Variedad modular Hilbert

Superficie algebraica en matemáticas.

En matemáticas, una superficie modular de Hilbert o superficie de Hilbert-Blumenthal es una superficie algebraica obtenida tomando un cociente de un producto de dos copias del semiplano superior por un grupo modular de Hilbert . De manera más general, una variedad modular de Hilbert es una variedad algebraica obtenida tomando un cociente de un producto de múltiples copias del semiplano superior por un grupo modular de Hilbert.

Las superficies modulares de Hilbert fueron descritas por primera vez por Otto Blumenthal (1903, 1904) utilizando algunas notas inéditas escritas por David Hilbert unos 10 años antes.

Definiciones

Si R es el anillo de números enteros de un campo cuadrático real , entonces el grupo modular de Hilbert SL ₂ ( R ) actúa sobre el producto H × H de dos copias del semiplano superior H. Hay varias superficies biracionalmente equivalentes relacionadas con esta acción, cualquiera de las cuales puede denominarse superficies modulares de Hilbert :

• La superficie X es el cociente de H × H por SL ₂ ( R ); no es compacto y generalmente tiene singularidades cocientes provenientes de puntos con grupos de isotropía no triviales.
• La superficie X ^* se obtiene a partir de X sumando un número finito de puntos correspondientes a las cúspides de la acción. Es compacto y tiene no sólo las singularidades cocientes de X , sino también singularidades en sus cúspides.
• La superficie Y se obtiene a partir de X ^* resolviendo las singularidades de forma mínima. Es una superficie algebraica lisa y compacta , pero en general no es mínima.
• La superficie Y ⁰ se obtiene a partir de Y eliminando ciertas curvas −1 excepcionales. Es suave y compacto y, a menudo (pero no siempre), mínimo.

Hay varias variaciones de esta construcción:

• El grupo modular de Hilbert puede ser reemplazado por algún subgrupo de índice finito, como un subgrupo de congruencia .
• Se puede ampliar el grupo modular de Hilbert por un grupo de orden 2, actuando sobre el grupo modular de Hilbert mediante la acción de Galois e intercambiando las dos copias del semiplano superior.

Singularidades

Hirzebruch (1953) mostró cómo resolver las singularidades de cociente, y Hirzebruch (1971) mostró cómo resolver sus singularidades de cúspide.

Propiedades

Las variedades modulares de Hilbert no pueden ser anabelianas . ^[1]

Clasificación de superficies

Los artículos Hirzebruch (1971), Hirzebruch & Van de Ven (1974) e Hirzebruch & Zagier (1977) identificaron su tipo en la clasificación de superficies algebraicas . La mayoría de ellas son superficies de tipo general , pero varias son superficies racionales o superficies K3 ampliadas o superficies elípticas .

Ejemplos

van der Geer (1988) ofrece una larga tabla de ejemplos.

La superficie de Clebsch ampliada en sus 10 puntos de Eckardt es una superficie modular de Hilbert.

Asociado a una extensión de campo cuadrática

Dada una extensión de campo cuadrático para hay una variedad modular de Hilbert asociada que se obtiene al compactar una determinada variedad de cociente y resolver sus singularidades. Denotemos el medio plano superior y dejemos actuar vía ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {p}})}$ ${\displaystyle p=4k+1}$ ${\displaystyle Y(p)}$ ${\displaystyle X(p)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ ${\displaystyle SL(2,{\mathcal {O}}_{K})/\{\pm {\text{Id}}_{2}\}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {H}}\times {\mathfrak {H}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}(z_{1},z_{2})=\left({\frac {az_{1}+bz_{2}}{cz_{1}+dz_{2}}},{\frac {a'z_{1}+b'z_{2}}{c'z_{1}+d'z_{2}}}\right)}$

donde están los conjugados de Galois . ^[2] La variedad de cociente asociada se denota ${\displaystyle a',b',c',d'}$

