desde un vértice hacia sí mismo. Kneser demostró que esta gráfica siempre es conexa. En 8 dimensiones tiene un punto y ninguna recta, en 16 dimensiones tiene dos puntos unidos por una recta, y en 24 dimensiones es la siguiente gráfica:
Cada punto representa una de las 24 redes de Niemeier, y las líneas que los unen representan las redes unimodulares impares de 24 dimensiones sin vectores de norma 1. (Las líneas gruesas representan varias líneas). El número de la derecha es el número de Coxeter de la red de Niemeier.
En 32 dimensiones, el gráfico de vecindad tiene más de mil millones de vértices.
Algunas de las redes de Niemeier están relacionadas con grupos simples esporádicos . Sobre la red Leech actúa una doble cubierta del grupo Conway , y sobre las redes A 1 24 y A 2 12 actúan los grupos Mathieu M 24 y M 12 .
Las celosías de Niemeier, distintas de la celosía de Leech, corresponden a los agujeros profundos de la celosía de Leech. Esto implica que los diagramas afines de Dynkin de las redes de Niemeier se pueden ver dentro de la red de Leech, cuando dos puntos de la red de Leech están unidos por ninguna línea cuando tienen distancia , por 1 línea si tienen distancia , y por una línea doble si tienen distancia .
Las redes de Niemeier también corresponden a las 24 órbitas de los vectores primitivos de norma cero w de la red de Lorentz unimodular par II 25,1 , donde la red de Niemeier correspondiente a w es w ⊥ / w .
