En geometría afín , el escalado uniforme (o escalado isotrópico [1] ) es una transformación lineal que agranda (aumenta) o encoge (disminuye) objetos mediante un factor de escala que es el mismo en todas las direcciones. El resultado del escalado uniforme es similar (en sentido geométrico) al original. Normalmente se permite un factor de escala de 1, de modo que las formas congruentes también se clasifican como similares. La escala uniforme ocurre, por ejemplo, al ampliar o reducir una fotografía , o al crear un modelo a escala de un edificio, automóvil, avión, etc.
Más general es el escalado con un factor de escala separado para cada dirección del eje. El escalamiento no uniforme ( escalamiento anisotrópico ) se obtiene cuando al menos uno de los factores de escala es diferente de los demás; un caso especial es el escalado o estiramiento direccional (en una dirección). El escalado no uniforme cambia la forma del objeto; por ejemplo, un cuadrado puede convertirse en un rectángulo o en un paralelogramo si los lados del cuadrado no son paralelos a los ejes de escala (los ángulos entre líneas paralelas a los ejes se conservan, pero no todos los ángulos). Ocurre, por ejemplo, cuando se ve un cartel lejano desde un ángulo oblicuo , o cuando la sombra de un objeto plano incide sobre una superficie que no es paralela a él.
Cuando el factor de escala es mayor que 1, la escala (uniforme o no uniforme) a veces también se denomina dilatación o agrandamiento . Cuando el factor de escala es un número positivo menor que 1, a la escala a veces también se le llama contracción o reducción .
En el sentido más general, una escala incluye el caso en el que las direcciones de escala no son perpendiculares. También incluye el caso en el que uno o más factores de escala son iguales a cero ( proyección ), y el caso de uno o más factores de escala negativos (un escalado direccional por -1 equivale a una reflexión ).
El escalado es una transformación lineal y un caso especial de transformación homotética (escalado alrededor de un punto). En la mayoría de los casos, las transformaciones homotéticas son transformaciones no lineales.
Un factor de escala suele ser un decimal que escala o multiplica una cantidad. En la ecuación y = Cx , C es el factor de escala para x . C es también el coeficiente de x y puede denominarse constante de proporcionalidad de y a x . Por ejemplo, duplicar las distancias corresponde a un factor de escala de dos para la distancia, mientras que cortar un pastel por la mitad da como resultado piezas con un factor de escala para el volumen de la mitad. La ecuación básica para ello es imagen sobre preimagen.
En el campo de las mediciones, el factor de escala de un instrumento a veces se denomina sensibilidad. La relación entre dos longitudes correspondientes cualesquiera en dos figuras geométricas similares también se llama escala.
Una escala se puede representar mediante una matriz de escala . Para escalar un objeto mediante un vector v = ( v x , v y , v z ), cada punto p = ( p x , p y , p z ) debería multiplicarse por esta matriz de escala:
Como se muestra a continuación, la multiplicación dará el resultado esperado:
Tal escala cambia el diámetro de un objeto por un factor entre los factores de escala, el área por un factor entre el producto más pequeño y más grande de dos factores de escala y el volumen por el producto de los tres.
La escala es uniforme si y sólo si los factores de escala son iguales ( v x = v y = v z ). Si todos los factores de escala excepto uno son iguales a 1, tenemos escala direccional.
En el caso en que v x = v y = v z = k , el escalado aumenta el área de cualquier superficie en un factor de k 2 y el volumen de cualquier objeto sólido en un factor de k 3 .
En el espacio -dimensional , el escalado uniforme por un factor se logra mediante la multiplicación escalar con , es decir, multiplicando cada coordenada de cada punto por . Como caso especial de transformación lineal, también se puede lograr multiplicando cada punto (visto como un vector columna) con una matriz diagonal cuyas entradas en la diagonal son todas iguales a , es decir .
El escalado no uniforme se logra mediante la multiplicación con cualquier matriz simétrica . Los valores propios de la matriz son los factores de escala y los vectores propios correspondientes son los ejes a lo largo de los cuales se aplica cada factor de escala. Un caso especial es una matriz diagonal, con números arbitrarios a lo largo de la diagonal: los ejes de escala son entonces los ejes de coordenadas, y la transformación escala a lo largo de cada eje por el factor .
En el escalado uniforme con un factor de escala distinto de cero, todos los vectores distintos de cero conservan su dirección (visto desde el origen), o todos tienen la dirección invertida, dependiendo del signo del factor de escala. En el escalado no uniforme, sólo los vectores que pertenecen a un espacio propio conservarán su dirección. Un vector que es la suma de dos o más vectores distintos de cero que pertenecen a diferentes espacios propios se inclinará hacia el espacio propio con el mayor valor propio.
En la geometría proyectiva , utilizada a menudo en gráficos por ordenador , los puntos se representan mediante coordenadas homogéneas . Para escalar un objeto mediante un vector v = ( v x , v y , v z ), cada vector de coordenadas homogéneo p = ( p x , p y , p z , 1) necesitaría multiplicarse con esta matriz de transformación proyectiva :
Como se muestra a continuación, la multiplicación dará el resultado esperado:
Dado que el último componente de una coordenada homogénea puede verse como el denominador de los otros tres componentes, se puede lograr una escala uniforme mediante un factor común s (escala uniforme) utilizando esta matriz de escala:
Para cada vector p = ( p x , p y , p z , 1) tendríamos
lo que equivaldría a
Dado un punto , la dilatación lo asocia con el punto mediante las ecuaciones
Por lo tanto, dada una función , la ecuación de la función dilatada es
Si , la transformación es horizontal; cuando es una dilatación, cuando es una contracción.
Si , la transformación es vertical; cuando es una dilatación, cuando es una contracción.
Si o , la transformación es un mapeo comprimido .