${\displaystyle X(p)=G\backslash {\mathfrak {H}}\times {\mathfrak {H}}}$

y se puede compactar en una variedad , llamada cúspides , que están en biyección con las clases ideales en . Resolviendo sus singularidades se obtiene la variedad denominada variedad modular de Hilbert de la extensión del campo . Según el teorema de compactación de Bailey-Borel, esta superficie se incrusta en un espacio proyectivo. ^[3] ${\displaystyle {\overline {X}}(p)}$ ${\displaystyle {\text{Cl}}({\mathcal {O}}_{K})}$ ${\displaystyle Y(p)}$

Ver también

• Forma modular Hilbert
• Superficie modular Picard
• Variedad modular Siegel

Referencias

1. Ihara, Yasutaka ; Nakamura, Hiroaki (1997). "Algunos ejemplos ilustrativos de geometría anabeliana en grandes dimensiones". En Schneps, Leila ; Lochak, Pierre (eds.). Acciones geométricas de Galois 1: en torno al programa Esquisse d'un de Grothendieck . Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society (242). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 127-138. doi :10.1017/CBO9780511758874.010.
2. Barth, Lobo P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Ven, Antonio (2004). Superficies complejas compactas . Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. pag. 231.doi :10.1007/978-3-642-57739-0 . ISBN 978-3-540-00832-3.
3. Baily, WL; Borel, A. (noviembre de 1966). "Compactificación de cocientes aritméticos de dominios simétricos acotados". Los Anales de las Matemáticas . 84 (3): 442. doi : 10.2307/1970457. JSTOR  1970457.

• Barth, Lobo P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlín, doi :10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, SEÑOR  2030225
• Blumenthal, Otto (1903), "Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen", Mathematische Annalen , 56 (4): 509–548, doi :10.1007/BF01444306, S2CID  122293576
• Blumenthal, Otto (1904), "Über Modulfunktionen von mehreren Veränderlichen", Mathematische Annalen , 58 (4): 497–527, doi :10.1007/BF01449486, S2CID  179178108
• Hirzebruch, Friedrich (1953), "Über vierdimensionale RIEMANNsche Flächen mehrdeutiger analytischer Funktionen von zwei komplexen Veränderlichen", Mathematische Annalen , 126 (1): 1–22, doi :10.1007/BF01343146, hdl : 21.11116/0000-0004-3A4 7-C , ISSN  0025-5831, SEÑOR  0062842, S2CID  122862268
• Hirzebruch, Friedrich (1971), "El grupo modular de Hilbert, resolución de las singularidades en las cúspides y problemas relacionados", Séminaire Bourbaki, 23ème année (1970/1971), Exp. No. 396, Apuntes de conferencias sobre matemáticas, vol. 244, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 275–288, doi :10.1007/BFb0058707, ISBN 978-3-540-05720-8, señor  0417187
• Hirzebruch, Friedrich EP (1973), "Superficies modulares de Hilbert", L'Enseignement Mathématique , IIe Série, 19 : 183–281, doi :10.5169/seals-46292, ISSN  0013-8584, MR  0393045
• Hirzebruch, Friedrich ; Van de Ven, Antonius (1974), "Superficies modulares de Hilbert y clasificación de superficies algebraicas", Inventiones Mathematicae (manuscrito enviado), 23 (1): 1–29, doi :10.1007/BF01405200, hdl : 21.11116/0000-0004 -39A4-3 , ISSN  0020-9910, SEÑOR  0364262, S2CID  73577779
• Hirzebruch, Friedrich ; Zagier, Don (1977), "Clasificación de superficies modulares de Hilbert", en Baily, WL; Shioda., T. (eds.), Análisis complejo y geometría algebraica , Tokio: Iwanami Shoten, págs. 43–77, ISBN 978-0-521-09334-7, SEÑOR  0480356
• van der Geer, Gerard (1988), Superficies modulares de Hilbert , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y áreas afines (3)], vol. 16, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/978-3-642-61553-5, ISBN 978-3-540-17601-5, señor  0930101

enlaces externos

• Ehlen, S., Breve introducción a las superficies modulares de Hilbert y los ciclos de Hirzebruch-Zagier (PDF)