Superficie veronesa

En matemáticas , la superficie de Veronese es una superficie algebraica en un espacio proyectivo de cinco dimensiones , y se realiza mediante la incrustación de Veronese , la incrustación del plano proyectivo dado por el sistema lineal completo de cónicas . Recibe su nombre en honor a Giuseppe Veronese (1854-1917). Su generalización a dimensiones superiores se conoce como variedad de Veronese .

La superficie admite una incrustación en el espacio proyectivo de cuatro dimensiones definido por la proyección desde un punto general en el espacio de cinco dimensiones. Su proyección general al espacio proyectivo tridimensional se denomina superficie de Steiner .

Definición

La superficie veronesa es la imagen del mapeo

${\displaystyle \nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}}$

dado por

${\displaystyle \nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]}$

donde denota coordenadas homogéneas . El mapa se conoce como incrustación veronesa. ${\displaystyle [x:\cdots ]}$ ${\displaystyle \nu }$

Motivación

La superficie de Veronese surge de manera natural en el estudio de las cónicas . Una cónica es una curva plana de grado 2, definida por una ecuación:

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

El emparejamiento entre coeficientes y variables es lineal en los coeficientes y cuadrático en las variables; la función de Veronese lo hace lineal en los coeficientes y lineal en los monomios. Así, para un punto fijo, la condición de que una cónica contenga al punto es una ecuación lineal en los coeficientes, lo que formaliza el enunciado de que "el paso por un punto impone una condición lineal a las cónicas". ${\displaystyle (A,B,C,D,E,F)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle [x:y:z],}$

Mapa de Veronese

La función Veronese o variedad Veronese generaliza esta idea a funciones de grado general d en n +1 variables. Es decir, la función Veronese de grado d es la función

${\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m}}$

con m dado por el coeficiente multiconjunto , o más familiarmente el coeficiente binomial , como:

${\displaystyle m=\left(\!\!{n+1 \choose d}\!\!\right)-1={n+d \choose d}-1.}$

El mapa envía a todos los posibles monomios de grado total d (de los cuales hay ); tenemos ya que hay variables para elegir; y restamos ya que el espacio proyectivo tiene coordenadas. La segunda igualdad muestra que para la dimensión fuente fija n, la dimensión destino es un polinomio en d de grado n y coeficiente principal ${\displaystyle [x_{0}:\ldots :x_{n}]}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle 1/n!.}$

Para un grado bajo, la aplicación constante trivial es y es la aplicación identidad en, por lo que d generalmente se toma como 2 o más. ${\displaystyle d=0}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{0},}$ ${\displaystyle d=1}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n},}$

Se puede definir el mapa veronés de manera libre de coordenadas, como

${\displaystyle \nu _{d}:\mathbb {P} (V)\ni [v]\mapsto [v^{d}]\in \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)}}}$

donde V es cualquier espacio vectorial de dimensión finita, y son sus potencias simétricas de grado d . Esto es homogéneo de grado d bajo la multiplicación escalar en V , y por lo tanto pasa a una aplicación en los espacios proyectivos subyacentes . ${\displaystyle {\rm {{Sym}^{d}V}}}$

Si el espacio vectorial V se define sobre un cuerpo K que no tiene característica cero , entonces la definición debe ser alterada para ser entendida como una aplicación al espacio dual de polinomios sobre V. Esto se debe a que para cuerpos con característica finita p , las potencias p de los elementos de V no son curvas normales racionales , sino que son, por supuesto, una línea. (Véase, por ejemplo, polinomio aditivo para un tratamiento de polinomios sobre un cuerpo de característica finita).

Curva normal racional

La variedad veronesa se conoce como curva normal racional , de la cual nos resultan familiares los ejemplos de grado inferior. ${\displaystyle n=1,}$

• Porque el mapa veronés es simplemente el mapa identidad en la línea proyectiva. ${\displaystyle n=1,d=1}$
• Para la variedad veronesa es la parábola estándar en coordenadas afines ${\displaystyle n=1,d=2,}$ ${\displaystyle [x^{2}:xy:y^{2}],}$ ${\displaystyle (x,x^{2}).}$
• Para la variedad veronesa es la cúbica torcida , en coordenadas afines ${\displaystyle n=1,d=3,}$ ${\displaystyle [x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],}$ ${\displaystyle (x,x^{2},x^{3}).}$

Birregular

La imagen de una variedad bajo la función Veronese es nuevamente una variedad, en lugar de simplemente un conjunto construible ; además, son isomorfas en el sentido de que la función inversa existe y es regular – la función Veronese es biregular . Más precisamente, las imágenes de conjuntos abiertos en la topología de Zariski son nuevamente abiertas.

Véase también

• La superficie Veronese es la única variedad Severi de dimensión 2

Referencias

• Joe Harris, Geometría algebraica, un primer curso , (1992) Springer-Verlag, Nueva York. ISBN  0-387-97716-3